考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化講義數(shù)一

1、 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化講義（數(shù)一）主講：名師，博士，著名數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，教育部“精品課程建設(shè)骨干教師”，暢銷(xiāo)書(shū)高等數(shù)學(xué) 18 講、數(shù)學(xué)題源探析經(jīng)典 1000 題作者，高等教育入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)參考書(shū)（大綱）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會(huì)受邀（15 分鐘主旨）首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系有全新的解讀，對(duì)數(shù)學(xué)題與復(fù)習(xí)思路有極強(qiáng)的把握和預(yù)測(cè)能力，讓學(xué)生輕松高效奪取高分歡迎使用目錄第一講第二講第三講第四講行列式1矩陣8向量組與方程組17特征值與二次型26 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)第一講行列式綜述1行列式的定義與性質(zhì)：幾何法、逆序法、展開(kāi)法、性質(zhì)2行列式的計(jì)算：3、4

2、階；n 階（n>4）消 0 化三角形、消 0 降階、拆項(xiàng)、加邊、范氏、數(shù)歸&遞推一、行列式的三種定義與性質(zhì)1幾何法定義重要結(jié)論：（1）n 階行列式由n 個(gè)n 維向量拼成，其結(jié)果為以這 n 個(gè)向量為鄰邊的 n 維圖形的體積.（2）行列式由向量組成！A¹ 0 Û n 個(gè)n 維向量線性無(wú)關(guān)；n´n （3）A= 0 Û n 個(gè)n 維向量線性相關(guān).n´n æ a1 öç a ÷（4）7 大性質(zhì)（習(xí)慣上寫(xiě)列向量a = ç2 ÷ ）ç÷ç a ÷

3、è n øaaT1T1） a ,a ,a=212naTn2） a1,3） a1,4） a1,ai-1, 0,ai+1,an= 0,ai , kai ,an= 0,ai + bi ,an= a1,ai ,an+ a1, bi ,ai ,an,an5）（互換） a1,6）（倍乘） k a1,ai ,ai ,a j ,an =- a1,a j ,an= a1, kai ,an1 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)7）（倍加） a1,ai ,a j ,an = a1,ai ,a j + kai ,an【例 1】設(shè)a1,a2 ,a3 , b ,g 均為 4 維列向量，且 g ,a1,a2,a3=

4、2 ， a1, b + g ,a2,a3= 3，則 a1,a2,a3,5b=.【例 2】任給 4 維列向量a1,a2,a3,a4 ，則 a1 +a2,a2 +a3,a3 +a4,a4 +a1=.Ab= 0 ， b 為 n 維列向量，則A= a ，n´nb T【例 3】設(shè)a ， b ， c 為已知，bbcAb T=.2逆序法定義a11 a21a12 a22a1n a2nåj1 j2 jn=(-s ( j jj ) a1)aa1 2n1 j1 2 j2njnan1an 2ann展開(kāi)后有n！項(xiàng)；每項(xiàng)是取自不，不同列的n 個(gè)元素的乘積；行下標(biāo)順排后，每項(xiàng)前乘以(-1)s ( j1

5、j2 jn )注：s ( j1 j2jn ) ： j1 j2jn 的逆序數(shù).【例 1】展開(kāi)后，a12a23a31a45a54a66 前添號(hào).a45a16a53a22a64a31 前添號(hào).【例 2】s (1, 2, 3, n) =，s (n, n -1, 3, 2,1) =.2 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)x1212x x 3112x203的 x4 、 x3 的系數(shù).【例 3】求 f (x) =2x=Aaijn´n3展開(kāi)式法定義Mij式式A = (-1)i+ j M代數(shù)ijij展開(kāi)公式= ìï ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ain Ain(按第i行展開(kāi))(按第

6、j列展開(kāi))AíaA + a A + a Aïî 1 j 1 j2 j 2 jnj nj我生有=.【例 1】你幸3042-2-703-202022【例 2】設(shè) D4 = 0，則第 4 行各元素式之和為.53 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)44【例 3】設(shè) D4 的某行元素全為 2，且 D4 =3 ，則åå Aij =.i=1 j =1二、行列式的計(jì)算關(guān)鍵研究行列式中元素的分布規(guī)律13、4 階用質(zhì)，出 0，展開(kāi)式3 - l-1 1-1 5 - l-11-1 3 - l= 0 ，求l .【例 1】設(shè)2n 階的計(jì)算（1）消 0 化三角形法a1 - xa2an a

7、na2 - xa1【例】 D =nan - xa1a2ab bba bbb abb b【注】重要公式： D = a + (n -1)b(a - b)n-1nbbba4 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)（2）消 0 展開(kāi)降階法123212321n n -1n - 2【例】 Dn =n -1n - 2n1（3）拆1 + n2 + n【例】 D =， n ³ 2 .nn + n（4）加邊法1+ a112 + a2122a ¹ 0 ，求 D=【例】設(shè)a a.1 2nnn + annn5 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)（5）蒙行列式1111xn323V =)ni1£i< j£nn

8、-1 3xn-1nVn ¹ 0 Û xi¹ xj , i ¹ jb + ca a2a + cb b2a + bc c2【例 1】1a a2a41b b2b41c c2c41d d 2d 4【例 2】設(shè)a ， b ， c ， d 互不相等，證明： D4 = 0 的充要條件為a + b + c + d = 0 .（6）數(shù)學(xué)歸納法&遞推法綜述：1）第一數(shù)學(xué)歸納法：驗(yàn) n=1 成立；設(shè)n=k 成立；證 n=k+1 成立.2）第二數(shù)學(xué)歸納法：驗(yàn) n=1，2 成立；設(shè) n<k 成立；證 n=k 成立.6 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)a + b10ab a +

9、b10ab a + b000000【例 1】 Dn =a + b1000000aba + b2a a212a a212a= (n +1)an【例 2】證明： Dn2a a212a7 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)第二講矩陣綜述定義與基本運(yùn)算伴隨矩陣 A*可逆矩陣 A-1初等矩陣求 A-1矩陣方程分塊矩陣一、定義與基本運(yùn)算æ a11 öæ a12öæ a1n öç a ÷ç a÷ç a÷= ç21 ÷ ，a= ç22 ÷ ，= ç2n &

10、#247; 拼成.記為1定義 由 n 個(gè) m 維列向量a，aç÷ç a÷ç÷ç a÷ç÷ç a÷12nè m1 øè m 2 øè mn øæ a11a12a1n öç a÷aa= ç2n ÷ .2122Aç÷m´n ç a÷aaè m1mn øm 2若 m = n ，稱(chēng)為 n 階矩（方）

11、陣. 2基本運(yùn)算1） 加法A + B = (aij + bij )m´n要求：矩陣同型（對(duì)應(yīng)加）2） 數(shù)乘kA = (kaij )m´n10 每一個(gè)a ´ kij20 若 A， kA = knAn´nAm´s Bs´n = (cij )m´n = Cm´n3）乘法10 A 的列數(shù)= B 的行數(shù)，才可乘.8 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)öæöææö÷b1 j÷ç÷ = ç20 ç aacis ÷&

12、#231;÷çç÷i1ijç÷çç÷÷bè其中cijøè= ai1b1 j +èøøsj+ aisbsj .=An´n Bn´nAB【注】A + B 不一定等于A + B A ¹ B 推不出A ¹B A ¹ 0 推不出A ¹ 0 AB 不一定等于 BA AB = 0 推不出 A = 0 或 B = 0 AB = AC ， A ¹ 0 推不出 B = C ；AB = A

13、C ，A ¹ 0 Þ B = C .3重要矩陣及運(yùn)算零矩陣Om´næ 10 ö01ç 00 ÷= ç÷÷矩陣 Eçnç 01 ÷00kèø0 öæ kç 00 ÷= ç÷÷數(shù)量矩陣kEçnç 0k ÷0èø"An´n ， A× kE = kE × A .æ l1ö

14、47;÷÷çlL = ç2對(duì)角陣ççè÷ln ø對(duì)稱(chēng)陣Û AT = A Û a= aijji= 0= -a稱(chēng)陣Û AT = - A Û ìïaiiía(i ¹j)ïî ijji9 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)正交矩陣æ a11a1222a13 öæ a11a2122a31 ö1） A = ç aa ÷ Þ AT = ç a÷a

15、aaç23 ÷ç32 ÷2112ç a÷ç a÷aaaaè 3133 øè 1333 ø322310A =AT；20 ( AT )T = A ；30 (kA)T = kAT ；40 (A + B)T = AT + BT ；50 (AB)T = BT AT是正交陣Û AAT = AT A = E2） An´nA 為正交陣Þ A 由標(biāo)準(zhǔn)正交基組成.-1öæ12【例 1】設(shè) A = ç -22 ÷，則 An =.

16、-4ç÷ç6-3÷3èøæ 12103 ö【例 2】設(shè) A = ç 04 ÷ ，求 An .ç÷ç 01 ÷èø【例 3】 A，證明： "x = (a , a , a )T ， xT Ax = 0 Û A 為稱(chēng)矩陣.n´n12n10 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)A + B= 0 ，證明：A + B= 0 .【例 4】設(shè) A 、 B 均為n 階正交陣，二、伴隨矩陣 A*1定義æ A11A2122An1 &#

17、246;ç A÷AA A Þ A A* = çn2 ÷ ， A 的伴隨矩陣.12ç÷ijç A÷AAè 1nnn ø2nAA* = A* A =A E1A ¹ 0 ， A 可逆，則 A-1 =A* .若2重要結(jié)論A ¹ 0 時(shí)，（ A 可逆）當(dāng)1 A-1 =A* k ¹ 0 ， (kA)* = kn-1A* (AT )* = (A*)T (A-1)* = (A*)-1A n-2 A ( A*)* = (AB)* = B*A*æ 0 ö，

18、 a= -1， AB = ç 0 ÷ ，求 B .= A【例 1】 A為正交陣， aç ÷3´3ijij33ç 1 ÷è ø11 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)【例 2】 A，證明： (E - A) 與(E + A)* 可交換.n´n三、可逆矩陣 A-11定義A， B，若 AB = E ，則 A 、 B 可逆，且 A-1 = B ， B-1 = A ， AB = BA.n´nn´n2性質(zhì) (A-1)-1 = A ； k ¹ 0 ，(kA)-1 = 1 A-1 ； A 、B 可

19、逆，則 AB 可逆，且(AB)-1 = B-1A-1 ；k1 (AT )-1 = ( A-1)T ；A-1=ì( A + B)-1 ¹ A-1 + B-1ï( A + B) ¹ A + B*í【注】ï( A + B)T ¹ AT + BTî【例 1】 A， A2 - 3A + 2E = 0 ，證明： A 、 A + 2E 均可逆，并求 A-1 ， (A + 2E)-1 .n´n【例 2】 A ， B 均可逆， A-1 + B-1 可逆，證明 A + B 可逆，并求(A + B)-1 .nn四、初等矩陣En

20、 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣，叫初等矩陣.1定義Eij ：互換初等矩陣Ei (k) ：倍乘初等矩陣12 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)Eij (k ) ：行第i 行× k +第 j 行列第 j 列× k +第i 列2重要結(jié)論1E (k)= E ( ) ， E= E ，E (k)-1 = E (-k)-1-1iiijijijijk“左行右列”定理初等陣 P 左（右）乘 A 得 PA （ AP ），就是對(duì) A 作了一次與 P 完全相同的初等行（列）變換.【例】設(shè) A可逆，交換 A 的第 1、2 列得到 B ，則 B* 可由（）互換得到.3´3（A） A* 的第 1、2 列（B）

21、 A* 的第 1、2 行（C） - A* 的第 1、2 列（D） - A* 的第 1、2 行五、求 A-1定義法若 AB = E ， A ， B，則 A-1 = B ， B-1 = A .nn1A-1 =A* A* 法【例 1】 A = æ ab ö ，求 A-1 .ç cd ÷èøæ 321ö【例 2】求 A = ç111÷ 的逆矩陣 A-1 .ç÷ç11÷0èø13 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)初等行變換法( A E )行變換(EA-1 )

22、-1öæ02【例】 A = ç 112 ÷ ，求 A-1 .ç÷ç -1-1-1÷èø六、矩陣方程1. 定義：含未知矩陣的方程2. 基本形式 AX = B ； XA = B ； AXB = C . 3解法（1） A 或 A 與 B 可逆，Þ X = A-1B ；Þ X = BA-1 ； Þ X（2） A 不可逆，如 AX = B ，用解方程組的思想：= A-1CB-1A(x1,x2 ,xn ) = (b1, b2 , bn ) ÞAxi = bi (i =

23、1, 2, n) Þ解出xi ，得 X =(x1,x2 ,xn )（3） 有時(shí)，設(shè) X = (xij )m´n ，代入方程Þ 以 xij（4） 勿忘“化簡(jiǎn)先行”的方程組，求之.待定系數(shù)法æ 1ç 0010-300100 ö0 ÷【例 1】設(shè) A* = ç÷ ， ABA-1 = BA-1 + 3E ，求 B .ç 1ç 00 ÷8 ÷èøæ 11 ö0【例 2】 A = ç -120 ÷， AX + E =

24、A2 + X，求 X .ç÷ç1 ÷00èø14 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)七、分塊矩陣1定義 用若干線將一個(gè)矩陣分成若干小塊，稱(chēng)這些小塊為子矩陣，將子矩陣看作原矩陣的元素，就得分塊矩陣.【注】進(jìn)行加、減、乘、轉(zhuǎn)置時(shí)，將子矩陣當(dāng)作普通矩陣的元素2基本運(yùn)算加法：同型、分法相同，不必陌生.+ BA2 + B2 öæ A1öæ Böæ AAB2+12=11ç A÷ç B÷ç A÷+ BA + BABè 34 ø

25、;è 34 øè 3344 øk æ AB ö = æ kAkB ö數(shù)乘ç CD ÷ç kCkD ÷èøèø乘法：分法=右行分法，且可加Y ö = æ AX + BZAY + BW öæ AB öæ Xç CD ÷ç ZW ÷ç CX + DZCY + DW ÷èøèøè

26、;øa ö，求 PQ .， b， P = æE0öæ, Q =A如： A可逆，aç -a T A*A ÷çb ÷n´nn´1aATèøèø轉(zhuǎn)置： A = æ A1Aö= æ A1A3 ö2ÞTAç A÷ç A÷AAè 34 øè 24 ø3重要結(jié)論æ AO ömæ Amö

27、7;øO= çè A ， B ，çB ÷nnOmèøOBæ A-1ö÷æ Aö11çç÷A-1A÷ 可逆，且 A-1 = ç÷ ；1） A 可逆，則 A = ç22ç÷ççè÷i÷ç÷-1AAs øèøs15 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)æA-1 öæçA

28、ö1÷sç÷A2A 可逆，則 A = ç÷ 可逆，且 A-1 = ç÷ .ç÷ç÷÷øiA-1çç2÷ç÷-1AAè sè 1øæ B-1ç-B-1DC -1 ö÷ .æ BD ö÷2） B 、C 可逆， Þ A = ç可逆，且 A=-1C -1è OC øOè

29、;øA-1 = æB-1ö÷øö÷øæ BO öOA = ç DçèC ÷ 可逆，且；-1-1-1C DBCèøA-1 = æC -1æ OB öOA = ç CD ÷ 可逆，且çè.B-B DC-1-1-1èø An ， BmAOCBACOBAOOB=AB1）C2）AO= OAC= OAO= (-1)nmABBBBACBD=D - CA-1B ；

30、A3） A 可逆，ACBD=A - BD-1CD 可逆，D012112n【例】求 Dn =2nn16 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)第三講向量組與方程組綜述線性相關(guān)性線性表出極大無(wú)關(guān)組與秩等價(jià)向量組齊次方程組非齊次方程組秩的等式與不等式一、線性相關(guān)性1定義sas= 0成立.稱(chēng)a1,a2 ,as $ 一組不全為 0 的數(shù)s ，使得線性相關(guān).æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = 0 有非零解.)çÛ (a ,a,ç÷ç x ÷12sè s ø,as ) < sÛ

31、r(a1,a2,sas= 0 ，稱(chēng)a1,a2 ,as 線性無(wú)= 0 成立，必使若s關(guān).æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = 0 只有零解.)çÛ (a ,a,ç÷ç x ÷12sè s ø,as ) = sÛ r(a1,a2,2重要結(jié)論17 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)設(shè)m 個(gè) n 維向量ìï a1,a2,10 m = n ，用行列式,an= 0 Û 相關(guān)¹ 0 Û 無(wú)關(guān)í a ,a ,aï&#

32、238;12n20 m > n ，必相關(guān).30 m < n ，（具體數(shù)字型），用化行階梯1）部分相關(guān)Þ 整體相關(guān)2） 整體無(wú)關(guān)Þ 部分無(wú)關(guān)3） 原來(lái)相關(guān)Þ 縮短相關(guān)4） 原來(lái)無(wú)關(guān)Þ 延長(zhǎng)無(wú)關(guān)，看秩.æ -8 öæ 3 öæ 9 öç 1 ÷ç 0 ÷ç÷0ç ÷ç ÷ç÷【例】a1 = ç 7 ÷，a2 = ç 6 ÷ ，a3

33、 = ç -11÷ ，向量組的線性相關(guān)性.ç 0 ÷ç 6 ÷ç÷5ç ÷ç ÷ç÷ç 0 ÷ç 0 ÷ç÷6è øè øèø【例 1】設(shè)n 維(n ³ 3) a1 = (a, a, a, b)T ，a = (a, a,2, b, a)T ，a = (b, a,a ,a ,a ) = n -1，則a ， b 滿(mǎn)足., a, a)

34、 ， ab ¹ 0 ，若r(Tn12n，a 是 n 維列向量，若 Am-1a ¹ 0 ， Ama = 0 ，證明：a, Aa, A2a, Am-1a【例 2】 An´n線性無(wú)關(guān).18 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)二、線性表出1定義, xs ，使 b = x1a1 + xsas 成立.稱(chēng) b 可由a1,as 線性表出（示）. $ 一組數(shù) x1,æ x1 öç x ÷Û (a ,a,a2 ÷ = b 有解)çç÷ç x ÷12sè s ø,as )

35、 = r(a1,a2 ,Û r(a1,a2 ,as , b )不$ 任何一組數(shù)s ，使 b =sas 成立.稱(chēng) b 不可由a1,a2 ,as 線性表出（示）.æ x1 öç x ÷,a2 ÷ = b 無(wú)解.)çÛ (a ,aç÷ç x ÷12sè s ø2重要結(jié)論若a1,若 b1,若 b1,as 線性無(wú)關(guān)，但a1,as , b 線性相關(guān)，則 b 可由a1,as 唯一表示., bs 可由a1, bs 可由a1,at 表出，且 s > t ，則 b1,

36、bs 必相關(guān).,at 表出，且 b1, bs 線性無(wú)關(guān)，則 s £ t .【例】設(shè)a1,as 線性相關(guān)，a2 ,as+1 線性無(wú)關(guān)，（）a1 能否由a2,as 表出？（）as+1 能否由a1,as 表出？三、極大無(wú)關(guān)組與秩1定義若a ,a ,a滿(mǎn)足：1 取自a ,a ,a線性無(wú)關(guān)；3 a ,a ,a中"a000；2i1i2ir12s12si19 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)ai 是a1,a2,as 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且均可由ai ,ai ,ai 線性表示.則稱(chēng)ai ,ai ,12r12r秩(a1,a2,as ) = r .重要結(jié)論若A 經(jīng)過(guò)初等行變換化為B，則 A 的列向量組與

37、B 的列向量組有相同的線性相關(guān)性，即A = (a1,a2 ,as )行B = (b1, b2 ,bs )sass bs = 0 同解.= 0與【例 1】設(shè)a1 = (1,1,1, 0) ，a = (1,1, 0, 0) ，a = (3, 3, 2, 0) ，a = (1, 0, 0, 0) ，TTTT234a5 = (3, 2,1, 0) ，求其極大無(wú)關(guān)組與秩.T四、等價(jià)向量組1定義（）a1,a2,as ，（） b1, b2 ,bt ，則（）與（）等價(jià)Û （）與（）可互相線性表出. 2重要結(jié)論（）與（）等價(jià)Û r（）=r（）且可單方表出.Û r（）=r（）=r（|

38、）.20 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)-1æ 1 öç 2 ÷æöæö2ç a - 3÷ç÷8= ç÷ ，a= ç÷ ，a= ç÷ ，【例】設(shè)（）aç -1÷ç 2 ÷ççèö÷÷øç b -1 ÷1231-2ç 3 - b ÷èøèø&

39、#230;öæçæö2371ç b + 5÷÷ç 2b + 4 ÷= ç÷ ， b= ç÷ ， b= ç÷÷÷ø（） bççè÷÷øç a - 4 ÷ççè1-2423-12ç 7 - a ÷èø a ， b 取 a ， b 取，r（）=r（），且（），（）等

40、價(jià).，r（）=r（），但（），（）不等價(jià).五、齊次方程組 AX = 01解的判定AX = 0 只有零解Û r( A) = n ；AX = 0 有非零解Û r( A) < n （未知數(shù)個(gè)數(shù)n ）2基礎(chǔ)解系Û 無(wú)窮多解的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組定義：設(shè)x ,x ,x滿(mǎn)足：10 是 AX = 0 的解；20 線性無(wú)關(guān)；30 s = n - r( A)3 + x4 + x5 = 012sìï3+ x - 3x = 0ï345【例 1】求í的通解.+ 6x = 0ï45ï5+ 3x - x = 0î34521

41、 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)【例 2】 An´n ， M11 ¹ 0 ，求 AX= 0 的通解.= b六、非齊次方程組 AX1解的判定AX = b 無(wú)解Û r(A) +1 = r(A b ) 或 r( A) ¹ r( A b ) ；= b 有唯一解Û r( A) = r( A b ) = n ；AXAX = b 有無(wú)窮多解Û r( A) = r( A b ) < n2解法10 求 AX = 0 的通解；20 求 AX = b 的一個(gè)特解非齊次通解=齊次通解+非齊次特解4 = -6ìï【例】求- x = 1的通解.&

42、#237;34ï= 3î3七、秩的等式與不等式1定義：對(duì) Am´n ， $k 階子式¹ 0 ， "k +1 階子式= 0 Þ r( A) = k22 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)2重要結(jié)論（1）關(guān)于 A 本身1） Am´n ， 0 £ r( A) £ minm, n2） r(kA) = r( A) ， k ¹ 03） r(A) = r(AT ) = r(AAT ) = r(AT A)證明：4） A， r(An ) = r(An+1)n´n（2）關(guān)于 A ， B ， C ，拼起來(lái)，不運(yùn)算

43、6;r( A B)üïï £ r( A) + r(B)5） max r( A), r(B) £íïîýïþAr()B6） r( A) + r(B) £ r æ AO ö £ r( A) + r(B) + r(C)ç CB ÷èø23 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)（3） A + B7） r( A + B) £ r( A) + r(B)（4） AB8） Am´n ， Bn´s ， r( A

44、) = n Þ r( AB) = r(B)9） r( A) + r(B) - n £ r(AB) £ minr(A), r(B)（5） A*r( A) = n,ìn,ï10） r( A ) = 1,r(n) = n -1,*íï0,r( A) < n -1î24 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)向量空間（數(shù)一）1對(duì)向量空間V若a ,a ：10 取自V ；20 線性無(wú)關(guān)；30V 的任一a 均可由它們表出.1rÞ a1,ar 叫V 的一個(gè)基.且a = k1a1 + krar ， k1, kr 叫a 在這個(gè)基下的坐標(biāo)

45、.（唯一）2設(shè)a ,a ， b , ba ,a )C = (b , b ) ，稱(chēng)C 為n為 R 的兩個(gè)基，且(1n1n1n1n(a1,an ) 到(b1, bn ) 的過(guò)渡矩陣.（ C 可逆）æ 1 öæ 1 öæ 1 ö【例】設(shè)a = ç 0 ÷ ， a = ç 1 ÷ ，a = ç -1÷ ，ç ÷ç÷ç÷123ç 1 ÷ç -1÷ç 1 ÷è

46、 øèøèøæ 3 öæ 2 öæö0b = ç 0 ÷ ， b = ç 0 ÷ ， b= ç÷2ç ÷ç ÷ç÷123ç 1 ÷ç 0 ÷ç -2 ÷è øè øèø是 R3 的兩個(gè)基.（）求(a1,a2,a3) 到(b1, b2, b3) 的過(guò)渡

47、陣C ；h = (1,0, -(b , b , b ) 下的坐標(biāo)；T1)（）求在123（）已知x 在(b1, b2, b3) 下的坐標(biāo)為(1, 2, 0) ，求x 在(a1,a2,a3) 下的坐標(biāo).25 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)第四講特征值與二次型綜述知識(shí)結(jié)構(gòu)：10 $ 可逆矩陣C ，使得C -1 AC = B Þ AB20 $ 可逆矩陣 D ，使得 D-1AD = L Þ AL30 $ 正交矩陣 P ，使得 P-1 AP = L Þ ALf = XT AX X = PY (PY )T A(PY ) = YT PT APY = YT LY40一、 An´n

48、的特征值與特征向量1定義An´n ， xn´1 ¹ 0 ， l 為向量. 2性質(zhì)，若 Ax = lx ，則稱(chēng)l 為 A 的特征值， x 為 A 的屬于l 的特征nn åaiii=1= tr( A) = å lii=1nA = Õ lii=13求法定義法【例】 A， A2 - 3A - 4E = 0 ，A = -1，則A* + A-1=.3´326AaA + bEAkf ( A)A-1A*P-1APlal + bl kf (l )1/ lA / llxxxxxxP-1x 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)特征方程法Ax = lx ， x &

49、#185; 0 Þ lx - Ax = 0 Þ (l E - A)x = 0 Þ (l E - A) X = 0 有非零解Þ lE - A = 0 Þ l1, l2, ln （重根按重?cái)?shù)計(jì)）解(li E - A)X = 0 Þ xi （屬于li 的）， i = 1, n-7 öæ 3120【例 1】設(shè) A = ç 04 ÷ ，求 A 的特征值與特征向量.ç÷ç 0÷6èøæ11ö111【例 2】求 A = ç

50、;11÷的特征值與特征向量.ç÷ç11÷èø二、 AB 與 AL1 A 相似于 B（1） 定義： $ 可逆矩陣C ，使得C -1 AC = B Þ A（2） 性質(zhì)B；3） lE - A = lE - BAB Þ 1） r( A) = r(B) ；2）A =；4）tr( A) = tr(B) ；5）BAmBm ；6） f ( A)f (B) ；7） A-1 ， B-1$， A-12 ALB-1 ，f (A-1)f (B-1)， A*B* ，f (A*)f (B*)27 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)（1） 定義： $

51、 可逆矩陣 D ，使得 D-1AD = L Þ A重要結(jié)論： ALÛ A 有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.（2） 重要結(jié)論1）普通矩陣 Al1 ¹ l2 Þ x1 與x2 無(wú)關(guān)；l1 = l2 Þ x1 與x2 相關(guān)性不確定. 2）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A （ aij = a ji ）Ll1 ¹ l2 Þ x1 x2 （正交）；l1 = l2 Þ x1 與x2 正交或不正交，但一定是線性無(wú)關(guān)的.（3） AL 的判別法1）兩個(gè)充分條件A 有 n 個(gè)不同的特征值li Þ AL .A 為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Þ A2）兩個(gè)充要

52、條件L .A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量Û AL .ni = n - r(li E - A) ， li 為ni 重根Û AL .æ 16708 ö【例 1】判別 A = ç 00 ÷ 是否可以相似對(duì)角化？ç÷ç 00 ÷èøæ 12101 ö【例 2】判別 A = ç 00 ÷ 是否可以相似對(duì)角化？ç÷ç 03 ÷èø28 數(shù)學(xué)課堂系列線性代數(shù)æ 11 ö

53、1【例 3】判別 A = ç 222 ÷ 是否可以相似對(duì)角化？ç÷ç 33 ÷3èøæö111【例 4】判別 A = ç 222 ÷ 是否可以相似對(duì)角化？ç÷ç -3-3-3÷èø3 AB 的判別法1） An´n ， Bn´n ， A 實(shí)對(duì)稱(chēng)，則 AL ， BL ， A2） An´n ， Bn´n ， A ， B 均可對(duì)角化， lA = lB Þ A3） An´n 對(duì)稱(chēng)， Bn´n 對(duì)稱(chēng)， lA = lB Þ ABB .Bæ11ö1÷æ 0ç 01 ö2 ÷1100ç1= ç÷ 與 B= ç÷ 相似.【例】證明： Aç÷ç÷nnç11÷ç 0n ÷10èøèø三、二