1分式的概念和性質(zhì)基礎(chǔ)知識講解含答案

1、分式的概念和性質(zhì)(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件2掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進(jìn)而進(jìn)行條件計算【要點(diǎn)梳理】分式的概念和性質(zhì)知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、分式的概念A(yù)一般地，如果 A B表示兩個整式，并且 B中含有字母，那么式子 -叫做分式其中AB叫做分子，B叫做分母要點(diǎn)詮釋：(1 )分式的形式和分?jǐn)?shù)類似，但它們是有區(qū)別的分?jǐn)?shù)是整式，不是分式，分式是兩個整式相除的商式 分式的分母中含有字母；分?jǐn)?shù)的分子、分 母中都不含字母(2) 分式與分?jǐn)?shù)是相互聯(lián)系的：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性；分?jǐn)?shù)是分

2、式中字母取特定值后的特殊情況(3) 分母中的"字母”是表示不同數(shù)的"字母”，但n表示圓周率，是一個 常數(shù)，不是字母，如 旦是整式而不能當(dāng)作分式(4) 分母中含有字母是分式的一個重要標(biāo)志，判斷一個代數(shù)式是否是分式2不能先化簡，如 3 是分式，與xy有區(qū)別，xy是整式，即只看形式，x不能看化簡的結(jié)果要點(diǎn)二、分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零2. 分式無意義的條件：分母等于零3. 分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零要點(diǎn)詮釋：(1)分式有無意義與分母有關(guān)但與分子無關(guān)，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免

3、分母的值為零(2) 本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零(3) 必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值 要點(diǎn)三、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做A A X M A A 十 M分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：2A二也旦,仝=也巴(其中m是不等于零的整式).B BM B B+M要點(diǎn)詮釋：(1)基本性質(zhì)中的 A、B M表示的是整式.其中BM 0是已知條件中隱含著 的條件，一般在解題過程中不另強(qiáng)調(diào)；0是在解題過程中另外附加的條件，在運(yùn)用分式的基本性質(zhì)時，必須重點(diǎn)強(qiáng)調(diào) W0這個前提條件(2)在應(yīng)用分式

4、的基本性質(zhì)進(jìn)行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式F工一中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化例如：，在變形后，x2 +X X字母x的取值范圍變大了 . 要點(diǎn)四、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符且 其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù)要點(diǎn)詮釋：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有 -a號,改變其中任何兩個， 分式的值不變；改變=.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有a a=二- 一分式與-互為相反數(shù)a-aa b b重要的作用 要點(diǎn)五、分式的約分，最簡分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，.分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運(yùn)算中起著約去分子和分母的公因式，不改變分式的（1除外），值，這樣的分式變形叫做分

5、式的約分 如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式 那么這個分式叫做最簡分式 要點(diǎn)詮釋：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次幕的積；當(dāng)分式 的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子 與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進(jìn)行約分要點(diǎn)六、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似， 利用分式的基本性質(zhì)， 使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分要點(diǎn)詮釋：（1）通分的關(guān)

6、鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的積作為公分母（2）如果各分母都是單項式， 那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相 同字母的最高次幕的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解 因式，然后再找最簡公分母（3） 約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言， 而通分則 是針對多個分式而言【典型例題】類型一、分式的概念1、F列式子中，哪些是整式？哪些是分式?,3 x2, § , :一2兀 a 3【思路點(diǎn)撥】2 5一雖具有分式的形式，但分母不含字母，其中的分母中二表示3一個常數(shù)，因此這三個式子都不是分式.【答案與解析】解：整式：35 , 3 x2，分式

7、：2 ,心兀a m【總結(jié)升華】 判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式.類型二、分式有意義，分式值為0m取何值時，分式有意義?(1) 亠；(2)亠；(3) -m +2| m | -2m -9【答案與解析】解：(1 )由 m 2 = 0 得 m - -2，故當(dāng)m = 一2時分式 m有意義.m+2(2) 由 |m| -2 =0得 m = 2 ,故當(dāng)m =二2時分式有意義.|m|-2(3)由-m2 -9二-(m2 9) ： 0 ,即無論m取何值時-m2 -9均不為零,故當(dāng)m為任意實數(shù)時分式二m都有意義.-m -9【總結(jié)升華】首先求出使分母等于零的字母的值

8、,有意義這是解答這類問題的通用方法.舉一反三：【變式1】在什么情況下，下列分式?jīng)]有意義然后讓未知數(shù)不等于這些值,便可使分式(1)爲(wèi)；(2)寧；(3)說【答案】解：分式?jīng)]有意義的條件是分式的分母等于0.(1) 由 x(x 7) = 0 ,得 x = 0或 x = -7 ,當(dāng)x = 0或x - -7時，原分式?jīng)]有意義.(2) 由 x2 =0，得 x =0 , 當(dāng)x = 0時，原分式?jīng)]有意義.(3) 由 x2 > 0 得，x220，即 X2 2 = 0 , 當(dāng)x取一切實數(shù)，原分式都有意義，即沒有x值能使分式?jīng)]有意義.【變式2】當(dāng)x為何值時，下列各式的值為0 .2x13x -2x2xx 2x2

9、-4【答案】1解：(1 )由2x 0得x=丄，2立11當(dāng) x 時，3x 2 =3 ( )2=0 ,221 2x +1二當(dāng)x = - 一時，分式的值為0.2 3x-2(2)由 X2 x =0得 x = 0或 x = -1 ,當(dāng) x = 0 時，X2 _1 =0 _1 = 0,當(dāng) x 二-1 時，x2 一1 =(一1)2 -1 =0,當(dāng)x =0時，分式x :u'x篤x的值為0.x -1(3)由 x 2 = 0 得 x = -2 ,當(dāng) x=2時，x2-4=(一2)2-4=0,x + 2 在分式有意義的前提下，分式飛一的值永不為0.x -4類型三、分式的基本性質(zhì)3、不改變分式的值，將下列分式的

10、分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù).1 1x y 34.1 1x y23【思路點(diǎn)撥】 將（1）式中分子、分母同乘 50, （2）式的分子、分母同乘【答案與解析】0.2x y0.02x -0.5y12即可.0.2x y (0.2x y) 500.02x-0.5y(0.02x-0.5y) 5010x 50yx -25y(2)1 1x y341 1x y231 1x y P 1234(1 1 ).一 x -一 y X12123丿4x 3y6x -4y【總結(jié)升華】 利用分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式,分式的值不變舉一反三：【變式1】如果把分式空 中的x, y都擴(kuò)大3倍，那么分

11、式的值（3x -2yA擴(kuò)大3倍 B 不變 C 縮小3倍 D 擴(kuò)大2倍【答案】B；2 2(1)心丄y-；x y ?【變式2】填寫下列等式中未知的分子或分母.(2)(b _ a)(C _ b) _ ?(ac)(a _b)(b _c)a_c【答案】（x - y）2 ； 1 ；2由于(x y)(x - y) =x解：（1）先觀察分子，等式左邊分式的分子為x y，而等式的右邊分式的分子為2-y，即將等式左邊分式的分子乘以x - y，因而分母也要乘以x - y，所以在？處應(yīng)填上(x - y)2 (a -b)(b-c)，因為（2）先觀察分母，等式左邊的分母為（a-c）（a-b）（b-c），等式右邊的分母為

12、a-c.根據(jù)分式的性質(zhì)可知應(yīng)將等式左邊分式的分子、分母同時除以(b _a)(c -b)- (a-b)(b -c) =1，所以在？處填上 1.4、不改變分式的值，使下列分式的分子和分母不含(2)-4x .-5y(3)如;(4)2b_n3c【答案與解析】2ab(2)-4x _ 4x-5y 5y(3) 3mn3m(4)2b 2b-3c 3c【總結(jié)升華】 在分子、分母、分式本身中，只有任意兩個同時改變符號時，才能保證分式的 值不變一般地，在分式運(yùn)算的最后結(jié)果中，習(xí)慣于只保留一個負(fù)號，寫在分式的前面.類型四、分式的約分、通分5、將下列各式約分:【答案與解析】腫；（3）3x ya T / 八 16m -

13、m3苕；(4) m-po(2)(3)(4)4x2 J a a4ax2127一 4x2 J3x 一 3x .n：；24-15x yn 33x y-3xny3p,5x2 -5x2y .3xny3 1a -1a2 -1 (a -1)(a 1) a 1a -1316m-m-m(m 4)(m-4)2 m m -20(m 5)(m -4)m2 4mm 5【總結(jié)升華】 當(dāng)分子、分母都是單項式時，分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系數(shù)的最大公約數(shù)與分子、分母的相同因式最低次幕的乘積.舉一反三:【高清課堂403986【變式】通分：(1)(3)分式的概念和性質(zhì)b a ；廠； 4ac 2b c與2 丿 2 2a b ab c例6 (2)】(2)2x 2(4)丄x +21x2 -14xx2 -4x -2【答案】解：(1)最簡公分母為4ab2c ,4ac_bLb24ab2cb34ab2ca2b2c2a2224ab c 4ab caL2a, 2(2)2x 22(x 1)-1(x 1)(x -1)'最簡公分母為2(x 1)(x-1),xLI(x -1)x2-x2x 2-2(x