初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題(含答案分析)

1、中考數(shù)學(xué)最值問題總結(jié)考查知識點(diǎn)：1、“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對稱”，“線段的平移”。 （2、代數(shù)計(jì)算最值問題 3、二次函數(shù)中最值問題）問題原型：飲馬問題 造橋選址問題 （完全平方公式 配方求多項(xiàng)式取值 二次函數(shù)頂點(diǎn)）出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”ABPl幾何基本模型：條件：如下左圖，、是直線同旁的兩個定點(diǎn)問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則的值最小例1、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，

2、將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+CM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為 時，求正方形的邊長。例2、如圖13，拋物線y=ax2bxc(a0)的頂點(diǎn)為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個

3、最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MNBD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使DNMBMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 例3、如圖1，四邊形AEFG與ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a,b(b2a),且點(diǎn)F在AD上（以下問題的結(jié)果可用a,b表示） （1）求SDBF; (2) 把正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)450得圖2,求圖2中的SDBF;(3) 把正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度,在旋轉(zhuǎn)過程中,SDBF是否存在最大值,最小值?如果存在,試求出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由。

4、例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3。點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB與點(diǎn)C，作PDAB于點(diǎn)D（1）求a，b及的值（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 用含的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值； 連接PB，線段PC把PDB分成兩個三角形，是否存在適合的值，使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出值；若不存在，說明理由.例5、如圖，C的內(nèi)接AOB中，AB=AO=4，tanAOB=,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)與點(diǎn)（-2,6）.（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）直線m與C相切于點(diǎn)A，交y

5、于點(diǎn)D.動點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動；同時動點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動；點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長，點(diǎn)Q的速度為每秒2個單位長，當(dāng)PQAD時，求運(yùn)動時間t的值；（3）點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時，求點(diǎn)R的坐標(biāo).例1、證明：（1）ABE是等邊三角形，BA=BE，ABE=60°MBN=60°， MBN-ABN=ABE-ABN即MBA=NBE又MB=NB， AMBENB（SAS）（5分） 解：（2）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最?。?分）如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，AM

6、+BM+CM的值最?。?分）理由如下：連接MN，由（1）知，AMBENB， AM=EN，MBN=60°，MB=NB， BMN是等邊三角形 BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（11分）例2、 解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：，依題意，將點(diǎn)B（3，0）代入，得： 解得：a1所求拋物線的解析式為： （2）如圖6，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱， 在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HFHI 設(shè)過A、E兩點(diǎn)

7、的一次函數(shù)解析式為：ykxb（k0）， 點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x2代入拋物線，得 點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3） 又拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D 當(dāng)y0時，x1或x3 當(dāng)x0時，y143, 點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3） 又拋物線的對稱軸為：直線x1， 點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，GDGE 分別將點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)E（2，3）代入ykxb，得： 解得： 過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：yx1 當(dāng)x0時，y1 點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）=2 又點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱， 點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，1） 又要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值， 只要使DGGHHI最小即可

8、由圖形的對稱性和、，可知， DGGHHFEGGHHI 只有當(dāng)EI為一條直線時，EGGHHI最小 設(shè)過E（2，3）、I（0，1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：，分別將點(diǎn)E（2，3）、點(diǎn)I（0，1）代入，得： 解得： 過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y2x1 當(dāng)x1時，y1；當(dāng)y0時，x； 點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0） 四邊形DFHG的周長最小為：DFDGGHHFDFEI 由和，可知： DFEI四邊形DFHG的周長最小為。 （3）如圖7，由題意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使即可， 即：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），由MNBD，可得 AMNABD， 再由（1）、（2）可知，AM1a，

9、BD，AB4 ， 式可寫成： 解得：或（不合題意，舍去）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）又點(diǎn)T在拋物線圖像上， 當(dāng)x時，y 點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）.例3、解：（1）點(diǎn)F在AD上，AF2=a2a2，即AF=。（2）連接DF，AF，由題意易知AFBD，四邊形AFDB是梯形。DBF與ABD等高同底，即BD為兩三角形的底。由AFBD，得到平行線間的距離相等，即高相等，。（3）正方形AEFG在繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑的圓。第一種情況：當(dāng)b2a時，存在最大值及最小值，BFD的邊BD=，當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時，SBFD取得最大、最小值。如圖，當(dāng)DFBD時，SBFD的最大值=，S

10、BFD的最小值=。第二種情況：當(dāng)b=2a時，存在最大值，不存在最小值，SBFD的最大值=。例4、解：（1）由，得到x=2，A（2，0）。 由，得到x=4，B（4，3）。經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，解得。設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，則E（0，1）。根據(jù)勾股定理，得AE=。PCy軸，ACP=AEO。（2）由（1）可知拋物線的解析式為。由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，得P，C。PC= 。在RtPCD中， ，當(dāng)m=1時，PD有最大值。存在滿足條件的值，。例5、解：（1）將點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)（-2，6）的坐標(biāo)代入中，得方程組，解之，得.拋物線的解析式為.（2）連接AC交OB于E.直線m切C于A ACm， 弦 AB=AO， .ACOB，mOB. OAD=AOB，OA=4 tanAOB=，OD=OA·tanOAD=4×=3.作OFAD于F.則OF=OA·sinOAD=4×=2.4.t秒時，OP=t,DQ=2t，若PQAD，則FQ=OP= t.DF=DQFQ= t.ODF中，t=DF=1.8秒.（3）令R(x, x22x) (0x4). 作RGy軸于G 作RHOB于H交y軸于I.則RG= x，OG= x