2014競賽第二講一般物體的平衡答案

1、南華大學200 W00學年度第學期2014第二講一般物體的平衡一、相關(guān)概念（一）力臂：從轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對轉(zhuǎn)動軸的力矩。記為 M=FL單位“牛米”。一般規(guī)定逆時針方 向轉(zhuǎn)動為正方向，順時針方向轉(zhuǎn)動為負方向。（三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件作用在物體上各力對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零，即2 M=0,或2 M逆=2M順。（四）重心：計算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對合力作用點合力矩為零，則合力作用點為重心。2、割補法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反 向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：

2、x = migx1 +m2gx2 ,當坐標原點移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。 mig m2g -二、常用方法巧選轉(zhuǎn)軸簡化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線交點為軸，這些力的力矩為零，式子簡化得多；復雜的物體系平衡問題有時巧選對象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問題求解；無規(guī)則形狀的物體重心位置計算常用方法是通過割補思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計算。三、鞏固練習1 .如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為 MK半彳全為R;勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長度為1。求它的重心合成的方法【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力 找出重心G C在AB連線上，且 AC- M=

3、BC- m； 第二種方法是：將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質(zhì)量為 -M的球A的合成，用反向平行力合成的 方法找出重心 C, C在 AB連線上，且(2M+m) g方法的結(jié)BC(2M+m) =AC ML不難看出兩種MR-果都是BC = 乂。M m2 .將重為30N勺均勻球放在斜面上，球用繩子拉住，如圖所示.純ACf水平面平行，C點為球的最高點斜面傾角為370.求： 力(1理子的張力.幺(2)M面對球的摩擦力和彈力.答案：(1) 10N (2) 10N 30N解：(1)取球與斜面的接觸點為轉(zhuǎn)軸：mgRsin 370 -T(R + Rcos372)=0 ,得T=10N；(2)取球心為轉(zhuǎn)軸得，f=T

4、=10N;取 C 點為轉(zhuǎn)軸：f (R+RCOS370) _NRsin 370 =0 ,得 N=30N.3 .一個半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊，球跟墻面和水平地面間的靜摩為小，如果在球上加一個豎直向下的力 F,如圖所示.問；力F離球心的離s為多大，才能使球做逆時針轉(zhuǎn)動？解當球開始轉(zhuǎn)動時，hf2達到最大靜摩擦F G = Ni f2M = fi分別以球心和球與水平地接觸點為軸列力矩平衡方程.Fs = f1r + f2rJN 因f1, f2為最大靜摩擦爪2=皈擦因數(shù)都水平的距將以上方程聯(lián)立可得:s= Yr r4 .如圖所示，均勻桿的A端用錢鏈與墻連接，桿可繞A點自由轉(zhuǎn)動，桿的另一端放在長方形木塊上，

5、不計木塊 與地之間的摩擦力，木塊不受其它力作用時，木塊對AB干的彈力為10N將木塊向左拉出時，木塊對桿的彈 力為9N那么將木塊向右拉出時，木塊對桿的彈力是多少？（答案：11.25Nsin = 1 GCos -Ncos2解:木塊靜止時彈力為10N可得桿重G=20N 向左拉時：NLcos + NiLsin =GLcos，或N2向右拉時：NLcos =N2Lsin +GLcos，或N2 sin =N2cos -1 Gcos22兩式相比得4事,彳代邱5 .有一輕質(zhì)木板AB長為LA端用錢鏈固定在豎直墻壁上，另一端用水 平輕純BC拉住.板上依次放著1、2、3三上圓柱體，半徑均為r,重均為G木板與墻的夾角為

6、（如圖所示）一切摩擦均不計，求B或的張力.答案：八攀福+哥） 解:此題的解法很多，同學們可體會到取不同的研究對象，問題的難易程度不同.解法1對圓柱體一個一個分析，分別計算出圓柱體的彈力，再對木板分析，有力矩平衡求出BCM的張 力.比較麻煩.解法2:把三個球作為整體，可求出板對三個球的彈力，再對板有力矩平衡求出BC繩的張力.但彈力的 力臂比較難求.解法3:先對三個球分析，受墻壁的彈力N=3Gcot .再把三個圓柱體和木板合為一整體，此整體受到墻壁的彈力MBCM的拉力T,重力3GA點的作用力NN對 A點的力矩為零）.對A點，有力矩平衡TAC=NiAD +3G（r+2rsin日）式中 AD = r

7、/ tan , AC =Lcos r 2有上述四式可行T =3Gr( 1 29).L 1 -cos 二cosi6 .如圖所示，三個完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去之前，A B兩柱體接觸，但無擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動摩擦因數(shù)為仙。,柱體與柱體之間的動摩擦因數(shù)為u若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，仙0和小必須滿足什么條件？分析和解：這是一個物體系的平衡問題，因為 A B、C之間相互制約著而有單個物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類問題。設(shè)每個圓柱的重力均為G,首先隔離C球，受力分析如圖1 7所示，由12 Fg=0可得312丁 ”=G 再隔留A球，受力分析如圖1 8所示

8、，由三鳳=0得.31 .-N1f1 - N2 G = 022 由 22 FA=0 得*Ni -1Ni22f1R =f2R由以上四式可得f1 = f2Ni2 ,322- 3. GN2 = G而 f2 EN0N2 ,fi Ni0 -23, J -2 - ,3 37.（第六屆預賽）有6個完全相同的剛性長條薄片 AB （i=1,2）， / /、入其兩端下方各有一個小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計，現(xiàn)將此 6個薄片 人 * ）架在一只水平的碗口上，使每個薄片一端的小突起 Bi恰在碗口上，另一端小突起A位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為 m的質(zhì)點放在薄片A6B6上一點，這一點與此薄片中點

9、的距離等于它與小突起 A6的距離，則薄片AB6中點所受的（由另一薄片的小突起 A所施的）壓力。答案：mg/42解析：本題共有六個物體，通過觀察會發(fā)現(xiàn)， ABi、A2B2、A5B5的受力情況完全相同，因此將 AB、A2B2、A5B5作為一類，對其中一個進行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第i個薄片AB為研究對象，受力情況如圖甲所示，第i個薄片受到前一個薄片向上的支持力 N、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力 N+i.選碗邊B點為軸，根據(jù)力矩平衡有LN1111-Ni L =Ni+ /寸Ni =所以 N1= 一Nz= mN3=A=()N62222 22再以AB6為研究對象，受力情況如圖乙

10、所示，AB6受到薄片AB5向上的支持力N、碗向上的支持力和后一個薄片AB1向下的壓力N、質(zhì)點向下的壓力mg.選B6點為軸，根據(jù)力矩平衡有N1 - +mg .3L = N6 .L24由、聯(lián)立，解得 N=mg/42所以，AB薄片對A6B6的壓力為mg42.8 .(第十屆全國決賽)用20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長度為L,橫截面為h=上的正方形，求此橋具有的最大跨度(即橋孔底寬)4試畫出該橋的示意圖，并計算跨度與橋孔高度的比值。解設(shè)1號右端面到2號右端面的距離為 與，x1=L1木塊的22號右端面到3號右端面到的距離為X2，以第2號左端為轉(zhuǎn)軸

11、力矩平衡：GL，GL =2G(L-x2)，可以得出x2,24同理:第3號右與第4號右端的距離為X3,以第3號木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡2GL+G,； = 3G(L-x3)求得x3 =6第k號的右端面的距離為xk，則第k號由力矩平衡知:(k 1)GL +G L =kG(L xj求得:2頁腳內(nèi)容7南華大學200 W00學年度第學期解得Xk =-2kn 1 I n則橋拱長的一半為s = x1 X2 L Xk = 上=L2K2k kk由圖 1 可知 h =(n1)h=1(n1)L4所以包=士91。將n=10代入可得.H n -1 K4k=1.258 H9 .有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上

12、，桿與地面間靜摩擦因數(shù)N = 0.3 ,桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角 8=30,如圖所示。(1)若以水平力F作用在桿上，作用點到地面的距離h1 =2L/5(L為桿長)，要使桿不滑倒，力F最大 不能越過多少?(2)若將作用點移到h2 =4L/5處時，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達到極限的 力的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如圖57一甲所小，由平衡條件得F -Tsinu - f = 0N -T cos- - mg = 0F(L -h) -fL -0頁腳內(nèi)容#南華大學200 W00學年度第學期頁腳內(nèi)容15另由上式可知，F(xiàn)增大時，f相

13、應(yīng)也增大，故當f增大到最大靜摩擦力時，桿剛要滑倒，此時滿足：f =N解得:F masmgL tan 二(L - h)tan? /-h由上式又可知， 當(L -h) tan0/邑一hTf即當h0 =0.66L時對F就沒有限制了。一 2(1)當幾=-L h0,無論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖 510用兩個爬犁(雪橇)在水平雪地上運送一根質(zhì)量為 m長為l的均勻 h橫粱，橫 梁保持水平，簡化示意示圖，如圖1-41所示.每個爬犁的上端A與 二涔登科* ?被運送的 橫梁端頭周連，下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸而積很小.一水平牽引 日息aJT 力F作用/-4杷于前爬犁.作用點到雪地的距離用 h

14、表示.已知前爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為k1.后爬犁與雪地間的動摩擦因數(shù)為 k2.問要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動.h應(yīng)滿足什么條件 公平牽引力F應(yīng)多大被爬犁的質(zhì)量可忽略不計.分析正確地物體進行受力分析，應(yīng)用物體平衡的條件|*F=0是求解平衡問題的基本出發(fā)點，準確地二 M =0領(lǐng)會題中隱含信息，則是求解的關(guān)鍵所在，本題體現(xiàn)了這一解題思路.解整個裝置的受力如解圖平衡條件有1-24所示，其中N與N2分別為雪地對爬犁的支持力，f1和f2分別為摩擦力根據(jù)F = f1 + f2mg = N1 + N21公Fh +N2l = mgl2根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系有：f1=k1N1f

15、2 =k2N2h越大以爬犁與地白前接觸點為軸，F(xiàn)的力矩越大.故M越小.h最大時對應(yīng) 睡=0的情況.將凡=0代入以上 各式，可以解得：l h =2 kll 1 l(ki k2)F 二2 l -(k1 -k2)hmg故:h應(yīng)滿足的條件是:h 2 kl11半徑為r,質(zhì)量為m的三個剛性球放在光滑的水平面上，兩兩接觸.用 形剛性圓筒（上、下土無蓋）將此三球套在筒內(nèi).圓筒的半徑取適當值一個圓柱使得各球間以及球與筒壁之間保持接觸，但互相無作用力.現(xiàn)取一個質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個球，放在三個球的上方正中.四個球和圓筒之間的靜摩擦系數(shù)均為=3/5（約等于0.775）.問R取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即

16、能將四個球一起提起來？答案：（233 -1）r N2,故大球與小球接觸處先滑動定何處先滑動的常用方法)而大球沿筒滾動，當R最大時：f2= N2 有上述四式得：128soC +24cos -77=0，解得：cos =衛(wèi),16因 cos6 =2 J3r /(r +R) =口 ,所以 R =(32 3 一 1)r。31633但上面的小球不能太小，否則上球要從下面三個小球之間掉下去，必須使R(23 -1)r.3故得（“R得一 1）r.四、自主招生試題O重合,1. (2009清華大學)質(zhì)量為m、長為L的三根相同的勻質(zhì)細棒對稱地擱在地面上，三棒的頂端 底端A、B、C的間距均為L,如圖所示。(1球OA棒頂端

17、所受的作用力F的大小。(2)若有一質(zhì)量也為m的人(視為質(zhì)點)坐在OA棒的中點處，三 不動，這時OA奉頂端所受的作用力F的大小又為多大？(3)在(2)的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數(shù)小至少為多析：(1) Fh =mg a棒仍然保持a =(-/ /3) 2 =-323h77=-6i3F =mg 1 l /( l) = mg 2 334(2)在OCfr點坐一人匚6 I $F1 1 = F2 l mg l336-3362mg l = 2F2 l F116333F2”L 1F2 = 6 mg, F1 =3 . 2 TmgF合=J(2F2)2 + Fl2 =233mg2. (2010北大) 如圖，一個質(zhì)

18、量MK棱邊長為L的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對滑動，求向前和向后施加力的最小值以及對應(yīng)的摩擦因素。設(shè)想立方體開始翻轉(zhuǎn)后，施加的外力 F大小和方向會改變，以維持F始終為最小值。南華大學200 W00學年度第學期頁腳內(nèi)容21解：先考慮向前翻倒的情況，設(shè):C與水平而夾。角.顯熱這時加垂直AC連線斜向上的力尸時滿足加求，如圖所示*至三的則M LAlg 審口 一式中口中4。,9口1,因此口=4潸時所需F最大一這也讓心要施加的最小山，故 晨扁占我地門,這表明只要D點能夠離升地面.以后產(chǎn)即使變小一些.立J?體也 能齷沽.在D點將要離開地面府，f Fc0

19、-4 丁 髀孑豆三W-FsinlS 1以后為使力F始最小，則F 直垂直一由？斜向 在圖示情況F*另取山5和F的交點為軸.看x L, L f 1N產(chǎn)一 2%還血。）蜘*、 _ in tfcosa . sin ag)s aiK蘆 盧 X7 I :_ M:22m 1 + sm 2 sinflf - as卜當exit 0 =厄時，曲h三3工6*時外;“一峰4不過口更大于等于必，故向前翩轉(zhuǎn)立方密，動摩攫內(nèi)數(shù)兩址；產(chǎn)二 1,噂即可 而向后翻的情改下.立方體以D點為軸轉(zhuǎn)動.同樣，開始最難翻動,施加的拉力F垂直DA水平向左時對媒的?最小、設(shè)3方體邊愧為九則Mgl.JZ -= F L得P Hg/2此時m生（=蠢

20、=口5產(chǎn)后如果尸始韓垂直邊而J1援慢制轉(zhuǎn)土方體.則,會變小.H N反而變 大,這表明力處只要-開蠟小滑動就不可能怦滑動3. （2010南大強化）如圖所示，一個質(zhì)量均勻分布的直桿擱置勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切，系統(tǒng)靜止在水平地面上，桿與地為A,與環(huán)面接觸點為Bo已知兩個物體的質(zhì)量線密度均為在質(zhì)量均面接觸點直桿與地面夾角為日，圓環(huán)半徑為R,所有接觸點的摩擦力足夠大。求：（1地給圓環(huán)的摩擦力。求A、B兩點靜摩擦系數(shù)的取值范圍。解；球受力如圖所示.水平方向合力為零得:以圓心。點為軸有，八R即汽二九，對球以A點為軸有：Nin?叼/+N即,$=叫依一$，再取球、桿整體為研究 對象以啟點為軸有：解得jV2；y

21、m 餌 CO5 8 kF5】g史必絲4 網(wǎng)伊2(1 + CGS 斤)8處靜摩擦因數(shù)口n-t=寸焉=un7A處橋摩擦因數(shù)wn 2* co“2 cos QfA . ft jgV A 711 戰(zhàn)十加國 一 N? in fl(1一 0, 5cosfi)五、備用1 .（第二屆全國復賽）如圖所示，勻質(zhì)管子AB長為L,重為G,其A端放在水平面上，而點C則靠在高h =-=45,試求要使管子處于平衡時，它與水關(guān)面之間的摩的光滑鉛直支座上，設(shè)管子與水平面成傾角8 擦因數(shù)的最小值。2 .（第十屆全國預賽）半徑為R質(zhì)量為M1的均勻圓球與一質(zhì)量為M2的重物分別用細繩AD和A（E懸掛于 同一點A,并處于平衡，如圖所示.已

22、知懸點A到球心的距為L,不考慮純的質(zhì)量內(nèi)、和純與球間的摩擦，求懸掛圓球的純 AD與豎直方向AB的夾角.答案：魚、M2Rarcsin2L（Mi M2）解:球受重力M1g,AD純受拉力為T,ACEE力為N因重力Mig通過圓心，N也通過圓心（但不是水平方向）， 所以T也通過圓（三力共點），OA=L.取整體為研究對象對A點的力矩平衡,MgOB=M2gBC或 MigLsin =M2g（R-Lsin ），得 =arcsinMR一 .L（Mi M2）3 .如圖所示，一根細長棒上端Aa用錢鏈與天花板相連，下端用錢鏈與另一細棒相連，兩棒的長度相等, 兩棒限以圖示的豎直平面內(nèi)運動，且不計較鏈處的摩擦，當在 幽加一

23、個適當?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯?nèi)）可使 兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為 90 ,且C正好在A端的正下方。（1）不管兩棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向的范圍內(nèi)？說明道理（不要求推算）。（2）如果AEW的質(zhì)量為mi, BCS的質(zhì)量為m2,求此外力的大小和方向。答案：（1） F勺方向與AC5角范圍18 .24 -45問；（2） F三g再行OmTFmT解（1）設(shè)F勺方向與ACe角為，如果當mi質(zhì)量很小時，ABtBC勺作用力沿ABJ向，則F的方向必交1于 AB的中點，=45 -tan-1 2 =18 .24 ;如果當m2質(zhì)量很小時，則F勺方向沿BCT向，=45 。所以FT向的范圍是=18 .24 -

24、45問。(2)以她轉(zhuǎn)軸，對兩棒有：(m, +m2)g Jsin 450 =f 乂0Lsin 日- 2以B為轉(zhuǎn)軸，對 BCf: m2g L sin 45 - F Lsin(45 _力sin(45 - )=sin45 cos -cso45 sin -有式得 F勺大/J、： F =；g,2m2 +1m2 +8m1m2 ;F的方向與豎直線的夾角=tan 1文 電.3m2 mi可見，mi= 時，=tan1=18 .24 ; m2= 時，=tan , 1 =453整個系統(tǒng)處4.如圖兩把相同的均勻梯子 AC BC由C端的錢鏈 連起來，組成人字形梯子，下端A和B相距6m, C端離水平地面4m,總重20 N 一

25、人重60 N由B端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數(shù)以= 0.6,則 人爬到何處梯子就要滑動？解：進行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個整體,于平衡狀態(tài)：AB=6m, CD=4m AC=BC=5m設(shè)人到錢鏈C的距離為l滿足 F = , M =所以G.Gac .Gbc =Fn1 .Fn2南華大學200 W00學年度第學期頁腳內(nèi)容29Ff1 =Ff2 .一 1 一G l cos - GbcBD , , Fni CD = Fni，BD2整理后：Fni =Fn2 =400N , l=2.5m所以人在爬到梯子中點處時梯子就要滑動5.架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子

26、與墻間的靜摩擦解法1:設(shè)梯子能平衡時與地面所成的最小夾角為時達到最大，與上題有區(qū)別）水平方向：1Ni=N,豎直方向：2N2+N=G,得：G= 2N2+ N2/1取 A點為轉(zhuǎn)軸:G cosot LN 2 sin 支-L 也 N 2 cosct -02萬/日1 科&口 n工1 日1卜2斛行 tan 口= 即 a =tan 。2K2內(nèi)解法2:地對梯和墻對梯的一個全反力與重力必交于一片則有：tan 1=1,tan 2=2,后門/中壬左 xBC DH -DEDH DE 1 ,由1有幾何關(guān)系： tans= = cot%AC2AH2AH 2EB 2;24,則有 f1= 1N1,f2= 2N2 （同Izl?（

27、如圖的 D點）:tan 中2 ,因數(shù)分別為1、2。求梯子能平衡時與地面所成的最小夾角。（答案：.=tan上士士）可解得：autan。1一內(nèi)心 。2山6 .如圖所示.梯子長為21,重量為G,梯子上的人的重量為G,人離梯子下端距離為h,梯子與地面夾角為，梯子下端與地面間的摩擦因數(shù)為，梯子上端與墻的摩擦力忽略不計，試求梯子不滑動時的 h化解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，、F =0L M =0N = fN =G+G|GLcosi G hcos -N2Lsin1f =N解方程可以得出：h =21(G G )tan- -G1 (原答案有誤)G所以，只要h M 2l(G G )tanG1 ,梯子就不會滑

28、動。G7 .如圖所示，方桌重G=100 N前后腿與地面的動摩擦因數(shù)口 =0.20 , 與高相等。求：(1腦力F、地面對前、后腿的支持力和摩擦力。(2)設(shè)前、后腿與地面間的靜摩擦因數(shù) 1=0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿為軸 向前翻倒？口)據(jù)物悴一般平街條件有(加 工.。產(chǎn)* + N=由-G* =0H/=-*.Nj f , =fJt Nf聯(lián)立以上四式可得出.廣 20 Nt M -30 N, $ -70Nt fY -14、 f.H處用力和摩賽力均恰好為零時，以A點為軸：由 F人 G，： =口 得 F：.-5ON* 而同時 小G = SON而同擁方桌會滑動)故.A - N F 6、8 .如圖所示，一根細棒AB, A端用絞鏈與天花板相連，B端用絞鏈與另一細棒 皿飛、一田 BCffi連，二 棒長度相等.限于在圖示的豎直面內(nèi)運動，且不計絞鏈處的摩擦，當在 5| 加一個適當?shù)耐饬?與AB, BCE一個平面內(nèi))可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直.且CtA端的正下方(1論二棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個方向范圍內(nèi)？式說明理由(2)如果AB棒的質(zhì)量為m1, BC$質(zhì)量為m2