平面坐標下的分離變量

1、第八章 平面坐標下的分離變量 本征值問題（一）分離變量法是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，從而達到求解之目的一個數(shù)學過程。§8.1 齊次方程的分離變數(shù)法一、分離變數(shù)法簡介以兩端固定的均勻弦的自由振動為例。其定解問題為 () 這里研究的弦是有限長的，它有兩個端點，波就在這兩端點之間往復(fù)反射。這樣,駐波解的一般表示式應(yīng)當為設(shè) ()在()中，自變數(shù)只能出現(xiàn)于X之中，自變數(shù)t只出現(xiàn)于T之中，駐波的一般表示式具有分離變數(shù)的形式。那么，在兩端固定的弦上究竟有哪些駐波呢？把駐波的一般表示式()代入弦振動方程(8.1.1)和相應(yīng)的邊界條件，得： ()條件()表示，在時刻，和總是零。 這樣只能是 和

2、 (8.1.4)只有邊界條件是齊次的,才得出()這樣簡單的結(jié)論?，F(xiàn)用遍除(8.1.3)第一式各項，并整理得 ()左邊是時間t的函數(shù),跟坐標x無關(guān),右邊則是坐標x的函數(shù),跟時間t無關(guān)。兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實際上是同一個常數(shù)，把這個常數(shù)記作“ ”。 ()()可以分離為關(guān)于的常數(shù)微分方程和關(guān)于T的常微分方程,前者還附帶有邊界條件 () ()現(xiàn)對()在三種可能的情況分別加以討論。1、當，方程()的解是 積分常數(shù)和由邊界條件確定,即 解出, 從而,解沒有意義的。因而排除了的可能。2、.方程()的解是 仍然解出， 從而 仍沒有意義,應(yīng)予排除。現(xiàn)只剩下一種可能性，即 3、的情況方程()的解是 其

3、積分常數(shù)由下式確定 若 問題仍無解。只能唯一的可能是（n為整數(shù)） 亦即 ()當 取這些數(shù)值時， () 為任意常數(shù)。 ()正是傅里葉正弦級數(shù)的基本函數(shù)族。這樣,分離變數(shù)過程中所引入的常數(shù)不能為負數(shù)或零,甚至也不能是任意的正數(shù),它必須取()所給出的特定數(shù)值。常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作本征值,相應(yīng)的解(8.1.11)叫作本征函數(shù)。方程(8.1.7)和邊界條件則構(gòu)成所謂本征值問題。再看關(guān)于T的方程(),按照(8.1.10),這應(yīng)改寫為 這個方程的解是 ()其中和是積分常數(shù)把()和(8.1.12)代入(8.1.2),得到分離變數(shù)的形式解 ()為正整數(shù)。這就是兩端固定弦上的可能的駐波。每一個對應(yīng)于一種駐波,這

4、些駐波也叫作兩端固定弦的本征振動。在共計個點上，從而。這些點就是駐波的節(jié)點，相鄰節(jié)點間隔應(yīng)為半波長,所以波長。本征振動()的角頻率(又叫圓頻率)是,從而頻率。其線性疊加便得到物理問題的一般解 其中和為任意常數(shù)，這里尚未考慮初始條件。為了確定疊加系數(shù)和，（）滿足初始條件。()的左邊是傅里葉正弦級數(shù),這就啟示我們應(yīng)把右邊的展開為傅里葉正弦級數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)就可確定和。解()正好是傅里葉正弦級數(shù),這正是第一類齊次邊界條件所決定的?；仡櫿麄€求解過程,可以作出圖解如下:偏微分方程 一方面，把分離變數(shù)形式的試探解代入偏微分方程,從而把它分解為幾個常微分方程,問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程；另一方面,代入齊

5、次邊界條件把它轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件,這些條件與相應(yīng)的常微分方程構(gòu)成本征值問題。雖然我們是從駐波引出解題的線索,其實整個求解過程跟駐波并沒有特殊的聯(lián)系，從數(shù)學上講，完全可以推廣應(yīng)用于線性齊次方程和線性齊次邊界條件的多種定解問題。這個方法，按照它的特點，叫作分離變數(shù)法。用分離變數(shù)法得到的定解問題的解一般是無窮級數(shù),不過,在具體問題中,級數(shù)里常常只有前若干項較為重要,后面的項則迅速減小,從而可以一概略去?，F(xiàn)將上述弦振動的解與實驗結(jié)果比較：（圖僅示意）波速結(jié)果與實驗情況完全一致。§8.4 本征值問題（一） 我們知道，常微分方程的本征值問題是由齊次邊界條件決定的。用分離變量法求解偏微分方程的定解問題時，會得到含有參數(shù)（如）的齊次常微分方程和齊次邊界條件（或自然邊界條件）。這類問題中的參數(shù)依據(jù)邊界條件只能去某些特定值才會使方程有非零解。這些參數(shù)稱為本征值，其對應(yīng)的方程解稱為本征函數(shù)。通過上述討論，我們發(fā)現(xiàn)本征值有