全等三角形問題中常見的輔助線的作法練習(xí)

1、DC BAEDFCBA全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種:1 遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對(duì)折”. 2 遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.3 遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 5 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與

2、特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識(shí)解答.一、倍長(zhǎng)中線(線段造全等例1、(“希望杯”試題已知,如圖ABC 中,AB=5,AC=3,則中線AD 的取值范圍是_.例2、如圖,ABC 中,E 、F 分別在AB 、AC 上,DE DF ,D 是中點(diǎn),試比較BE+CF 與EF 的大小.例3、如圖,ABC 中,BD=DC=AC ,E 是DC 的中點(diǎn),求證:AD 平分BAE.E D CBA二、截長(zhǎng)補(bǔ)短

3、1、如圖,ABC 中,AB=2AC ,AD 平分BAC ,且AD=BD ,求證:CD ACDCBAP QCBAP21DCBAOEDCBA3、如圖,已知在ABC 內(nèi),060BAC =,040C =,P ,Q 分別在BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分別是BAC ,ABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP4、如圖,在四邊形ABCD 中,BC >BA,AD =CD ,BD 平分ABC , 求證: 0180=+C A5、如圖在ABC 中,AB >AC ,1=2,P 為AD 上任意一點(diǎn),求證;AB-AC >PB-PC四、借助角平分線造全等1、如圖,已知在ABC 中,B=60&#

4、176;,ABC 的角平分線AD,CE 相交于點(diǎn)O ,求證:OE=OD五、旋轉(zhuǎn)CDBAFE D C B A例1 正方形ABCD 中,E 為BC 上的一點(diǎn),F 為CD 上的一點(diǎn),BE+DF=EF ,求EAF 的度數(shù).常見輔助線的作法有以下幾種:(1遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。例1:如圖,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90°,BD 平分ABC 交AC 于點(diǎn)D ,CE 垂直于BD ,交BD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E 。求證:BD=2CE 。(2若遇到三角形的中線,可倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是

5、全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2:如圖,已知ABC 中,AD 是BAC 的平分線,AD 又是BC 邊上的中線。求證:ABC 是等腰三角形。 (3遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。 例3:已知,如圖,AC 平分BAD ,CD=CB ,AB>AD 。求證:B+ADC=180 °。 關(guān)于角平行線的問題,常用兩種輔助線;見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。(4過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4:如圖,ABC中,AB=AC,E是AB上一點(diǎn),F是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連EF交BC于D,若EB=CF。求證:DE=DF。 (5截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),使之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6:如圖甲,ADBC,點(diǎn)E在線段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB。求證:CD=AD+BC。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和