2003高考數(shù)學(xué)試題(江蘇)及答案

1、 精誠凝聚=A，=成就夢想 翻點(diǎn)亮心燈/（AVA）照亮人生2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共60分）、選擇題:的.本大題共 12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求如果函數(shù)y =ax2 +bx + a的圖象與x軸有兩上交點(diǎn)，則點(diǎn)（a, b）在aOb平面上的區(qū)域（不包含邊界）為2.3.4.5.6.7.8.b bO(A)(B)2 =ax的準(zhǔn)線方程是y=2 ,則a的值為5 a拋物線yB.已知Jix (,0), cosx 二2724184 fl -一，則 tan2x =57B.一 24設(shè)函數(shù)f（x）=<2a1x2,O

2、是平面上一定點(diǎn),P的軌跡一定通過4A.函數(shù)C.夕卜心y = lnC.C.247-1,x <0,若f (x0) >1, x 0.A、(0, +8)b ba(C)(D)b則xo的取值范圍是B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),ABC的B.內(nèi)心( )C.重心動(dòng)點(diǎn)D.D.247(1 , +°°)P 滿足5P =OA+£(-AB-|AB|AC/C), '0,二),I AC|x 1,xx -1W（1,）的反函數(shù)為-'1ex1,x (0,二),x(一/0)B.D.棱長為a的正方體中,3 a A.1 3ex 11,x-"1（0,二）（一嗎0）連結(jié)相鄰

3、面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為3aB. 一43 a C. 一63aD. 一122.-設(shè) a a 0, f (x) = ax +bx + c,曲線 y =f （x）在點(diǎn)P（x0,f（x0）處切線的傾斜角的取值范圍為0,£，則P4精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII到曲線y = f （x）對稱軸距離的取值范圍為翻點(diǎn)亮心燈/(人9)照亮人生A. 0,- a1B 00C 0,|小D.,229.已知萬程(x 2x + m)(x 2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為0,lb-1|2a1 1的等差數(shù)列，則|mn|=4A. 13B.一4D.10.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為直線y=x

4、1與其相交于 M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，2為-2 ,則此雙曲線的方程是32xA. 一2匕=1B.=1C.2匕=12 x D.11.已知長方形四個(gè)頂點(diǎn)(0, 0), B (2,0),C (2, 1)和 D（0, 1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)Po沿與AB夾角為0的方向射到設(shè)P4的坐標(biāo)為（1 ,、A. （ ,1）3BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到 CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4 （入射角等于反射角）0）.若1< x4<2,則tan。的取值范圍是1 2、B. ( ,-)3 32 1、C- (5,2)* 2、D- (5,3)12. 一個(gè)四面體的所有棱長都為五,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此

5、球的表面積為A. 3兀B. 4兀D. 6兀第II卷（非選擇題共90分）其中真命題的序號是.（寫出所有真命題的序號）二、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，把答案填在題中橫線上.13 . （x2 2）9展開式中x9的系數(shù)是 2x14 .某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為 1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取 46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取15 .某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法種.（以數(shù)字作答）16 .對于四面體 ABCD，給

6、出下列四個(gè)命題若 AB=AC，BD=CD ,貝U BCXAD.若 AB=CD , AC=BD ,貝U BCXAD.若 AB LAC, BD ±CD,貝 U BCXAD. 若 AB，CD , BD ±AC,貝 U BCXAD.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 .（本小題滿分12分）有三種產(chǎn)品，合格率分別是 0.90, 0.95和0.95,各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn).（I）求恰有一件不合格的概率；（n）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001）18 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) =sin(8x +平)(切>0,0

7、<P En)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) M (竺,0)對稱，且在區(qū)間0,3 一一42上是單調(diào)函數(shù)，求 中和3的值.19 .(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，/ ACB=90 ° ,側(cè)棱AA1=2, D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是 ABD的垂心G.(I)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(II)求點(diǎn) A1到平面AED的距離.A20 .(本小題滿分12分)已知常數(shù)a >0,向量c=(0,a),i =(1,0).經(jīng)過原點(diǎn)。以c +九i為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A (0, a)以

8、1 -2九c為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中 ” R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F,使得|PE|+|PF內(nèi)定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21 .(本小題滿分12分)已知a0,n為正整數(shù).(I)設(shè) y =(xa)n,證明y' = n(xa)"(n )設(shè) fn (x) =xn -(x -a)n,對任意 n 之a(chǎn),證明儲+ (n +1) >(n +1) fn (n).22 .(本小題滿分14分)設(shè)a > 0,如圖，已知直線l : y =ax及曲線C： y=x2, C上的點(diǎn)Qi的橫坐標(biāo)為科(0<a <a).從C上的點(diǎn)Qn (n>1)

9、作直線平行于x軸，交直線l于點(diǎn)Pn書，再從點(diǎn)Pn書作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)Qn+1.Qn (n=1, 2, 3,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 aj-.(I)試求an書與an的關(guān)系，并求 QJ的通項(xiàng)公式;. 1 .1(n)當(dāng) a =1, a1 £一時(shí)，證明 £ (ak -ak+)ak七 <2km321:二一.3n(出)當(dāng)a=1時(shí)，證明 工(ak -ak由)a"k -4精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(江蘇卷)答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題 5分，滿分60分.1. C 2. B 3. D 4. D

10、 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. D 11. C 12, A二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題 4分，滿分16分.13. 2114, 6,30,1015. 12016.2三、解答題17.本小題要主考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分12分.解：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C.(I) P(A) =0.90, P(B) =P(C) =0.95 ,P(A) =0.10, P(B) =P(C) =0.50.因?yàn)槭录嗀, B, C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為P(A B C) P(A B C) P(A B C)=

11、P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(公)P(B) P(C) =2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95 =0.176答：恰有一件不合格的概率為 0.176.解法一：至少有兩件不合格的概率為P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)一一一一 2一一 一一一一一一 一 一一 2 一一 一=0.900.0520.100.050.950.10 0.05=0.0 1 2解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為P(A B C)=P(A) P(B) P(C) =0.90 0.952 =0.812由(I)知，恰有一件不合格的概率為0.176,

12、所以至有兩件不合格的概率為1 P(A B C) 0.176 =1 (0.812 0.176) =0.012.答：至少有兩件不合的概率為 0.012.(18)在小題主要考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計(jì)算能力，滿12分分解：由f (x)是偶函數(shù)，得f (x) = f (x), 即 sin(f：x ：1)=sin( x，：)， 所以 -cos - sin x =cos :sin x對任意x都成立,且3 A0,所以得cos中=0.翻點(diǎn)亮心燈/(AVA)照亮人生依題設(shè)0 <* <兀所以解得中=工.一 一2由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M對稱,彳#f (_ -x) =

13、_f ( +x),3，二44取 x =0,彳#f (34) =sin(3 +) =cos.f=sin(= ,.)=cos=, 4424 cos3 =0,又6 >0,得 3L = +kn,k =1,2,3, 442 =|(2k 1),k =0,1,2,.欄)在0,£上是減函數(shù)；22當(dāng)k =0日寸，.=|, f(x) =sin(|X當(dāng)k =1時(shí)，0=2, f (x) =sin(2x +工)在0,注上是減函數(shù)； 22當(dāng)k至0時(shí),co =10, f (x) =sin(的+')在0上不是單調(diào)函數(shù)；一3222 .所以,綜合得切=2或仍=2.319.本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基

14、礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.滿分12分.解法一：(I )解：連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD的射影，即/ EBG是A1B與平面ABD所成的角. 設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC,丁 D,E分別是CC1, AB的中點(diǎn)，又DC _L平面ABC,CDEF為矩形連結(jié)DE,G是*DB的重心，二G WDF.在直角三角形EFD中2_12EF2 =FG FD = FD2, EF =1,. FD = 3. 3于是 ED = 2,EG2. ,33sindEBG = EG EB<FC =CD =<2,.AB =2、2,AB =2v3,EB =<3.A,B與平面ABD所成的角是arcs

15、in . 3(口)連結(jié) A1D,有 VA1 3ED =VD 3A1E丁 ED _L AB, ED _L EF,又EF c AB = F,ED _L平面A1AB,設(shè)A1到平面AED的距離為h, 則 S AED h 二 SA1AB ED一一 1 一 1-16又S.Aae =2S.A1AB 4A1A AB = - 2,S aed - AE ED =-2-.,h =、2 * =至6即入到平面AED的距離為空66332解法二：(I )連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD的射影，即/ ABG是A1B與平ABD所成的角.如圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O,設(shè)CA=2a,精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII則 A(

16、2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)2a 2a 1Ai(2a,0,2),E(a,al),G(73-，73_,.).翻點(diǎn)亮心燈Z/(AvA)照亮人生 a a 2,CE 飛T&bd =,1).2)2GE BD =_a _=0.解得2=1.33-24 1.BA1 =(2,二,2), BG =(_,_,).14/3_ 72 3 1 ,213333 3cos.ABG ;旦旦 | BA1 | BG |7AB與平面ABD所成角是arccos.3(口)由(I)有 A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AE ED =(-1,1,1) (-1, -1,0)

17、 =0, AA1 ED =(0,0,2)(1,1,0) =0, , ED _L平面AAE,又ED U平面AED.(I)當(dāng)a _涯時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;2(口)當(dāng)0a也時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E(1Jl-a2,a)F(-1J-a2,a) 22 1 222 1; 22(皿)當(dāng)a -馬時(shí)，方程也表小橢圓，焦點(diǎn)E(0 1 (a +，a2 1)和F(01(a_ . a2 )為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn) 2,22, 22(21)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運(yùn)用所數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分12分.n證明：(I)因?yàn)?xa)n=£C； (a)n,xk,k =0nn

18、kn _k k _1 -k- k 1 n 上 k。n 1所以 y' =：, kCn(a)xnCn/(a)x =n(xa).k 0k z0(口)對函數(shù) fn (x) = xn -(x-a)n求導(dǎo)數(shù)：fn (x) =nxn 1n(xa)n，所以fn (n) =nnn/ -(n -a)n.當(dāng)x _a。時(shí),fn (x) - 0.二當(dāng)x至a時(shí)，fn(x) =xn -(x a)n是關(guān)于x的增函數(shù).因此，當(dāng)n 之a(chǎn)時(shí),(n +1)n -(n +1 -a)n > nn -(n -a)nfn1 (n 1) =(n 1)(n 1)n (n 1 a)n(n 1)(nn -(n-a)n)r(n 1)(nn n(n a)n,)=(n 1)fn (n).即對任意 n - a, fn1 (n 1) (n 1) fn (n).14分.22.本小題主要考查二次函數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分精誠凝聚=A，=成就夢想 _HIII(I)解:21221Qn(an l,an ), Pn 1 (an , an ), Qn 1 ( aa4)., an 112an， aanE1)" a2工a a)221 12："：；2n 2 2二()a1a（n）證明：由a=1知a .n 12an J= (1)"a2La= d)12F a一，1,