一題多變——抓住數列問題的本質_第1頁
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文檔簡介

1、一題多變抓住數列問題的本質山東省桓臺第一中學 姜文霞 大千世界，錯綜復雜的事物往往是由簡單事物不斷變化而來，數學中也一樣。不管實際問題有多復雜，只要我們找到其源頭，究其本質，探索其內涵，便可以快速尋找到問題的答案。在數列問題中，以數列的通項與前n項和的關系為背景條件的問題便可以很好地體現出這一點。結合教學實踐，淺談以下數列實例。 已知數列中，,求數列的通項公式。分析：已知與的關系式求，最直接的方法是消去，因此我們需要再構造一個關系式。 , （且） 兩式作差得：，即是以1為首項，以為公比的等比數列，. 變式一：對稍加改變，變?yōu)?，其余條件不變，我們看看會有什么變化，還是不是等比數列。 （且） 兩式

2、作差得：（且），即是以1為首項，以為公比的等比數列，.但我們發(fā)現一個很奇怪的現象，并不符合該通項公式。這是為什么呢？剛剛的計算過程有什么錯誤嗎？顯然，我忽視了n的取值。中且，即，.不包含與的關系。而求值，=，并不是等比數列?；仡櫾}，盡管，但包含前兩項的關系，原數列是等比數列。 由此可見，把n變成n+1，如此簡單細微的一個變化卻導致了數列的性質發(fā)生了改變，而這種改變也讓我們更加透徹得理解了等比數列的定義。于細微之處見精神，于細節(jié)之處識本質便蘊含在這一微妙的變化之中。 變式二：將再加以改變，變?yōu)?，其它條件不變，我們再來研究一下數列。 且 且 兩式作差得：（且），即，這是一個關于的三階遞推公式，首

3、先應轉化為二階遞推公式。利用整體思想，構造為等比數列，設，整理為，對照，得，為公比為2的等比數列，到此轉化為我們熟知的問題。 變式三：在的左右兩邊增添一些項，我們看看又會發(fā)生怎樣的變化。仍然從最簡單的入手，例如：，其它條件不變。 兩式作差得：（且），即，同樣利用整體思想，構造為等比數列，設即，對照得。為等比數列。 變式四：在的右邊增加項即其它條件不變。 兩式作差得：（且），即。構造為等比數列，設則，對照，得，為等比數列，轉化為我們所熟知的數列。 對再加以改變，或許我們會有更多新的發(fā)現，感興趣的同學可以探究一下，在此不再贅述。綜上所述，大家可以發(fā)現，不管多復雜的數列我們總是希望構造跟它相關的一個代數式數列為等比數列，也就是轉化為我們熟知的數列。因此不管多復雜的問題，我們的思路都是將其轉化為最簡單的我們所解決過的

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