Hermite插值PPT課件

1、2021/3/912.62.6 HermiteHermite插值插值 不少實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上與原來的函數(shù)相等（滿足插值條不少實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上與原來的函數(shù)相等（滿足插值條件），而且還要求在節(jié)點(diǎn)上的各階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項式，件），而且還要求在節(jié)點(diǎn)上的各階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項式，稱為稱為HermiteHermite插值多項式記為插值多項式記為H H( (x x) )，本節(jié)主要討論已知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和一階導(dǎo)本節(jié)主要討論已知節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)的情形。數(shù)的情形。 設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù)y = f (x)在在n +1個互異節(jié)點(diǎn)個互異節(jié)點(diǎn)x0,x

2、1,xn上的函數(shù)值上的函數(shù)值yi = f (xi)(i=0,1,2,n)和和導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值y i = f (xi)(i=0,1,2,n)，要求一個不超過要求一個不超過2n+1次的多項式次的多項式H(x)，使其滿足：使其滿足： ), 2 , 1 , 0( )()(niyxHyxHiiii這樣的這樣的H H( (x x) )稱為稱為HermiteHermite插值多項式插值多項式。 并估計誤差。且使的多項式求不超過三次已知為互異節(jié)點(diǎn)，設(shè)引例,)(),2 , 1 , 0()()(,)2 , 1 , 0()(,:11210yxHiyxHxHiyxfxxxiiii11221100112211003)()(

3、)()( )()()()()(yxhyxhyxhyxhyxlyxlyxlyxlxH 可可設(shè)設(shè)：按按插插值值基基函函數(shù)數(shù)的的方方法法，：都都是是三三次次多多項項式式且且滿滿足足其其中中)(),(),(),(1210 xhxhxhxh與與 Lagrange 分析分析完全類似完全類似2021/3/92 1)( ,0)( ,0)( ,0)(0)( ,1)( ,0)(,0)(0)( ,0)( ,1)( ,0)(0)( ,0)( ,0)( ,1)(11211101122212021121110110201000 xhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh0)(,0)( )(10100

4、 xhxhxh：首首先先求求的的一一階階零零點(diǎn)點(diǎn)是是而而的的二二階階零零點(diǎn)點(diǎn)是是)(,)( 0201xhxxhx)()()(2210 xxxxCxh 可可設(shè)設(shè))()(11)( 2021000 xxxxCxh 而而由由)()()()()( 202102210 xxxxxxxxxh 于于是是求求出出212022102)()()( xxxxxxxxxh 同同理理可可求求：2021/3/93分分別別為為其其一一階階零零點(diǎn)點(diǎn)：對對201,)(xxxh)()()(201xxxxbaxxh 可可設(shè)設(shè) 0)(1)(1111xhxh由由 0)()()(1)()(011211210121011xxbaxxxbax

5、xxxxaxxxxbax 22120111202101221201120)()(2)()(1 ,)()(2)(xxxxxxxxxxxxbxxxxxxxa 22120120202110211201)()()()223)2()(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxh )()()(,)(21012101xxxxxxCxhxxxxh 可設(shè)：可設(shè)：為一階零點(diǎn)為一階零點(diǎn)：對對)(11)(210111xxxxCxh 利利用用)()()(1)(21021011xxxxxxxxxxxh 求。求。滿足前面條件，即為所滿足前面條件，即為所法求出的法求出的中，可以檢查按上述方中，可以檢查按上述方代入代入將將)()

6、()(),(),(),(331210 xHxHxhxhxhxh2021/3/94誤差估計：誤差估計：)()()(33xHxfxR )()()()()()(221033xxxxxxxxHxfxR 與與 Lagrange 分析分析完全類似完全類似)()()()()(22103xtxtxtxtRt 0)(! 4)()()()4(3)4()4( xHfxxx )(!41)( )4(xfx 因因此此可可得得)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxHxfxRx 因而有：因而有： )(3xH2021/3/95 niiiiinyxhyxhxH012)()()(滿足下面條件：滿足下面條件：

7、和和其中其中)(h)(xxhii次次的的多多項項式式；都都是是不不超超過過和和12)(h)()1( nxxhii221212120)()()()()()(niiixxxxxxxxxxbxaxh 這樣來確定這樣來確定a a, ,b b較麻煩，引入較麻煩，引入l li i( (x x) )iiniinnnnnyxHyxHxyyyyyyxxx )(,)()(H,121212101010滿滿足足求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值為為處處的的值值為為一一般般的的，已已知知), 2 , 1 , 0( , 1 0)(, 0)(njjijixhxhjiji 2(), 2 , 1 , 0(0)( , 1 0)( )njxhjij

8、ixhjiji 2021/3/96 0)(1)(iiiixhxh .)()()()(,)()()(112插插值值基基函函數(shù)數(shù)為為為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中Lagrangexxxxxlbaxlxxbaxhininiiii ）還應(yīng)滿足：）還應(yīng)滿足：xhi( 0)(2)()(2)()()(1)()(22iiiiiiiiiiiiiiiixl abxlxlxxbaxblxhaxalxh )(21 iixl aba可求出可求出), 2 , 1 , 0( )()()(21()(2nixlxlxxxhiiiii )(hxi)()()(2xlxxCxhiii 1)()(1)( 2 CxClxhxhiiiiii

9、利利用用),2 , 1 , 0( )()()(2nixlxxxhiii niiiiiiiiiniiiiinyxlxxyxlxlxxyxhyxhxH022012)()()()()(21( )()()(2021/3/972010112101002010101121010100)()()()(21)(21)( xxxxxxxhxxxxxxxhxxxxxxxxxhxxxxxxxxxh，110011003)()()()()(:yxhyxhyxhyxhxHHermite 插插值值多多項項式式為為因因此此兩兩個個節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的三三次次 )()()(21()(2xlxlxxxhiiiii ),2 , 1 , 0

10、( )()()(2nixlxxxhiii )(H12nx ),( )()!22()()()()(21)22(12baxnfxHxfxRnnn )()(! 4)()(2120)4(xxxxfxR 2021/3/98)()()(xxHxH niixhxH0)()(1)( 20 niixh：推推論論重重根根。次次多多項項式式，卻卻有有是是不不超超過過因因?yàn)闉?212)( nnx 2021/3/99Quiz: 給定給定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪個是下面哪個是 h2(x)的圖像？的圖像？ x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率斜率=1

11、 求求Hermite多項式的基本步驟：多項式的基本步驟： 寫出相應(yīng)于條件的寫出相應(yīng)于條件的hi(x)、 hi(x) 的組合形式；的組合形式； 對每一個對每一個hi(x)、 hi(x) 找出盡可能多的條件給出的根；找出盡可能多的條件給出的根； 根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達(dá)式；根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達(dá)式； 根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)； 最后完整寫出最后完整寫出H(x)。2021/3/910221214212222221112111110000)3(4)()()()()4()2)(1()(,)1(4)( )2()2()1(1

12、()(1, 10)1(, 1)1()2()1()( ,0)0()2()0( :)()(),( ,0)3()1 ,0,( 1 0)()1 ,0 ,2, 1 ,0( 0)()2, 1 ,0 , 1 ,0( 0)()2, 1 ,0,( 1 0)()2(;4)1 ,0)( ),2, 1 ,0)( )1( xxxhxhxhxHHermitexxxxhxxxhxxxxxxhbahhxxxbaxhhhhxhxhxhyyjiijijxhijxhijxhjiijijxhixhixhjijijijiii插插值值多多項項式式為為：因因此此所所求求類類似似可可求求代代入入可可設(shè)設(shè)對對不不必必求求次次多多項項式式都都是是12 101010iiiyyx)(xhi2021/3/911)()(22cbxaxxxH 4/9234112341481611)1(1)2(1)1(cbacbacbacbaHHH22) 3(4)(xxxH12 101010iiiyyx2021/3/9121)( 10)0( )21(1)()1()1(2)(0, 1,0)0()0()()(,)()()( )()( )(,)(,)()(1, 0, 1 :333223232102110311321022101021001003210 xxHHxxxHx