引導(dǎo)學(xué)生反思提高思維能力

1、引導(dǎo)學(xué)生反思，提高思維能力 隨著新課程在全國(guó)的全面推廣，新課程所強(qiáng)調(diào)的“以學(xué)生為主體，以全面、主動(dòng)發(fā)展為目的，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀和一般能力的發(fā)展，突出數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，增進(jìn)理解和應(yīng)用”的理念越來(lái)越被人們所接受。如何培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力被提到了突出的位置。心理學(xué)研究表明，思維是學(xué)習(xí)過(guò)程中智力活動(dòng)的核心，思維能力的提高與學(xué)習(xí)活動(dòng)中及時(shí)，深刻反思密切相關(guān)。因此，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)地、多角度的反思，能促使他們從新的角度，多層次多側(cè)面地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面考察、分析與思考，可以為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)

2、造有利條件，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣，對(duì)思維能力的提高大有裨益。一、 反思問(wèn)題的條件解決好一個(gè)問(wèn)題之后，若能從問(wèn)題條件出發(fā)，試著去弱化、加強(qiáng)或改變條件看是否還能有類(lèi)似的結(jié)論。問(wèn)題1 如圖，若與外切于A，BC是與的外公切線，B、C為切點(diǎn)，則反思：兩圓相切時(shí)有結(jié)論成立，由圓與圓的位置關(guān)系聯(lián)想到，兩圓外離或相交時(shí)，結(jié)論是否成立。1O2OAB圖1C變題1：若與外離，BC是與外公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線分別交、于M、N，BM、CN的延長(zhǎng)線交于P，則BP與CP是否垂直？變題2：若與相交，BC是與公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線分別交、于M、N，Q是線段MN上一點(diǎn)，連結(jié)BQ、C

3、Q，則BQ與CQ是否垂直？2O1ONMQBC圖3事實(shí)上變題1結(jié)論成立，變題2結(jié)論不成立。問(wèn)題2：設(shè)如圖4，O是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值。分析：設(shè)扇形與正方形邊交于M、N，連結(jié)AO，DO，易證，則，因此，被覆蓋部分為ABCONM12?5ABCDEOMNABCDOMN圖4 反思：對(duì)正方形有結(jié)論成立，若改為正三角形，正五邊形或正邊形會(huì)如何？變題3：如圖5，將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板圓心放在邊長(zhǎng)為的正三角形或邊長(zhǎng)為的正五邊形中心O點(diǎn)處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的

4、圓心角分別為多少度時(shí)，正三角形和正五邊形被覆蓋部分總長(zhǎng)為定值分析：由圓及正三角形的對(duì)稱(chēng)性，可知，則因此，因?yàn)椋?，即圓心角。同理可得正五邊形中圓心角為變題4：將一塊半徑足夠長(zhǎng)的扇形紙板圓心放在邊長(zhǎng)為的正邊形的中心O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)扇形紙板的圓心角分別為多少度時(shí)，正邊形的邊被紙板覆蓋部分總長(zhǎng)度為定值。分析：因?yàn)檎呅蝺?nèi)角為，在理解了上面幾種情形后，不難求出扇形圓心角為二、 反思問(wèn)題的結(jié)論不改變問(wèn)題條件，對(duì)問(wèn)題結(jié)論做進(jìn)一步反思，看能否有其他或更一般的結(jié)論。問(wèn)題3：已知和外切于P點(diǎn)，直線AB切于A，切于B，的半徑為R，的半徑為r（Rr），求證：分析：這是圓與圓位置關(guān)系中的一個(gè)基本圖形，連

5、結(jié)AP并延長(zhǎng)交于D，連結(jié)BP并延長(zhǎng)交于C，連結(jié)AC，BDA1O2OBCDP圖61O2OABEFPQ圖7A1O2OBCP圖8 易證ABP為直角三角形，因此APC=BPD=。所以AC、BD為直徑，再證，可得解完本題后，做進(jìn)一步反思，還能得到什么結(jié)論？ 注意到ABD，ABC均為，AP，BP為高，結(jié)合勾股定理和射影定理可得到 PABPBD PABPCA 改變輔助線添法，變化如圖7，則可以得到EQF，進(jìn)一步思索，還可以得到一些結(jié)論。 變圖如圖8，可證PACBPC，進(jìn)一步可得 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)一些有意義的問(wèn)題若都能?chē)L試著做這樣的反思，則能達(dá)到“通一題會(huì)一片”。三、 反思相關(guān)聯(lián)的知識(shí)俗話說(shuō)：牽一發(fā)而動(dòng)全身。

6、數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)完整的體系，許多知識(shí)是相關(guān)聯(lián)的，認(rèn)真反思這種聯(lián)系，則能做到舉一反三。例如，二次三項(xiàng)式，二次函數(shù)，二次不等式0（0），二次方程就有密切的聯(lián)系，通過(guò)方程的解，韋達(dá)定理，二次函數(shù)圖象就能有機(jī)地把它們串起來(lái)。因此，學(xué)習(xí)了這些知識(shí)之后，應(yīng)該及時(shí)反思它們之間的聯(lián)系，做到舉一反三。又例如：相交弦定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理可以通過(guò)（圓冪定理）聯(lián)系起來(lái)。四、 反思解題方法美妙的方法是師生在解決問(wèn)題時(shí)的共同追求，不滿足于現(xiàn)有解法，是思維積極活動(dòng)的體現(xiàn)。問(wèn)題4：已知，且，求的值解法一：用求根公式，分別求出兩方程根，得 或，或（0，舍去）由于，所以當(dāng)時(shí)，解法二：和可以看作方程兩根，又因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，又已知，則由根與系數(shù)關(guān)系得，即解法三：由于，兩式相減，得 ，因式分解得 即 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該學(xué)會(huì)做到及時(shí)，多