曲線積分與曲面積分高等數(shù)學(xué)

1、第九章 曲線積分與曲面積分一、內(nèi)容分析及教學(xué)建議線面積分也是由實(shí)際問(wèn)題的需要而產(chǎn)生的，是多元函數(shù)積分學(xué)的一個(gè)重要組成部分，內(nèi)容多，難度大。（一） 線積分1、可從曲線構(gòu)件質(zhì)量和變力沿曲線作功引入第類和第線積分，教學(xué)上注意比較兩者以及和定積分聯(lián)系及區(qū)別；2、對(duì)于線積分的計(jì)算公式的證明，可按教材的方法卻通過(guò)連續(xù)函數(shù)的可積性及積分值與分法及取法無(wú)關(guān)之方法證明，這樣可避開(kāi)用一致連續(xù)性概念；3、重點(diǎn)可放在恰當(dāng)?shù)剡x取參數(shù)及第、第類線積分上下限確定的原則及區(qū)別；4、第類線積分對(duì)稱性時(shí)常用到，第類線積分對(duì)稱性相對(duì)復(fù)雜，用的不多。結(jié)論1：設(shè)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為關(guān)于那段曲線結(jié)論1：設(shè)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中是

2、在那段曲線。（二）格林公式及其應(yīng)用1、要講透格林公式的推導(dǎo)、意義和作用，從而建立平面線積分與路徑無(wú)關(guān)的各種等價(jià)條件；2、當(dāng)計(jì)算曲線積分時(shí)，如果積分路徑比較復(fù)雜，不宜采用直接公式計(jì)算時(shí)，則可轉(zhuǎn)化為利用格林公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，教學(xué)中一定要強(qiáng)調(diào)注意驗(yàn)證格林公式的條件；1 / 14利用格林公式，求解第類線積分常用方法：）直接用 （封閉曲線等）補(bǔ)線 （非封閉曲線等）當(dāng)被積函數(shù)在曲線所圍區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，用小曲線控掉奇點(diǎn)，再用Green公式）利用積分與路徑無(wú)關(guān)性計(jì)算曲線積分可通過(guò)例題講解各種方法的使用，教學(xué)中同時(shí)要注意講清每一種用法的適用范圍，注意事項(xiàng)；3、 為全微分時(shí)，求原函數(shù)中要求學(xué)生理解公式，不要死記，在

3、具體解題時(shí)應(yīng)畫出折線段，再分別在各段上把曲線積分化為定積分來(lái)計(jì)算。（三）曲面積分1、由曲面構(gòu)件質(zhì)量和流量等實(shí)例引入兩類面積分概念。在性質(zhì)上，可類比兩類相對(duì)應(yīng)的線積分；在概念上，注意相互比較以及和二重積分的比較；2、直接計(jì)算（又稱投影法）第類曲面積分時(shí)，首先要考慮到向哪個(gè)坐標(biāo)面投影之問(wèn)題。以下兩點(diǎn)要讓學(xué)生理解： 主要取決于積分曲面方程的表達(dá)式，若要把曲面投影到平面上，則應(yīng)把方程寫成形式（或者說(shuō)，一定要能寫成這種形式，否則不能向平面投影?。?假若能同時(shí)向幾個(gè)坐標(biāo)面投影，原則上選取一個(gè)較為簡(jiǎn)單（曲面方程、投影區(qū)域積分計(jì)算簡(jiǎn)單）的坐標(biāo)面。3、第類曲面積分是教學(xué)中一大難點(diǎn)，可從以下幾方面來(lái)分解：）類比第

4、類線積分）講透有向曲面、側(cè)的概念（必要時(shí)借助于簡(jiǎn)單教具）講清有向曲面與各個(gè)坐標(biāo)面之間的投影關(guān)系）具體應(yīng)用公式（投影法）計(jì)算第類曲面積分時(shí)，應(yīng)講清這樣的思路。以為例：a 根據(jù)積分變量，將曲面的方程化為形式；確定曲面的側(cè)（前側(cè)、后側(cè)）以及在平面上的投影區(qū)域；b 將方程代入被積函數(shù)c 計(jì)算二重積分 （四）高斯公式、斯托克斯公式1. 花較少時(shí)間講清定理的證明，較多時(shí)間放在如何應(yīng)用公式上，尤其是高斯公式；2. 可類比格林公式，加深這幾個(gè)公式的理解；3. 結(jié)合例題，對(duì)于常見(jiàn)的兩種曲面情況（封閉及非封閉），講清高斯公式應(yīng)用條件及具體方法；4. 空間曲面路徑無(wú)關(guān)性定理及應(yīng)用，略講或不講；5. 通量、環(huán)流量、散

5、度及旋度只作介紹；6. 對(duì)于斯托克斯公式，證明可略講。如何應(yīng)用？一般是求，寫出的參數(shù)方程較困難，或者直接代入的參數(shù)式很繁時(shí)，可考慮用斯托克斯公式，這一點(diǎn)可結(jié)合教材之典型例題講解；7. 至此，可以把各類積分統(tǒng)一定義為，其中是所有直徑的最大者。二、 補(bǔ)充例題：例.計(jì)算，其中是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。解：當(dāng)，有，故積分與路徑無(wú)關(guān)，取新路徑，上半單位圓周順時(shí)針?lè)较颍ㄗ⒁獠荒苓x軸一段）例2 計(jì)算，其中是拋物線上從點(diǎn)到一段弧解法1：，的積分與路徑有關(guān)，記為弧段與直線,所圍區(qū)域，是直線與的交點(diǎn)，則由格林公式 解法2：設(shè)法用積分與路徑無(wú)關(guān)性求解 例. 設(shè)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)

6、任意恒有：，求。解： 由積分與路徑無(wú)關(guān)性有，于是，為待定函數(shù)，且， 由題設(shè)對(duì)任意的應(yīng)有 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：，即,所以例. 計(jì)算,其中是平面與柱面的交線，從軸正向看，為逆時(shí)針?lè)较?。解?記為平面上所圍成部分上側(cè)，為在坐標(biāo)面上投影，由斯托克斯公式得： 例5. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿著以為直徑的圓圍，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，受力的作用，的大小等于點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于，求變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功。解： 按題意，變力，有向弧的方程是：（從）變力所作的功為 或 例5選擇使是某一函數(shù)的全微分，并求。解： ，由全微分條件下面用三種方法求：方法1 （湊全微分法）方法2 用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性，選折線

7、為積分路徑，則 方法3 不定積分法設(shè)，則， 故 ，例7. 設(shè)為橢球面的上半部分（即部分），點(diǎn)， 為在點(diǎn)的切平面，為點(diǎn)到平面下的距離，求 解法1 為上任意一點(diǎn)，則的方程為從而得 由的方程，有， 在面投影域?yàn)?解法2 如解法1，設(shè)為在第一象限的部分，則由對(duì)稱性 由的方程得 在面投影域?yàn)椋?所以 例. 計(jì)算，其中為曲面在第一象部分（）的上側(cè)解法1 投影法（直接計(jì)算）設(shè)，分別表示在平面、平面、平面的投影，相應(yīng)把的方程分別是，則 解法2 高斯公式 此時(shí)要補(bǔ)上三個(gè)平面塊，與曲面塊構(gòu)成封閉曲面，所圍成的空間區(qū)域記為，注意到取內(nèi)側(cè)，因此 解法3 （化為第一類曲面積分） 曲面塊方程，得，從而 ， ， 例9 計(jì)算

8、，其中：，上側(cè)解： ，補(bǔ)有向曲面塊：取下側(cè)，則 所以 例10 計(jì)算，其中具連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為錐面與兩球面， 所圍立體的表面取外側(cè)。解： 由高斯公式 三、 補(bǔ)充練習(xí)1. 計(jì)算，為園周及兩條坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成的整個(gè)扇形邊界 （）1. 計(jì)算，其中為從點(diǎn)，經(jīng)過(guò)到的折線段 （）為從點(diǎn)到圓弧 3 利用格林公式計(jì)算曲線積分其中 為在拋物線上由點(diǎn)到的一段弧 4. 計(jì)算，其中為過(guò)點(diǎn)，三點(diǎn)所決定的圓周上的一段弧 5. 驗(yàn)證：在右半平面內(nèi)是全微分式，并求出一個(gè)原函數(shù) 6 計(jì)算曲面積分，其中是介于平面及（）之間的圓柱面 7 計(jì)算，其中是上半球面（）的下側(cè) 8. 計(jì)算，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面,圓柱面和坐標(biāo)面在第一卦限內(nèi)所圍成的空間區(qū)域的邊界曲面外側(cè) 9. 計(jì)算，其中是由平面,拋物柱面及