必修5正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、正弦定理和余弦定理要點(diǎn)梳理1正弦定理其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3余弦定理：.余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.4在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果

2、可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題；(2)已知三邊問題基礎(chǔ)自測(cè)1在ABC中，若b1，c，C，則a 1 .2已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c，b，B120°，則a_.3在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC 4或5 .4已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為(C)A2 B8 C. D.題型分類 深度剖析題型一利用正弦定理求解三角形例1在ABC中，a，b，B45°.求角A、C和邊c.思維啟迪 已知兩邊及一邊對(duì)角或已知兩角及一邊，可利用正

3、弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷解:由正弦定理得，sin A.a>b，A60°或A120°. 當(dāng)A60°時(shí)，C180°45°60°75°，c；當(dāng)A120°時(shí)，C180°45°120°15°，c.探究提高(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意變式訓(xùn)練1 已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a1，b，AC2

4、B，則A解析AC2B，B. 由正弦定理知sin A.題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.（1）求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac. cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整

5、體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.變式訓(xùn)練2已知A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為a、b、c，且.(1)求角A的值； (2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由，得1cos Acos A0，即cos A.0<A<，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A.題型三正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3. 在ABC中，a、b、c 分別是角A、B、C 的對(duì)邊 ABC 外接圓半徑為（1）求角C的大??； （2）求ABC 面積的最大值.解: （1）ABC 外接圓半徑為 由正弦定理得：

6、即由余弦定理得：（2）探究提高在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角通常的思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角變式訓(xùn)練3在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4. 聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A

7、，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時(shí)，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時(shí)，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形或直角三角形思想方法 感悟提高方法與技巧1正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的重點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問題2應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)3正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理

8、結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明4根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換失誤與防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進(jìn)行分類討論過關(guān)精練一、選擇題1在ABC中，A60°，a4，b4，則B等于()A45°或135° B135° C45° D以上答案都不對(duì)2ABC中，若a4b4c42c2(a2b2)，則角C

9、的度數(shù)是()A60° B45°或135° C120° D30°3在中，的外接圓半徑為，則（ ）A1 B2 C3 D4在中，已知?jiǎng)t等于（ ）A B C D5在中則等于（ ）A120° B60° C30° D150°6在中， 則這個(gè)三角形的最大角為（ ）A B C D7在ABC中,已知三邊之比，則（ ）A1 B2 C D8中，邊的對(duì)角分別為A、B、C，且A=2B，（ ）A B C D二、填空題9在ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么ABC的形狀是 三角形10在銳角ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且a2csin A，則角C_. 11在ABC中，邊a，b，c