排列數(shù)與組合數(shù)

1、排列數(shù)與組合數(shù)排列數(shù)與組合數(shù)問題一：問題一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去參名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去參名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 有順序有順序無順序無順序上午甲甲乙乙甲甲丙丙丙丙乙乙下午乙乙甲甲丙丙甲甲乙乙丙丙問題一：問題一：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同

2、學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去參名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？同的選法？問題二：問題二：從甲、乙、丙從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出名同學(xué)中選出2名去參名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？236A 有順序有順序無順序無順序323C組合問題組合問題排列問題排列問題 一般地，從一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素個(gè)元素合成一組合成一組，叫做從，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)組

3、合組合組合定義組合定義:排列定義排列定義: : 一般地說，從一般地說，從n n個(gè)不同元素中，取出個(gè)不同元素中，取出m (m (mnmn) ) 個(gè)元素，個(gè)元素，按照一定的順序按照一定的順序排成一列排成一列，叫做從，叫做從 n n 個(gè)不個(gè)不同元素中取出同元素中取出 m m 個(gè)元素的一個(gè)個(gè)元素的一個(gè)排列排列. .思考思考: :排列與組合的概念，它們有什么不同點(diǎn)？排列與組合的概念，它們有什么不同點(diǎn)？ 不同點(diǎn)不同點(diǎn):對于所取出的元素，排列要對于所取出的元素，排列要“按照一定的順序按照一定的順序排成一列排成一列”，而組合卻是，而組合卻是“不管怎樣的順序并成一組不管怎樣的順序并成一組”排列排列與元素的順序有

4、關(guān)，而與元素的順序有關(guān)，而組合組合則與元素的順序無關(guān)則與元素的順序無關(guān) 想一想想一想:ab與與ba是相同的排列還是相同的組合是相同的排列還是相同的組合?為什么為什么?判斷下列問題是組合問題還是排列問題判斷下列問題是組合問題還是排列問題? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有的含有3個(gè)元素的個(gè)元素的子集有多少個(gè)子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票多少種車票? 有多少種不同的火車票價(jià)？有多少種不同的火車票價(jià)？組合問題組合問題排列問題排列問題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個(gè)學(xué)習(xí)小組

5、，名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法共有多少種分法?組合問題組合問題(4)10人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候，人聚會(huì)，見面后每兩人之間要握手相互問候，共需握手多少次共需握手多少次?組合問題組合問題(5)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽個(gè)安排游覽,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?組合問題組合問題(6)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)個(gè),并確定這并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序順序,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?排列問題排列問題組合問題組合問題排列數(shù)排列數(shù):從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有排）個(gè)

6、元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示如如:那么如何計(jì)算呢那么如何計(jì)算呢:mnA623A2423434A2434A62323A排列數(shù)排列數(shù):從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有排）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示mnAAn =n(n-1)(n-2) (n-m+1)m,mn 特殊的：特殊的：An =n(n-1)(n-2) 321=n！n稱為稱為n的的階乘階乘組合數(shù)組合數(shù):從從

7、n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示mnC323C如如:624C那么如何計(jì)算呢那么如何計(jì)算呢:3122323C6123424C組合數(shù)公式組合數(shù)公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm組合數(shù)組合數(shù):從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素的素的組合數(shù)組合數(shù)，用符號(hào)，用符號(hào) 表示表示mnC判斷判斷判斷判斷下列

8、幾個(gè)問題是不是排列問題下列幾個(gè)問題是不是排列問題? ?從從班級(jí)班級(jí)5名優(yōu)秀團(tuán)員中選出名優(yōu)秀團(tuán)員中選出3人參加上午的團(tuán)委會(huì)人參加上午的團(tuán)委會(huì)1000本不同的參考書中選出本不同的參考書中選出100本給本給100位同學(xué)每人一本位同學(xué)每人一本1000名來賓中選名來賓中選20名貴賓分名貴賓分別坐別坐120號(hào)貴賓席號(hào)貴賓席寫出從寫出從a,b,c,da,b,c,d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有組合。abc ， abd ， acd ， bcd . abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc a

9、db bda cda dca adc bdc cdb dcb所有的排列為：寫出從寫出從 a , b , c , d 四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有排列四個(gè)元素中任取三個(gè)元素的所有排列.組合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb1.1. 某段鐵路上有某段鐵路上有1212個(gè)車站，個(gè)車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通客共需要準(zhǔn)備多少種普通客票？票？應(yīng)用練習(xí)應(yīng)用練習(xí)2.2. 某年全國足球甲級(jí)某年全國足球甲級(jí)(A(A組組) )聯(lián)賽共有聯(lián)賽共有1414

10、隊(duì)參加隊(duì)參加, ,每隊(duì)都每隊(duì)都要與其余各隊(duì)分別比賽要與其余各隊(duì)分別比賽1 1次次, ,共進(jìn)行多少場比賽共進(jìn)行多少場比賽? ?問題一問題一某航空公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)城市中每兩某航空公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)城市中每兩個(gè)城市之間都開辟了直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少個(gè)城市之間都開辟了直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的單程飛機(jī)票種不同的單程飛機(jī)票? ?問題二問題二從從1 1，2 2，3 3，4 4四個(gè)字母中四個(gè)字母中, ,每次取每次取3 3個(gè)字母排個(gè)字母排成一列成一列, ,共有多少種排法共有多少種排法? ?43= 12432= 24乘法原理：乘法原理：排列數(shù)公式：排列數(shù)公式：43= 12乘法原理：乘法原理：4

11、32= 24排列數(shù)公式：排列數(shù)公式：24A34A法二法二 分兩步分兩步: : 第一步選出正旗手第一步選出正旗手第二步選出副旗手第二步選出副旗手 從甲從甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中選兩名同學(xué)升丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中選兩名同學(xué)升旗旗, ,并指定正旗手并指定正旗手, ,副旗手副旗手, ,共有多少種選法共有多少種選法? ?法三法三 分兩步分兩步: : 第一步選出兩個(gè)旗手第一步選出兩個(gè)旗手第二步確定正副旗手第二步確定正副旗手問題問題 從甲從甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中選兩名同學(xué)升旗選兩名同學(xué)升旗, , 共有多少種選法共有多少種選法? ?組合組合發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)問題問題2

12、2A24A法一排列問題：甲甲 乙乙 丙丙 丁丁乙乙 丙丙 丁丁丙丙 丁丁甲甲 乙乙甲甲 丙丙甲甲 丁丁乙乙 丙丙乙乙 丁丁丙丙 丁丁 第一步四名同學(xué)中第一步四名同學(xué)中選出選出兩個(gè)旗手共有兩個(gè)旗手共有種不同的方法種不同的方法第二步確定旗手順序共第二步確定旗手順序共 種不同的方法種不同的方法A A2 22 2所以總共有所以總共有6 62=122=12種不同的方法種不同的方法探求組合數(shù)探求組合數(shù)A A4 4 2 2C C4 4 2 2A A2 2 2 2= =A A4 4 2 2C C4 4 2 2A A2 2 2 2= =從甲從甲. .乙乙. .丙丙. .丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中選兩名同學(xué)升旗丁四名優(yōu)秀團(tuán)員中選兩名同學(xué)升旗, ,并指定正旗手并指定正旗手, ,副旗手副旗手, ,共有多少種選法共有多少種選法? ?mnC如何計(jì)算如何計(jì)算 ? ?組合是選擇的結(jié)果，排列組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果是選擇后再排序的結(jié)果.6 6C C4 4 2