(完整word)中國(guó)人民大學(xué)2016-2017學(xué)年第2學(xué)期高等數(shù)學(xué)A期末考試試卷

1、中國(guó)人民大學(xué)高等數(shù)學(xué) A期末考試試卷考試科目：高等數(shù)學(xué)A考試時(shí)間：120 分鐘年級(jí)專業(yè)20162017學(xué)年第2學(xué)期考試類型：(閉卷)考試學(xué)號(hào) 姓名題號(hào)一一二四總分得分評(píng)閱人得分、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1 .二元函數(shù)z ln(y2 2x 1)的定義域?yàn)?。rrrrr rr2 .設(shè)向量 a(2,1,2), b(4, 1,10), cba,且 ac,則 3 .經(jīng)過(guò)(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于x軸的平面方程為 。4 .設(shè) u xyz,貝U du c 15 .級(jí)數(shù) (1)n=r，當(dāng)p滿足條件時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂pn 1 n得分、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分

2、)B22 xy Ce1 .微分方程2(xy x)y' y的通解是A. y Ce2x152.3.C. y2e2y Cx求極限lim(x,y)(0,0)D.e2 y Cxy2 ： xy 4xyC.直線L:x3z和平面7:3x2y 7z 8 0的位置關(guān)系是A .直線L平行于平面B.直線L在平面上D .直線L與平面b2,貝 1 6_yd D3、C 433、a ) C. y (b a )斜交( )D. (b3 a3)2( )C.直線L垂直于平面4 . D 是閉區(qū)域( x, y) | a2x2y2A.(b3 a3)B. (b3235 .下列級(jí)數(shù)收斂的是A.1n 1 (n 1)(n 4)B.1 nn

3、 1 n2 1C.n 1 2n 1D.1n 1 3 n(n 1)得分三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題7分，共49分)1.求微分方程y' y ex滿足初始條件x 0, y 2的特解。2.計(jì)算二重積分 Wdxdy ,其中Dd x y ,222)(x, y) x y 1, x y1。3.設(shè) z z(x, y)為方程 2sin( x 2y 3z)x 4y 3z確定的隱函數(shù),a2(x 0, y 0),逆時(shí)針?lè)? .求曲線積分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2L向。5 .計(jì)算y5x2pdxdy ,其中D是由y 3/x , x 1及y 1所圍成的區(qū)域D6 .判斷級(jí)數(shù) 1心 4的斂

4、散性，并指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂 n i n 1、. n7.將函數(shù)(1 x)(2 x)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并求其成立的區(qū)間。得分四、解答題(本大題共3小題，每小題7分，共21分)1 .拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與 最短距離。n n2 .求幕級(jí)數(shù)(1) 的和函數(shù)n i (n 1)!3 .設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0) 1, g(0) 0, L為平面上任意簡(jiǎn) 單光滑閉曲線，取逆時(shí)針?lè)较?，L圍成的平面區(qū)域?yàn)镈,已知?L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,D求 f (x)和 g(x)。參考答案、填空題（本大題共5小題，每小

5、題3分，共15分）1. (x,y)|y2 2x 1 0 2. 33. 9y z 2 0 4. yzxyz 1dx zxyzlnxdy yxyz In xdz 5. 0 p 1 二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1. C 2. C 3. C 4. B 5. A三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）1 .求微分方程y' y ex滿足初始條件x 0, y 2的特解。解：先求y' y 0的通解，得y C1e x 2分采用常數(shù)變易法，設(shè)y h(x)e x,得y' h'(x)ex h(x)e x3分代入原方程得 h'(x)ex h(x

6、)e x h(x)e x ex 4分得 h(x) e2x C 5分2故通解為y 1ex Ce x 6分2將初始條件x 0,y 2帶入得C 3,故特解為y1ex-ex7分2222 .計(jì)算二重積分-xyydxdy ,其中 D ( x, y):x2 y21, xy 1。d x y解：設(shè) x r cos , y r sin 1 分一1八貝 0， r 1 3分2 sin cosx y , ,2 , 1 r cos r sin所以(dxdy2 d 12rdr 5分02 (sincos 1)d 6分D x y° sin cosr3 .設(shè)z z(x, y)為方程2sin( x 2y 3z) x 4y

7、 3z確定的隱函數(shù)，求解：設(shè) F(x, y,z)x 4y 3z 2sin(x 2y 3z)Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy4 4cos( x 2y 3z),Fz 3 6cos(x 2y 3z)Fy4cos(x 2y 3z) 4Fz 31 2cos(x 2 y 3z)zFx2cos(x 2y 3z) 1z,xFz31 2cos(x 2y 3z)y所以4 .求曲線積分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0),逆時(shí)針L方向。解：圓的參數(shù)方程為：x acost, y asint (0 t ) 1分(x y)dx (x y)dyo2 (acost as

8、int)dacost02 (acost asint)dasint3 分La2 02 (cos2t sin 2t)dt 4分2 a 萬(wàn)sin 2tcos2t(22八a 7分(本題也可以利用“曲線積分與路徑無(wú)關(guān)”來(lái)解)5 .計(jì)算 y/1 x2y6dxdy ,其中D是由y 3/x , x 1及y 1所圍成的區(qū)域 D解：D (x, y) 13/x y 1, 1 x 1 1分y/1 x2pdxdydx 375 71 xpdy 2分13 xD12 13 _.6 3 1(1 x y ) 3/xdx 4分19291.6131(|x|3 1)dx130(x 1)dx6.判斷級(jí)數(shù)(1)nn解:(1)nnn 1二的

9、斂散性，并指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂。 n1：.n(n )所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 又(1)nnn 1(1)n(1)n1,n (n 1). n顯然，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(/ 都收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂。因此是條件 n 1 (n 1). n收斂。7.將函數(shù)1展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)，并求其成立的區(qū)間。(1 x)(2 x)解：一 (11 x)(2 x) 121 ”.2(|x| 2)所以二1-L ；1 " L (1 -1T)xn 6 分n 02成立范圍|x| 1 7分 四、解答題(本大題共3小題，每小題7分，共21分)1.拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最 短距離。解：設(shè)橢圓上任一

10、點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y, z) , P點(diǎn)滿足拋物面和平面方程。原點(diǎn)到這橢圓上任一點(diǎn)的距離的平方為x2 y2 z2, 1分構(gòu)造拉格朗日函數(shù)Fx2y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2分Fx 2x 2x0Fy 2y 2y0Fz 2z0 4分22F x y z 0F x y z 1 01 一解得x -( 1 V3) 5分得兩個(gè)駐點(diǎn)為P1( 1, 1,23), P2( 1蟲(chóng)，-,2 ,.3)222222226分所以最短距離為J9 573,最短距離為J95737分n n2.求幕級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)n 1 (n 1)!解：因?yàn)閑xn n(1) xn 0 n!n,所以e x n 0 n!S(

11、x)(1)nnxn n 0 (n 1)!(1)n(n 1 1)xn(n 1)!n nn n(1) x ( 1) x n 0 n! n 0 (n 1)!n n(1) xn!(1)nxn(1)nxn(1)n 1xn(n1)!(n 1)!(n 1)!所以S(x)故 S(x)另解:0時(shí),0時(shí),0時(shí),(1)nxn(1)nxnn!n!(x0)(1)nxnn!-e1(11(1S(x)x)(x0)x)(x0)n n(1) nx(n 1)!S(x) 0n n(1) nx(n 1)!(1)n(n 1)!xndxn n(1) x(n 1)!(1)nxdxdxxe xdxxdexe3.設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0) 1, g(0)n 1 n(1) x(n 1)!dx0, L為平面上任意簡(jiǎn)單光滑閉曲線，取逆時(shí)針?lè)较?，L圍成的平面區(qū)域?yàn)镈,已知?L xydx yf (x) g(x)dyyg(x)d ，求 f (x)和 g(x) o解：由格林公式得yf '(x) g'(x) x dxdy yg(x)