微專題27以解析幾何為載體的應(yīng)用題

1、微專題27以解析幾何為載體的應(yīng)用題< )數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是能力與素養(yǎng)的具體表現(xiàn).數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題是江蘇數(shù)學(xué)高考的突出亮點(diǎn)，常以中檔題（17或18題）的形式呈現(xiàn)，具有良好的區(qū)分度，是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).本專題集中介紹以解析幾何為載體的應(yīng)用問(wèn)題，常見(jiàn)的處理手段是結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，利用圖形中的幾何關(guān)系，通過(guò)解析法建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué) 知識(shí)予以解決.例題導(dǎo)弓I因微而準(zhǔn) 因低而細(xì)例題：如圖，為了保護(hù)河上古橋 OA ,規(guī)劃建一座新橋 BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī) 劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心 M在線段OA上并與BC相切的圓.且 古橋兩端。和A到該圓上任

2、意一點(diǎn)的距離均不少于 80 m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)。正東方向170 m處（OC為河岸），tan/BCO = g3求新橋BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?位S的2 7I言功聯(lián)想聯(lián)想問(wèn)題重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)變式1如圖所示，為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長(zhǎng) 12百米，寬5百米的矩形空地 ABCD 建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖 EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸，AB的 垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù) y = x,1+ -(x > 0)模型，園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上 X''

3、(1)若在點(diǎn)。和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長(zhǎng)廊 OM,求OM的最短長(zhǎng)度；(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口 Q,試確定Q的位置，使通道PQ最短.變式2如圖所示，有一矩形鋼板 ABCD缺損了一角(圖中陰影部分)，邊緣線OM上每 一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊 AB的距離.工人師傅要將缺損的一角切割下來(lái)使剩余部 分成一個(gè)五邊形，已知AB=4米，AD=2米.(1)如圖所示建立直角坐標(biāo)系.求邊緣線OM的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)P(t,m)為邊緣線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出點(diǎn)P處切線EF的方程(用t表示).求AF的值，使截去的 DEF的面積最小.如識(shí)串聯(lián)融會(huì)貫通8筆講激活0串講1如圖，相距14 km

4、的兩個(gè)居民小區(qū) M和N位于?岸1(直線)的同側(cè),M和N距 離河岸分別為10 km和8 km.現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點(diǎn)P,在P處建一個(gè)生活污水處理站，從P排直線水管PM, PN分別到兩個(gè)小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ,使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道，設(shè)PQ段長(zhǎng)為t(0<t<8) km.(1)求污水處理站到兩小區(qū)的水管的總長(zhǎng)最小值(用t表示)；(2)請(qǐng)確定污水處理站的位置，使所排三段水管的總長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)污水處理站分別到兩小區(qū)水管的長(zhǎng)度.串講2為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè)，某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點(diǎn)為水渠最底端（如圖），渠寬為4 m,渠深為2 m.（1）考慮

5、到農(nóng)村耕地面積的減少 ，為節(jié)約水資源，要減少水渠的過(guò)水量，在原水渠內(nèi)填 土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠 ，新水渠底面與地面平行（不改變渠寬），問(wèn)新水渠 底寬為多少時(shí)，所填土的土方量最少？（2）考慮到新建果園的灌溉需求，要增大水渠的過(guò)水量，現(xiàn)把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬，并求出這個(gè)底寬.新題在繞熱點(diǎn)在線精兵新題（2018九章密卷）如圖所示，有一塊扇形區(qū)域的空地 ，其中/AOB = 90° , OA = 120 m.現(xiàn)要對(duì)該區(qū)域綠化升級(jí)改造.設(shè)計(jì)要求建造三座涼亭供市民休息，

6、其中涼亭C位于OA上，且AC =40 m,涼亭D位于OB的中點(diǎn)，涼亭E位于弧 AB上.（1）現(xiàn)要在四邊形 OCED內(nèi)種植花卉，其余部分種植草坪，試確定E點(diǎn)的位置，使種植花卉的面積最大;（2）為了便于市民觀賞花卉，現(xiàn)修建兩條小道 EC和ED,其中EC小道鋪設(shè)塑膠，造價(jià) 為每米a元，ED為離開(kāi)地面高1 m的木質(zhì)棧道，造價(jià)為每米2a元，試確定E點(diǎn)的位置， 使兩條小道總造價(jià)最小.劉1危答題答題標(biāo)準(zhǔn)城少失分C某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋(圖1)將河兩岸的路連接起來(lái)，剖面設(shè)計(jì)圖 紙(圖2)如下：其中，點(diǎn)A, E為x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，曲線段BCD是橋的主體，C 為橋頂，且曲線段BCD在圖紙上的

7、圖形對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y = -8x2(x -2, 2),曲線段AB, DE均為開(kāi)口向上的拋物線段，且A, E分別為兩拋物線的頂點(diǎn).設(shè)計(jì)時(shí)要求：保 持兩曲線在各銜接處(B, D)的切線的斜率相等.(1)求曲線段AB在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式 ，并寫(xiě)出定義域；(2)定義車(chē)輛在上橋過(guò)程中通過(guò)某點(diǎn)P所需要的爬坡能力(Climbing Ability )為Mp=(該點(diǎn)P與橋頂間的水平距離)X(設(shè)計(jì)圖紙上該點(diǎn) P處的切線的斜率)，其中Mp的 單位：米.若該景區(qū)可提供三種類(lèi)型的觀光車(chē)：游客踏乘；蓄電池動(dòng)力；內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力 2.0米，又已知圖紙上一個(gè)單位長(zhǎng)度表示實(shí)際長(zhǎng)度 順利過(guò)橋？,它們的爬坡能力分別為0.8米，

8、1.5米,1米，試問(wèn)三種類(lèi)型的觀光車(chē)是否都可以12 答案：(1)y = G(x + 6) ( 6W X w 2); (2) “游客踏乘”的車(chē)輛不能順利通過(guò)該橋，而“蓄電池動(dòng)力”和“內(nèi)燃機(jī)動(dòng)力”的車(chē)輛可以順利通過(guò)該橋.解析：(1)據(jù)題意，拋物線段AB與x軸相切，且A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)A(a, 0)(a< - 2),則拋物線段AB對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式可設(shè)為y= A(x-a)2(a<x<- 2)( X >0, 2分其導(dǎo)函數(shù)為y'= 2Xx-a).由曲線段BD的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y =1J4 + x16x(xC 2, 2),又 y，=(4 + x2)2,且B( 2, 1

9、),所以曲線在B點(diǎn)處的切線斜率為12'a= - 6,解得S 1 4分入(-2 a) =1,因?yàn)锽點(diǎn)為銜接點(diǎn)，則12X (2a) =,所以曲線段AB在圖紙上對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為丫 = 116僅+6)2(6WxW 2).5 分(2)設(shè)P(x, y)是曲線段AC上任意一點(diǎn)，若P在曲線段AB上，則通過(guò)該點(diǎn)所需要的112”爬坡能力(Mp)i = (x) 8(x+6) = 81(x + 3)29( 6Wx<2), 6 分入11令 y = 二(x+3) -9(-6<x<- 2),所以函數(shù) y1 = -；(x+3) -988(6WxW2)在區(qū)間 6, 3上為增函數(shù)，在區(qū)間3, 2上是減函數(shù)，所以(Mp)lmax=8(米)9若P在曲線段BC上，則通過(guò)該點(diǎn)所需要的爬坡能力(Mp)2=(-x) , % 2譚2P (2WxW0), 10 分令 t=x2, t0, 4,則(Mp)2=(4：: 2,任0, 4,記 y2=(4：；)2,代0, 4,當(dāng)t = 0 時(shí),y2=0,而當(dāng) 0Vtw4 時(shí)，y2= 16一t16卜t+8 .16 .,所以當(dāng)t=4時(shí)，t + p有