數(shù)學(xué)建模 第一章 數(shù)學(xué)模型導(dǎo)言

1、數(shù) 學(xué) 模 型 主講： 林 健 良第一章 數(shù)學(xué)模型導(dǎo)言§1.1數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)模型111何謂數(shù)學(xué)模型先讓我們來看一個簡單的例子.例1.1 現(xiàn)要用100×50厘米的板料裁剪出規(guī)格分別為40×40 厘米與50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件.問如何裁剪，才能最省料？解：先設(shè)計幾個裁剪方案.方案1,如圖，在100×50的板料上可裁剪出兩塊40×40的零件和一塊50×20的零件（圖中分別用A、B表示）.AAB/同樣，求出方案2ABBB/方案3BBBBBi使用原材料xi件(i=1,2,3).共用原材料f件.則根據(jù)題意，可用如

2、下數(shù)學(xué)式子表示：最優(yōu)解有四個：x11211109x21357x33210f 的最小值為16. 這是一個整數(shù)線性規(guī)劃模型.數(shù)學(xué)模型-描述實際問題數(shù)量規(guī)律的、由數(shù)學(xué)符號組成的、抽象的、簡化的數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)公式或圖表及算法. 數(shù)學(xué)建模的方法與步驟建模的步驟一般分為下列幾步.(1)模型準(zhǔn)備.首先要了解問題的實際背景,明確題目的要求,搜集各種必要的信息.(2)模型假設(shè).為了利用數(shù)學(xué)方法,通常要對問題作出必要的、合理的簡化,使問題的主要特征凸現(xiàn)出來,忽略問題的次要方面.(3)模型構(gòu)成.根據(jù)所作的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系,構(gòu)造各種量之間的關(guān)系把問題化為數(shù)學(xué)問題.要注意盡量采取簡單的數(shù)學(xué)工具,因為簡單的數(shù)學(xué)模型

3、往往更能反映事物的本質(zhì),而且也容易使更多的人掌握和使用.(4)模型求解.利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題.這時往往還要作出進一步的簡化或假設(shè).(5)模型分析.對所得到的解答進行分析,特別要注意當(dāng)數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果是否穩(wěn)定.(6)模型檢驗.分析所得結(jié)果的實際意義,與實際情況進行比較,看是否符合實際,如果結(jié)果不夠理想,應(yīng)該修改、補充假設(shè)或重新建模,有些模型需要經(jīng)過幾次反復(fù),不斷完善.(7)模型應(yīng)用.所建立的模型必須在實際中應(yīng)用才能產(chǎn)生效益,在應(yīng)用中不斷改進和完善.各步驟之間的關(guān)系可用圖1.1.1表示.模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型應(yīng)用模型求解模型檢驗?zāi)Ｐ头治鰣D1.1.1§1.

4、2數(shù)學(xué)模型的分類在實際應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型可以按不同的方式分類.數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類.l 按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分可分為生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等.更詳細一些,有人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型等等.l 按建立模型的數(shù)學(xué)方法分可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等等.l 按是否考慮隨機因素分可分為確定性模型和隨機性模型兩類.l 按是否考慮模型隨時間的變化分可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型.l 按變量的取值情況分可分為離散模型和連續(xù)模型.l 按目前人們對事物發(fā)展過程的了解程度分可分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型. 白箱模型-主要指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型,如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題,這些問題大多早已化為比較成熟的數(shù)學(xué)閘題,解決這些問題大多注重數(shù)學(xué)方法的改進,優(yōu)化設(shè)計和控制等. 灰箱模型-主要指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題,如生態(tài)學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域中的模型. 黑箱模型-主要是指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象,如生命科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域的問題,這類問題多利用統(tǒng)計方法研究.有些工程技術(shù)問題,理論上可用白箱模型研究,但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜,也可簡化為黑箱模型來研究.§1.3數(shù)學(xué)