高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點

1、高中數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A);等可能事件概率的計算步驟：計算一次試驗的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計算事件A包含的基本事件的個數(shù);依公式求值;答，即給問題一個明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個發(fā)生的概率：P(AB)P(A)P(B); 特例：對立事件的概率：P(A)P()P(A)1.(3)相互獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A·B)P(A)·P(B); 特例：獨立重復(fù)試驗的概率：Pn(k).其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式(1-P)+Pn展開的第k+1項.

2、 (4)解決概率問題要注意“四個步驟，一個結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.第三步，運用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).例1 在五個數(shù)字中，。例2 若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 （結(jié)果用數(shù)值表示） 解答過程0.3提示:例2一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為 解答過程提示:例3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)

3、發(fā)熱反應(yīng)的概率為_.（精確到0.01）考查目的 本題主要考查運用組合、概率的基本知識和分類計數(shù)原理解決問題的能力，以及推理和運算能力. 解答提示至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.故填0.94.離散型隨機變量的分布列1.隨機變量及相關(guān)概念隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母、等表示.隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地，設(shè)離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（1，2，）的概率P（）=，則稱

4、下表.PP1P2為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì)：（1），1，2，;（2）=1.常見的離散型隨機變量的分布列：（1）二項分布次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，n，并且，其中，隨機變量的分布列如下：01P稱這樣隨機變量服從二項分布，記作，其中、為參數(shù)，并記： .（2） 幾何分布 在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量，“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.隨機變量的概率分布為：123kPpqp例1 廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗

5、,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.（）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進行檢驗,求至少有1件是合格的概率；（）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率. 解答過程（）記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A 用對立事件A來算，有（）可能的取值為 ，記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率所以商家拒

6、收這批產(chǎn)品的概率為例12 某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、,且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手被淘汰的概率;（）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示） 解答過程解法一：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）的可能值為， 的分布列為123解法二：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）同解法一（3）離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)離散

7、型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：；期望反映隨機變量取值的平均水平.離散型隨機變量的方差：；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.基本性質(zhì)：；.(4)若B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ; 如果隨機變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.例1甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，和的分布列如下：012012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為 .思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小.解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)的期望和方差分別為： ，；工人乙生產(chǎn)出次品

8、數(shù)的期望和方差分別為：，由E=E知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D>D，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié)：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.例2. 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤（）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望 解答過程（）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至

9、少有1位采用1期付款”知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”， （）的可能取值為元，元，元，的分布列為（元）抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法1簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）.3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣

10、叫做分層抽樣.總體分布的估計由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.典型例題例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n

11、的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n= .解答過程：A種型號的總體是，則樣本容量n=.例2一個總體中有100個個體，隨機編號0，1，2，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為，那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號碼是 解答過程：第K組的號碼為 ，當(dāng)m=6時，第k組抽取的號的個位數(shù)字為m+k的個位數(shù)字，所以第7組中抽取的號碼的個位數(shù)字為3 ，所以抽取號碼為63正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)（1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量

12、的概率密度函數(shù)為 ，x 其中、為常數(shù)，并且0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）.（2）期望E =，方差.（3）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x對稱.曲線在x=時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低.曲線的對稱軸位置由確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.三原則即為數(shù)值分布在（,+)中的概率為0.6526數(shù)值分布在（2,+2)中的概率為0.9544數(shù)值分布在（3,+3)中的概率為0.9974（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0，=1時服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1）（5）兩個重要的公式, .（6）與二者聯(lián)系.若，則 ;若，則.2.線性回歸

13、簡單的說，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.具體說來，對n個樣本數(shù)據(jù)（），（），（），其回歸直線方程，或經(jīng)驗公式為：.其中，其中分別為|、|的平均數(shù).例1.如果隨機變量N（，2），且E=3，D=1，則P（11等于( )A.2（1）1 B.（4）（2）C.（2）（4） D.（4）（2）解答過程：對正態(tài)分布，=E=3，2=D=1，故P（11）=（13）（13）=（2）（4）=（4）（2）.答案：B例2. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d ，液體的溫度（單位：）是一個隨機變量，且N（d，0.52）.（1）若d=90°，則<89的概率為 ；（2）若要保持液體的溫度至少為80 的概率不低于0.99，則d至少是 ?（其中若N（0，1），則（2）=P（<2）=0.9772，（2.327）=P（<2.327）=0.01）.解答過程：（1）