高中數(shù)學(xué)圓錐曲線和導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、圓錐曲線方程 知識(shí)要點(diǎn)一、橢圓方程及其性質(zhì).1. 橢圓的第一定義：橢圓的第二定義：，點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離,d為點(diǎn)P到直線l的距離其中F為橢圓焦點(diǎn)，l為橢圓準(zhǔn)線橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：的參數(shù)方程為（）（現(xiàn)在了解，后面選修4-4要詳細(xì)講）.通徑：垂直于對稱軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑，橢圓通徑長為設(shè)橢圓：上弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則斜率kAB=,對橢圓：, 則kAB=弦長若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（可用余弦定理與推導(dǎo)）. 若是雙曲線，則面積為.二、雙曲線方程及其性質(zhì).1. 雙曲線的第一定義：雙曲線的第二定義：，點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離,d為點(diǎn)P到直線l的距離其中F為雙曲線的焦點(diǎn)，l為雙曲線的準(zhǔn)線

2、2.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖 象關(guān)系范 圍頂 點(diǎn)對 稱 性關(guān)于軸成軸對稱、關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱漸 近 線x離 心 率焦 點(diǎn)準(zhǔn) 線 等軸雙曲線：x2-y22(0),它的漸近線方程為y±x,離心率e.注：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 參數(shù)方程：或 . （現(xiàn)在了解，后面選修4-4要詳細(xì)講）通徑：垂直于對稱軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑，橢圓通徑長為焦半徑：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或上、下焦點(diǎn)）“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計(jì)算，而雙曲線不帶符號） 構(gòu)成滿足 設(shè)雙曲線：上弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則斜率kAB=,對雙曲線：, 則kAB=弦長常設(shè)與漸

3、近線相同的雙曲線方程為；常設(shè)漸近線方程為的雙曲線方程為例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b直線與雙曲線的位置關(guān)系：將直線方程代入雙曲線方程得到一元二次方程，討論方程二次項(xiàng)系數(shù)和三、拋物線方程及其性質(zhì).拋物線的定義：，為點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離,d為點(diǎn)P到直線l的距離其中F為拋物線的焦點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）離心率焦半徑注：拋物線通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）. （現(xiàn)在了解，后面選修4-4要詳細(xì)講）4.拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦.（

4、拋物線中常用結(jié)論和方法）如圖所示，拋物線方程為y22px(p0)(1)焦半徑設(shè)A點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為A1，設(shè)A(x1，y1)，準(zhǔn)線方程為x，由拋物線定義|AF|AA1|x1. 拋物線上任意一條弦的弦長為(2)關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論設(shè)AB為過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)的弦，A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為，直線AB的傾斜角為，則x1x2，y1y2p2，時(shí)，有|AB|x1x2p=，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°；.四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)

5、時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）.5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.因?yàn)榫哂袑ΨQ性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0<e<1）2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>1）

6、與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.方程標(biāo)準(zhǔn)方程(>0)(a>0,b>0)y2=2px參數(shù)方程(t為參數(shù))范圍a£x£a，b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實(shí)軸長2a, 虛軸長2b.x軸焦點(diǎn)F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）離心率e=1準(zhǔn)線x=x=漸近線y=±

7、;x焦半徑通徑2p導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)一導(dǎo)數(shù)的定義：2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；取極限得導(dǎo)數(shù)：（下面內(nèi)容必記）二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：； ； 法則1：；(口訣：和差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和差).法則2：(口訣：左導(dǎo)右不導(dǎo)+左不導(dǎo)右導(dǎo))法則3：(口訣：(上導(dǎo)下不導(dǎo)-上不導(dǎo)下導(dǎo)) 下平方)（2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：(理科必須掌握)換元，令，則分別求導(dǎo)再相乘回代題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1、已知，則 2、若，則 3.=ax3+3x2+2 ，則a=（）三導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時(shí)速度：物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律在 時(shí)的導(dǎo)數(shù)

8、，即有。2.表示即時(shí)速度。表示加速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點(diǎn)處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是：（2）曲線過點(diǎn)處切線(有可能點(diǎn)P不在曲線上)：先設(shè)切點(diǎn)，切點(diǎn)為 ,則斜率k=，切點(diǎn) 在曲線上，切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來確定切點(diǎn)，最后求斜率k=，確定切線方程。例題在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當(dāng)x0=-1時(shí)，k有最小值3，此時(shí)P的坐標(biāo)為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-11=0五函數(shù)的單調(diào)

9、性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； （2）該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。（3）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（4）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷）函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：步驟： （1）求導(dǎo)數(shù) (2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(3)下結(jié)論該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間題型

10、三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（轉(zhuǎn)化為恒成立問題）思路一.（1）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（2）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f（x）在（a，c）上為減函數(shù)，在（c，b）上為增函數(shù)，則x=c兩側(cè)使函數(shù)（x）變號，即x=c為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以例題若函數(shù)，若則( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1.極值的定義：設(shè)函數(shù)

11、在點(diǎn)附近有定義，且若對附近的所有的點(diǎn)都有（或，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（或?。┲?，為極大（或極?。┲迭c(diǎn)。可導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0（即），但函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，并不一定函數(shù)在該處取得極值（如在處的導(dǎo)數(shù)為0，但沒有極值）。求極值的步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)；第二步：求方程的所有實(shí)根；第三步：列表考察在每個(gè)根附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號如何變化，(用表格)若的符號左正右負(fù)，則是極大值；若的符號左負(fù)右正，則是極小值；若的符號不變，則不是極值，不是極值點(diǎn)。2、函數(shù)的最值：最值的定義：若函數(shù)在定義域D內(nèi)存，使得對任意的，都有，（或）則稱為函數(shù)的最大（?。┲?，記作（或）如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲

12、線，則該函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值方法：第一步: 求導(dǎo)數(shù)；第二步：求方程的所有實(shí)根第三步：比較在方程的根處的函數(shù)值與、的大小,最大的為最大值，最小的為最小值。注意：1、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)可以在極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間的端點(diǎn)處取得。極值最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。2函數(shù)在定義域上只有一個(gè)極值，則它對應(yīng)一個(gè)最值（極大值對應(yīng)最大值;極小值對應(yīng)最小值）3、注意：極大值不一定比極小值大。如的極大值為，極

13、小值為2。注意：函數(shù)在x0處有極值。但是，不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值；題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與最值的應(yīng)用題型三、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系 導(dǎo)函數(shù) 原函數(shù) 的符號 單調(diào)性 與x軸的交點(diǎn)且交點(diǎn)兩側(cè)異號 極值 的增減性 的每一點(diǎn)的切線斜率的變化趨勢 （的圖象的增減幅度） 的增 的每一點(diǎn)的切線斜率增大（的圖象的變化幅度快） 減 的每一點(diǎn)的切線斜率減小 （的圖象的變化幅度慢）典型例題例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上單調(diào)遞減，在0，+）上單調(diào)遞增？若存在，

14、求出a的值；若不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3） 由題意知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn).=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時(shí)，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.

15、解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時(shí)，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時(shí)，y ,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為例3.當(dāng) ，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時(shí)。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立.點(diǎn)評：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.例4 設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（）求a、b的值； （）若對于任意的，都有成立，求c