圓知識點總結(jié)(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓知識點總結(jié)一、圓的概念集合形式的概念： 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；軌跡形式的概念：圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；二、圓的對稱性 1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性：圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。三、垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。垂徑定理及其

2、推論可概括為： 過圓心 垂直于弦直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對的優(yōu)弧 平分弦所對的劣弧 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧三、圓心角定理圓心角定理： 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧圓心角的度數(shù)與它所對弧的度數(shù)相等。三、圓周角定理及其推論 1、圓周角 頂點在圓上，并且它的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦，像這樣的角叫做圓周角。2、圓周角定理：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半。3、圓周角定理

3、的推論推論1：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半。推論2：同弧或等弧上所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論3：直徑（或半圓）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。 推論4：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中，四邊形是內(nèi)接四邊形 推論5：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。注意：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。四、 三角形外接圓和內(nèi)切圓（1）三角形的外接圓過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，

4、外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等，任何一個三角形都有且只有一個外心。銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部。（2）三角形的內(nèi)切圓及有關(guān)計算與三角形各邊都想切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點，它到三角形各邊的距離相等。任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)心，三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部。 ABC中，C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切

5、圓的半徑r= 。 SABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。五、點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；（2）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；（3）圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 六、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

6、即：且過半徑外端 是的切線證明切線的方法： 已知直線過圓上點，作連接證明垂直；未知直線過圓上點，作垂直證明等于半徑補充：點到直線的距離公式（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。（3）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分七、弧長和扇形面積 1、弧長公式：n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為2、扇形面

7、積公式：（其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。）3、圓錐的側(cè)面積：（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。）八、補充（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 （5）弦切角定理弦切角：圓的

8、切線與經(jīng)過切點的弦所夾的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對的圓周角。即：BAC=ADC（5）兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分（6）圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。（7）扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積 2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：（3）圓錐側(cè)面展開圖=圓錐的體積：九、正多邊形與圓

9、（1）與正多邊形有關(guān)的概念 1、正多邊形的中心 正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑 正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距 正多邊形的內(nèi)切圓的半徑叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角 正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。正多邊形的每個中心角都等于360°n。5、正多邊形的對稱性 正多邊形都是軸對稱圖形。（一個正n邊形共有n條對稱軸，）正多邊形的各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等。當邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。任何

10、一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點。（2）圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進行：； （2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.十、輔助線總結(jié)1.圓中常見的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角5)作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角直角6)遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角7)遇到切線，作過切點的半徑，構(gòu)造直角8)欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1