正余弦定理綜合應(yīng)用

1、關(guān)于正余弦定理綜合應(yīng)用第一頁，共33頁幻燈片溫故知新溫故知新 兩角和與差的正弦兩角和與差的正弦sin()sincoscossin sin()sincoscossin 兩角和與差的正切兩角和與差的正切sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(兩角和與差的余弦兩角和與差的余弦tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(第二頁，共33頁幻燈片1、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式22cos2cossinsin22sincos22cos121 2sin 2、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan二倍角公式二倍角公式1s

2、incossin2221 cos2sin221 cos2cos2降冪公式降冪公式第三頁，共33頁幻燈片1、正弦定理：、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R為為ABC的外接圓半徑）的外接圓半徑）3、正弦定理的變形：、正弦定理的變形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin2、三角形面積公式：、三角形面積公式：2111sinsinsin2sinsinsin222ABCSbcAcaBabCRABC 第四頁，共33頁幻燈片abc=2sinAsinBsinCR 正正弦弦定定理理：a a2 2

3、=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAb b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB-2accosBc c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222222222b +c -acosA=2bca +c -bcosB=2aca +b -ccosC=2ab余弦定理余弦定理第五頁，共33頁幻燈片解三角形中常用關(guān)系式解三角形中常用關(guān)系式 A+B+C=sin A+B =sinC, cos A+B =-cosC D DC CB BA A圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)A+ C= B+ D= 第六頁，共33頁幻燈片5 5、在、在ABCABC

4、中，中，cosAcosBsinAsinB,cosAcosBsinAsinB,則則ABCABC為為（ ） A A、等邊三角形、等邊三角形 B B、直角三角形、直角三角形 C C、鈍角三角形、鈍角三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形C（事實上，（事實上，C為鈍角，只有為鈍角，只有C項適合）項適合）6 6、在、在ABCABC中，中，sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinBsinC+sinB+sinBsinC+sin2 2C,C,則則A A等于等于（ ） A A、3030o o B B、6060o o C C、120120o o D D、150150o oC第

5、七頁，共33頁幻燈片1、在、在 中，若中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且且a+b+c=15，則，則a= ，b= ，c= 。 ABC2、在、在 中，中， ，則，則a：b：c= 。ABC3:2:1:CBA4562:3:1角化為邊角化為邊第八頁，共33頁幻燈片 在三角形中在三角形中,已知已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角求角A.例例1：解：條件整理變形得解：條件整理變形得C CA AB Ba ac cb bA=1200 0第九頁，共33頁幻燈片的形狀。斷：根據(jù)所給的條件，判變式ABC2AbBacoscos1 ）（BbAacoscos2 ）（解：解：）（ 1AbBacosc

6、os )2()2(222222bcacbbacbcaa 222222acbbca 2222ba ba 為等腰三角形。為等腰三角形。ABC 得得法法二二：由由AbBacoscos ABRBARcossin2cossin2 0cossincossin ABBA0sin ）（即即BABA 第十頁，共33頁幻燈片BbAacoscos2 ）（解：解：）（2BbAacoscos )2()2(222222acbcabbcacba 0422422 bcbaca0)(22222 bacba022222 bacba或或角形。角形。為等腰三角形或直角三為等腰三角形或直角三ABC 222bacba 或或得得法法二二：

7、由由BbAacoscos BBRAARcossin2cossin2 BA2sin2sin BABA2222 或或2 BABA或或即即第十一頁，共33頁幻燈片ABCABCa=4,b=5,S=5 3,c 例例3 3、在在中中，已已知知求求 的的值值。1S=absinC, a=4,b=5,S=5 32解解：2S3sinC=C=60120ab2 或或222C=60c =a +b -2abcosC=16+25-20=21 時時c= 21222C=120c =a +b -2abcosC=16+25+20=61 時時c= 61第十二頁，共33頁幻燈片AbBacoscos1 ）（BbAacoscos2 ）（解

8、：解：）（ 1AbBacoscos )2()2(222222bcacbbacbcaa 222222acbbca 2222ba ba 為等腰三角形。為等腰三角形。ABC 得得法法二二：由由AbBacoscos ABRBARcossin2cossin2 0cossincossin ABBA0sin ）（即即BABA 例例5.判斷滿足條件的三角形的形狀判斷滿足條件的三角形的形狀第十三頁，共33頁幻燈片BbAacoscos2 ）（解：解：）（2BbAacoscos )2()2(222222acbcabbcacba 0422422 bcbaca0)(22222 bacba022222 bacba或或角形

9、。角形。為等腰三角形或直角三為等腰三角形或直角三ABC 222bacba 或或得得法法二二：由由BbAacoscos BBRAARcossin2cossin2 BA2sin2sin BABA2222 或或2 BABA或或即即第十四頁，共33頁幻燈片13,4,bacABC ( (2 2) )若若求求的的面面積積第十五頁，共33頁幻燈片13,4,bacABC ( (2 2) )若若求求的的面面積積第十六頁，共33頁幻燈片2222cosbacacB 解解, ,得得60 .B 解解:例例4. 銳角銳角ABC中中, b=7,外接圓半徑外接圓半徑7 3,3R 10 3,ABCS 求求 a, c 的長的長(

10、ac).7sin27 323bBR 3,2 1sin6010 3,2ABCSac 40.ac 2()22cos60acacac 21()2 402 4049,2ac 13.ac 8,5.ac （舍舍去去）5,8ac 考點(diǎn)四考點(diǎn)四有關(guān)三角形的有關(guān)三角形的面積問題面積問題第十七頁，共33頁幻燈片例 1在ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，若 bc2acos(60C)，求角 A解由正弦定理得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，bc2acos(60C)2RsinB2RsinC22RsinAcos(60C)sinBsinCsinAcosC 3sinAsinC.又B(AC

11、)，sinBsinCsin(AC)sinCsinAcosCcosAsinCsinC.cosAsinCsinC 3sinAsinC.sinC0， 3sinAcosA1，即)6Asin( 12.在ABC 中，A23.第十八頁，共33頁幻燈片例 2(2010全國)已知ABC 的內(nèi)角 A、B 及其對邊 a，b 滿足 abacotAbcotB，求內(nèi)角 C.第十九頁，共33頁幻燈片例 4.(2010浙江)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)S為ABC的面積，滿足S34(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求 sinAsinB的最大值解(1)由余弦定理得a2b2c2=2abcos,由題意

12、得12absinC342abcosC，tanC 3.又C為ABC的內(nèi)角，C3.第二十頁，共33頁幻燈片例 4.(2010浙江)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)S為ABC的面積，滿足S34(a2b2c2)(1)求角C的大??；(2)求 sinAsinB的最大值解(2)C3，sinAsinBsinAsin A-32sinA32cosA12sinA 3sin 6A 3.當(dāng)A3時，sinAsinB的最大值為 3.第二十一頁，共33頁幻燈片例 3 已知銳角ABC 中， bsinBasinA(bc)sinC，其中 a、b、c 分別為內(nèi)角 A、B、C 的對邊(1)求角 A 的大?。?2)求

13、3cosCsinB的取值范圍解(1)由正弦定理得 b2a2(bc)c.即 b2c2a2bc.cosAb2c2a22bcbc2bc12.又A 為三角形內(nèi)角，A3.第二十二頁，共33頁幻燈片例 3 已知銳角ABC 中， bsinBasinA(bc)sinC，其中 a、b、c 分別為內(nèi)角 A、B、C 的對邊(1)求角 A 的大??；(2)求3cosCsinB的取值范圍解(2)BC23，C23B. ABC 為銳角三角形，0B2，023B2.6B0,2cos 0,2cos B B=1,=1,B B=60=60. . 第三十頁，共33頁幻燈片 (12 (12分分) )在在ABCABC中，中，a a，b b，

14、c c分別是分別是A A，B B， C C的對邊，且滿足（的對邊，且滿足（2 2a a- -c c）cos cos B B= =b bcos cos C C. . (1) (1)求角求角B B的大?。坏拇笮。?(2) (2)若若b b= ,= ,a a+ +c c=4,=4,求求ABCABC的面積的面積. .解解（2 2）在）在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=(=(a a+ +c c) )2 2-2-2acac-2-2acaccos cos B B, , 將將b b= ,= ,a a+ +c c=4=4代入整理，得代入整理，得acac=3. =3. 77第三十一頁，共33頁幻燈片已知已知 中，滿足中，滿足，試判斷，試判斷 的形狀。的形狀。ABC)sin()()sin()(2222BAbaBAbaABC解：解：)sin()()sin()(2222BAbaBAba可化為：可化為：)si