彈性力學(xué)第四章-用極坐標解平面問題

1、面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。 面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。用f表示體積第四章用極坐標解平面問題4.1.極坐標中的平衡微分方程工程上常?？梢杂龅綀A形、環(huán)形、楔形或扇形類的構(gòu)造物。在這些情況下， 用直角坐標 描述邊界條件會變得相當(dāng)復(fù)雜， 由于極坐標使得構(gòu)造的邊界與坐標線一致， 因而使邊界條件 的描述更加簡單，使問題更易于求解。首先我們定義極坐標中的應(yīng)力分量和體積力分量。用夾角為d的兩條極徑和兩條半徑相差為d的同心圓弧截取一個微元體圖 4.1。圓弧截面 稱為面。面的法向沿徑向而且指向增加方向，這一圓弧面稱為正面，反之稱為負 面。極徑截面稱為 面。面的法向沿環(huán)向而且指向增加方向，這一極徑截

2、面稱為正面。反之稱為負面。力在徑向的分量，用f表示體積力在環(huán)向的分量。應(yīng)力的符號規(guī)定與直角坐標下的規(guī)定完全一樣：正面上指向正向坐圖4.2單元體上的應(yīng)力標增加的方向的應(yīng)力為正值應(yīng)力，負面上指向負向坐標 減小的方向的應(yīng)力亦為正值應(yīng)力，反之，為負值的應(yīng)力。體積力符號規(guī)定也與直角坐標下的規(guī)定一樣，指向坐標軸正向坐標增加的方向的體積力為正值，反之，為負值。直角坐標和極坐標之間具有嚴格的變換關(guān)系。從理論上說，我們完全可以通過坐標變換的方法由直角坐標的根本方程導(dǎo)出極坐標下的相應(yīng)方程。但是，為了加深對極坐標下平衡方程物理意義的理解，我們?nèi)匀煌ㄟ^極坐標下的微分單元體的平衡導(dǎo)出極坐標下的平衡微分方 程。我們?nèi)∫粋€

3、微分單元體研究，各個面上的應(yīng)力分量和體積力如圖4.2所示。負 面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正 面的坐標比負面增加了 d ，所以正面的應(yīng)力和負面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量，分別為 一d和負 面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正 面的坐標比負面增加了 d，所以正面的應(yīng)力和負面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量，分別為由于微分單元體厚度是1,所以負面的面積為d ，正面的面積為（ d ）d ； 正、負 面的面積均為d 。體力為f和f。各面的合力對形心求矩MC 0，可以再次證明剪應(yīng)力互等定理。4.1取各面上的力在方向上的平衡，有F0 :( -d )(d )dd(d )d si nJ2ad.d sin -(d )dd cos

4、-d cosf d d0222由于d是個微量,所以有cosd1 和 sindd 成立。把它們用于a式并略222去高一階的無窮小量。利用剪應(yīng)力互等定理并在方程兩邊同除以d d ,整理后得f 0 b再考察各面上的力在方向上的平衡 F 0，同理可得：2 f 0 cb式和c式聯(lián)立得到一組平衡微分方程：f 04.22f 0這個方程組中包含了、 和三個獨立的未知函數(shù)，方程本身比直角坐標下的相應(yīng)方程復(fù)雜得多。一般情況下，它的求解也復(fù)雜得多。4.2.極坐標中的幾何方程及物理方程在4.1節(jié)中我們導(dǎo)出了三個應(yīng)力分量應(yīng)該滿足的平衡微分方程。但是僅僅通過兩個方程求解三個未知函數(shù)是不夠的，必須找到一個補充方程，也就是說

5、要考慮變形幾何關(guān)系。首先要定義在極坐標中的應(yīng)變分量與位移分量。表示徑比照在直角坐標中的應(yīng)變分量的定義方法，我們定義與應(yīng)力相對應(yīng)的應(yīng)變,向線段的線應(yīng)變徑向正應(yīng)變，表示環(huán)向線段的線應(yīng)變環(huán)向正應(yīng)變，表示徑向線段和環(huán)向線段之間的直角改變量剪應(yīng)變。位移分量是按照位移的方向定義的，u表示徑向位移，u表示環(huán)向位移。變形幾何方程是描述位移和應(yīng)變之間關(guān)系的一組方程。欲研究平面彈性體在極坐標下的變形，要選取相互正交的徑向線段和環(huán)向線段。徑向線段PA d ，環(huán)向弧線所含的弧度為d ，弧長PB d 。線段端點及其坐標分別為P( , )， OA( d ,)和 B( , d )。由于極坐標中正交線段的位移可以看作沿徑向的

6、位移和沿環(huán)向位移的合成。在分析位移與應(yīng)變關(guān)系時我們分兩u步完成，第一步先考察正交線段僅發(fā)生徑向移動不考慮y環(huán)向位移所產(chǎn)生的位移與應(yīng)變分量間的關(guān)系圖 4.3。圖4. 3徑向位移正交線段的徑向移動使 P點移動到P點，位移為u , A點移動到A點，由于A、P兩點極角一樣，A點極徑比P點的極徑增加了 d ，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量 旦 d ，A點的位移為uud ，這兩點的環(huán)向位移0，PA的轉(zhuǎn)角為零。線段PA的伸長量可以通過兩個端部 AP'A' PA AA' PP'PAPA ，即uu d uuP兩點的位移差計算，產(chǎn)生的徑向線應(yīng)變?yōu)閍正交線段的徑向移動同

7、時使 B點移動到B點，由于B、P兩點極徑一樣，B點極角比P點的極角增加了 d ，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量 d ，B點的徑向位移為u d ，這兩點的環(huán)向位移也有 u0。同理，PB弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)镻BPBuB Bud(u )ddb由于B、P兩點徑向位移不同，就使得 PB產(chǎn)生了一個轉(zhuǎn)角BB' PP'PBu(ud ) udc故剪應(yīng)變?yōu)閐第二步是在第一步的根底上研究徑向位移后的兩條線段端點P、A和B只發(fā)生環(huán)向位移而不發(fā)生徑向位移 圖4.4。正交線段的環(huán)向移動使 P點移動到P點，位移為u , A點移動到A點。A點極徑比P點的極徑增加了 d ，所以其環(huán)向位移產(chǎn)生一個

8、由于變化uA帶來的函數(shù)增量d ，A點的環(huán)向位移為A A ，uA A ud e這兩點的徑向位移 u 0。線段PA位移到P A后，其伸長量可以視為零，所以其徑向線應(yīng)變0 f正交線段的徑向移動使B點移動到B點，由于B點極角比P點的極角增加了其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來增量 d ，B點的環(huán)向位移為 B BP B弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)镻 B P B，也就疋PBu(ud ) uP B P BB BP Pg由圖4.5可以看出，線段 PA位移到PA所轉(zhuǎn)過的角度包含兩局部，一局部是徑線OA轉(zhuǎn)動到OAr的位置時剛體轉(zhuǎn)動角，h另一局部是環(huán)向位移使線段P Ai轉(zhuǎn)動到P A位置時轉(zhuǎn)過的角度，只有這一局部轉(zhuǎn)角才是正交線

9、段的直角改變量，可以這樣計算uuduA2P AA A A A2uPAdiju uA2P A把兩種位移產(chǎn)生的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變疊加把a、b、d、f、g和j式代入k式后得到總的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變 和剪應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，即幾何方程如下：4. 3uu式中是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)變，是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度。所得到的平衡微分方程描述的力學(xué)量之間的關(guān)系，幾何方程描述的是幾何量間的關(guān)系。 幾何方程要作為補充方程， 必須把幾何量轉(zhuǎn)化為力學(xué)量， 物理方程就為完成這種轉(zhuǎn)變提供了 依據(jù)。物理方程是描述力和變形之間的關(guān)系的，在彈性力學(xué)中描述的是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān) 系。由于極坐標也是正交坐標系，微分單

10、元體和直角坐標是一致的，所以力和變形之間所遵 循的規(guī)律是完全一致的，因此物理方程形式不變。在平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標形式 為G寫成矩陣的形式為11E0)2(1 )E01 00 2(1 )4.44.4 按照與2.4節(jié)一樣的做法,可以得到用應(yīng)變表示應(yīng)力的平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標形式其矩陣形式為4 52(14. 51""2將4. 4式中的E和分別用代換，可以得到平面應(yīng)變狀態(tài)下物理方程的極坐標形式4 62(1 )GE它的矩陣形式為4. 6 Xty圖4.6極坐標下的方向角方程，含有需要求解的八個未知函數(shù)，具備了求解的根本條件。4.3極坐標中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程在平面直角坐

11、標系求解問題時，采用應(yīng)力函數(shù)是一種行之有效的方法，我們在用極坐標 求解時也試圖采用同樣的方法，為此我們需要導(dǎo)出極坐標下用應(yīng)力函數(shù)求解 的根本方程。這里僅考慮體積力為常量的情況。首先把用直角坐標表示的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標表示。通過兩個坐標系的轉(zhuǎn)換 很容易 的得到 應(yīng)力函數(shù) 從直角坐標系到極坐標的轉(zhuǎn)化，(,),y(,)(，)。下面我們用求在極坐標下對X和y的方向?qū)?shù)的方法導(dǎo)出極坐標下用應(yīng)力函數(shù)描述的相容方程。X和 之間的夾角為圖4.6，所以在極 坐標下對X的方向一階導(dǎo)數(shù)為-cos sin ax把整體視為新函數(shù)，再求對它對XX的一階導(dǎo)數(shù)，即用它代替a式中的得到2 Xcos)cos ( cossi

12、n )sin(b)所以有222y2 X2 cos2 2sin cossin cos(c)由于.2sin.27 siny方向?qū)?shù)比x方向的角度增加了，所以求應(yīng)力函數(shù)在極坐標下對y方向- 代換即可。因此有2一階導(dǎo)數(shù)時僅需把對 X方向求導(dǎo)的(C)式右邊各項中用2 2( ) 2Tcos(2)2sin(-)cos( )2s%) cos(-)2sin 2(-) si n2(?)二肘罕 sin cos匚 sin cos2cos222cosd按照與推導(dǎo)b式相似的做法可以得到應(yīng)力函數(shù)對x、y的混合導(dǎo)數(shù)(cossin )cos所以有xy把(c)式和由于2(cossin)sin2sin cosx y2(cos2si

13、n2 )2(cos2sin cosd式相加得出拉普拉斯算子的極坐標表達式°y，所以用應(yīng)力描述的變形相容方程為xoy)2(式可以寫成(_)2(sin2 )e2 sin cos把(c)式和d式代入應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程中就可以得到極坐標下的相容方程。22 2)20f4. 74.74.8把4.6丨市展開為2 33222PPP44P4 242P4. 8由此可以看出，用極坐標解答平面問題時，也和直角坐標一樣，只需選擇某一個應(yīng)力 函數(shù)，求出各應(yīng)力分量，并要求它們能滿足所給彈性體所有的邊界條件即可。44應(yīng)力的坐標變換在4.3節(jié)我們已經(jīng)導(dǎo)出用極坐標描述的直角坐標應(yīng)力、 y和xy，只要完成用直角坐標應(yīng)

14、力表示極坐標下的應(yīng)力，把前面所得到的結(jié)果代入， 不難導(dǎo)出極坐標下應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表達式。這里我們通過坐標變換完成兩種坐標系下的應(yīng)力變換。在數(shù)學(xué)中可以用坐標變換矩陣給出坐標軸旋轉(zhuǎn)后一點的xyimm xl ya即xxconysi nbyxsi ny cos坐標（x , y ）與旋轉(zhuǎn)前的坐標（x, y）之間的關(guān)系:如果直角坐標下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的徑向圖4.6，禾U用2. 10式可以得到斜截面上應(yīng)力在x向和y向的分量（px, py）為CPxxxy1Pyyxym那么斜截面上應(yīng)力在向和t向的分量正是極坐標下的正應(yīng)力和剪應(yīng)力由坐標變換可以得到它們與（Px,Py ）的關(guān)系：lmPxdm l

15、Py把c式代入d式得到：lm xxylemlyxy m如果直角坐標下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標中的切向圖4.7，那么截f面上應(yīng)力在x向和y向的分量（Px，Py）為那么斜截面上應(yīng)力在向和t向的分量正是極坐標下的剪應(yīng)力和正應(yīng)力（Pxxxym內(nèi)yxyl坐標變換可以得到它們與 （px, Py ）的關(guān)系:把f式代入m pxgg式得到:hm x xyyx y把e式和下的應(yīng)力分量。h式分別擴展為矩陣，而后相加就得到直角坐標應(yīng)力分量變換成極坐標式中極坐標下的應(yīng)力矩陣；4.9 im x xy l l yx y m用矩陣符號表示為T1直角坐標下的應(yīng)力矩陣；二維的坐標變換矩陣；-1二維的坐標變換矩陣的逆矩

16、陣。把 4.9 2x cos2 y sin2 xy sin cos2 x sin2 y cos2 xy sin cos4.10(yx ) sin cosxy (cos2sin 2 )通過對 i式作矩陣運算可以求出從極坐標到直角坐標下的應(yīng)力變換矩陣式T1Tj j 式展開那么得到從極坐標到直角坐標下的應(yīng)力變換公式x2 cos2 sin2 sin cosy2 sin2 cos2 sin cos 4.11 xy() sin cos22 (cos sin )式展開得到從直角坐標到極坐標下的應(yīng)力變換公式把從理論上講，把4.3節(jié)導(dǎo)出的用極坐標描述的直角坐標應(yīng)力X , y和xy代入到4.10式中去， 就可以得

17、到極坐標下的應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系。 這需要作一些煩瑣的運算。 為簡單起見，我們給出 4.3節(jié)導(dǎo)出的描述直角坐標應(yīng)力的c式、d式和e式如下：2222 2xsin2sin cos-sin cos222coscos4.3c222 .2 2 .ycos2sin cos-sin cos222sin2 sin4.3dxy2 2r sin cosx y2(cos2sin2 )(cos2sin cossin2 )4.3ecos把4.3c丨式、4.3d丨式與4.11丨式相比擬，很容易得到24.12可以證明：當(dāng)f f p0時,(4.12)能滿足平衡微分方程(4.2)式。在極坐標下略去體積力分量而按應(yīng)力求解平面問

18、題時，可歸結(jié)為根據(jù)4.8丨式求出應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)4.12求出各應(yīng)力分量，再使它們滿足邊界上的應(yīng)力邊界條件，同時要滿足位移單值條件。4.5軸對稱問題的一般解在工程上有一些構(gòu)造是旋轉(zhuǎn)體，而且他們所承受的荷載及約束又是關(guān)于軸截面對稱的，如架空的或埋置較深的地下管道圖4.8、隧道以及機械上緊配合的軸套等。像這類構(gòu)件的幾何形狀、受力及約束關(guān)于通過z軸的平面對稱而且無體積力作用的彈性力學(xué)問題簡稱為軸對稱問題。取形心為極坐標的原點。由于彈性體內(nèi)的各力學(xué)量都是關(guān)于任意通過原點的軸為對稱的，所以同一圓周上的任意兩個單 元體都是對稱的，其應(yīng)力一定也是對稱的。換句話說，軸對稱 問題的應(yīng)力僅僅是極徑的函數(shù)，而與 無

19、關(guān)。由于在一個截面上是反對稱的應(yīng)力，在軸對稱的情況下必不可能y存在，即0。同樣0?？梢?，在軸對圖4.8深埋的壓力管道稱問題中僅僅存在和兩個應(yīng)力分量，而且它們只是的函數(shù),我們首先求軸對稱問題的應(yīng)力分量。由于不考慮體積力，而且應(yīng)力分量中不含，所以在軸對稱的條件下平衡微分方程4.2式中的第二式自然滿足。這樣一來，獨立的平衡微分方程只有一個d0 d其相容方程為4. 13d24.144. 14式可以寫成1_dd)0a將a式積分兩次得到B ln Cb平衡微分方程4. 13式改寫為d0d把它與b式相加，d2 B l nC cd方程c的特解和相應(yīng)的非其次方程的通解分別為BBCIn242d由此得到徑向正應(yīng)力和周

20、向正應(yīng)力分別為B In2旦Ine由于應(yīng)力是有界的，所以必有A2B 0。把e式中的常數(shù)重新命名得到:4.15u-呂)uu1(Euuu0由f第-式積分得1r川、A川u(1)(1-f ( ) f1( ) - f( )df1( )0i此后，我們再求軸對稱問題的位移分量。有關(guān)的。把4. 15式由于并不知道坐標原點的約束情況，一般情況下位移是與極角代入物理方程4.4求出各應(yīng)變分量，而后再用幾何方程4.3將應(yīng)變分量用位移表示,那么有1A-(1 (1)C1a)-(1) (1)Cf)C f( )g把g式代入f式中的第二式，經(jīng)整理有uf ()把此式積分求得hu f( )df1()把9式h式代入f式中的第三式，得到

21、對于兩個獨立的變量要保持i式恒成立，必須有仏)f1()f ( ) f( )dD由此得出d£( ) zf.)Dddf() 一f()dDdkjI求解方程(j),j式為線性微分方程，可用別離變量法求解dfd ) df1( ) D其通解為mf1( ) F DI丨式對求導(dǎo)，得出2d f()f( ) 0n解之得f ( ) I cos K sin p把p式代入I式，運算后可求得f( )d D df)D I sinK cos qd把p式代入g式得u丄EA(1) (1 )C IcosK sin把m式和q式代入h式得uFI sinK cos由此我們得出極坐標下軸對稱問題的位移解：u1(1) (1 )C

22、I cosK sinE4. 16uFI sinK cos式屮A、C、F、I、K都是任意常數(shù)，其中F、I、K和2. 3節(jié)中的、uo、vo 一樣，代表剛體位移(由位移邊界確定)。如果是平面應(yīng)變問題,那么僅需把式4. 16做E換成2換成的代換即可求得其位移分量。14.6受壓圓環(huán)或圓筒的解深埋地下的受壓管道可以簡化為軸對稱的力學(xué)模型，截 取單位厚度的薄片就可以視為平面應(yīng)變問題。為了簡單起見我們首先分析平面應(yīng)力問題， 而后可以通過彈性系數(shù)的代換得到 平面應(yīng)變的解。單位厚度的厚壁圓筒內(nèi)半徑 a,外半徑b，承受均布的內(nèi)壓力qa ,外壓力qb圖4.9。該問題簡化為軸對稱問題，a的內(nèi)邊界應(yīng)力邊界條件為圖4.9承

23、受內(nèi)壓和外壓的圓環(huán)a()aqa()a 0b的外邊界應(yīng)力邊界條件為qb b 0根據(jù)4.5節(jié)，軸對稱的應(yīng)力分量為AT C4. 17顯然,b 0自然能夠滿足。利用邊界條件a式和b式,求解關(guān)于A2aAb7A和C的方程組qaqbc得到C2 .2a qa b qb22b a2 2a b (qb qa)22 ，b a把A和C的值代入4.17式，即得拉梅Lame'解:4. 18寫12 q a打1 abTVaa21壬2 qb1王1 b2a22qb11 b24.5節(jié)給出了軸對稱問題的位移分量為1A4. 16u (1 )A C (1)u F I sin K cos假設(shè)適當(dāng)給定約束條件，不僅彈性體無剛性位移，

24、對稱面上亦無沿周向的位移，那么(u ) 0 , (u )12(1洽 d)ce根據(jù)4.18式的結(jié)果討論幾種特例。1.只受內(nèi)壓q-0, qb0這是壓力容器最常見的受力方式，其應(yīng)力為(b)2 1bq-(b)2 14. 19a(b)2 1t q-(b)2 1a沿軸向 受壓應(yīng)力作用，沿環(huán)向受拉應(yīng)力作用，分布狀態(tài)見圖4.10。最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力均在內(nèi)壁。max () a(b/a)212 qa ,(b/a)2 1qa。2.只受外壓qa0，qb0這是深埋管道的受力方式，其應(yīng)力為L1 (b)1 (a)2qba4. 20均為壓應(yīng)力，分布狀態(tài)見圖4.11。徑向最大壓應(yīng)力在外壁，而環(huán)向最大壓應(yīng)力在內(nèi)壁。2-qb

25、,當(dāng)b遠達于a時，內(nèi)壁21I 2 ,Hb1 P abiP b()a 0, () b -qb3.無限域開圓孔在內(nèi)壓用下當(dāng)b時qb 0.2 11、b(22)2limba,1qaqb1、b2(2以)abb2(-12占)2lim -ba2 ,11 qaqab(-2)ab4.204x©圖4. 12圓孔的應(yīng)力集中2倍，這就是應(yīng)力集中現(xiàn)象。 工程實際中驗證圣維南原理：由圖4.12可以看出，在 a處，應(yīng)力很小，可以不計，即在內(nèi)壓 qa作用下，在b 處圓孔的影響可略而不計。4.針孔問題應(yīng)力集中在含有針孔的大板受均勻分布的外壓時，在內(nèi)徑a 0時/、2c()aqb2qb1 (b)2可見，孔徑雖然很小，但孔

26、邊應(yīng)力卻提高了近常在孔邊發(fā)生開裂，就是這個原因。4.7壓力隧洞無限大彈性體內(nèi)的內(nèi)壓圓筒像埋置較深的地下輸送液體或氣體的管道、 帶有內(nèi)襯的地下巷道或隧道等構(gòu)造物， 在研 究內(nèi)層管道本身的應(yīng)力與變形的同時， 常常需要考慮外層材料的受力與變形。 對這類問題的 分析需要利用兩個彈性體在接觸面上的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，所以它也是一種接觸問題。按接觸條件可以把接觸問題分為兩大類：一類是完全接觸，即兩彈性體的接觸面保持嚴密接觸，不發(fā)生相對滑動。a在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等；b在接觸面上的位移條件是徑向位 移u相等，環(huán)向位移u也相等。另一類是非完全接觸，即兩彈性體的接觸面是光滑的，但接觸面依然保持

27、嚴密接觸。a 在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力等于零；b在接觸面上的位移條件是徑向位移u相等，而環(huán)向位移u不相等相對滑動一般來說壓力隧洞屬于完全接觸。設(shè)圓管埋置的深度遠大于其直徑，可以視為圓筒是埋在無限大彈性體中，管內(nèi)部受均勻分布的壓力q圖4. 13。管道材料的彈性常數(shù) E、 口,彈性體材料的彈性常數(shù) E、 口，求管道和外層彈性體的各應(yīng)力分量。顯然這是一個軸對稱問題，它們的應(yīng)力分布也是軸對稱的，所以4.5節(jié)和4.6節(jié)的結(jié)果4. 15式和4. 16式仍然適用。分別給出圓筒、無限大彈性體的應(yīng)力與位移表達式, 常數(shù)及積分常數(shù)。圓筒的各應(yīng)力分量為：但須注意它們具有不同的材料彈性4. 17圖4.

28、 13壓力隧洞無限大彈性體的各應(yīng)力分量為4.21在兩組方程中有四個待定常數(shù)。根據(jù)圣維南原理，當(dāng)時無窮遠處應(yīng)力近乎為零,所以在4.2 1丨式中有:a由此得出C0。要確定另三個待定常數(shù)還需要三個條件。利用圓筒內(nèi)外表的邊界條件有A()b 2 C q ba無限大彈性體和圓筒的接觸面上，它們的面力是作用力與反作用力的關(guān)系，所以徑向面力相()b () b，把C 0代入即有cAb2要確定A還要利用兩個局部的變形連續(xù)條件。由于這里取出的單位厚度的薄片屬于平面應(yīng)變問題，所以求圓筒的位移需要對:4.16式進展E換成 E 2、換成的代1 1換，變?yōu)?u(1 2)C -I cosK sinE4.22uFI sinKc

29、os無窮遠處的彈性體內(nèi)各點位移為零， 而且兩彈性體是完全接觸，所以約束可看作是軸對 稱的，故有u 0，也就是說F I K 0，僅有u存在。平面應(yīng)變狀態(tài)下圓筒外邊界 的徑向位移為：(u ) p b 1(12 )Cb ? dEb同理，含圓孔的無限大體的位移為1au(12 )C I cos K sinE 4. 23u F I sin K cos同樣，無限大體的位移中u 0，即所以有F I K 0。注意到C 0，平面應(yīng)變狀態(tài)下無限大體內(nèi)的徑向位移為1uE(1)e在無限大體內(nèi)圓孔邊界b的徑向位移為1A(u ) p bgEb由于兩物體接觸面的徑向位移相等，(u ) b (u ) b，即1A1AE (12

30、)Cb bEbh由第h式整理：E (1)2(1 2)Cb A A0iE(1)令nE(1)式改寫成E(1)n(1 2)Cb2A A 0jb式、c式和h式聯(lián)立Aa2Ab2n(1Ab2求解關(guān)于A、C、A的三元一次方程組k式求得b21n(1 2 )qb21 n(1 2 )p (1 n)a1 n2 )與(1 n)a2n(1- )b2q1n(1q1 n(1把A、為：A'、C、C'b22 )p (1 n)a回代到應(yīng)力分量表達式4.15和4 21丨式中，得到各應(yīng)力分量b22 )-r (1 n)1n(1q b21n(1 2 )-y (1 n)ab21n(12)務(wù)(1n)q1n(12)=(1n)a

31、b22n(1)-7qb1n(1 2 )-7(1 n)a4. 24當(dāng)n 1時,應(yīng)力分布大致如圖4. 14。)Cb2 A A 04.8薄板中圓孔的應(yīng)力集中工程實踐告訴我們，如果受拉伸的板中有一個圓孔的話，一般來說破壞總是首先從圓孔處開場。下面我們要研究均勻拉伸應(yīng)力場中圓孔附近的應(yīng)力分布狀態(tài)。假設(shè)一個受水平方向均勻拉伸的無限大板中間有一個半徑為r的圓孔圖4.15。板厚為一個單位，分布力集度為 q，不計體力分量，求板內(nèi)各應(yīng)力分量。對于薄板受均勻拉伸的問題已經(jīng)在用直角坐標求解平面問題中作過介紹，但是其中圓孔用直角坐標描述很不方便。 為了便于求解，我們必須把無限大板的均勻應(yīng)力場用極坐標描述,為此，我們作一

32、個半徑為b且與圓孔同心的大圓作為假想的新邊界b>>門。這就將薄板直邊界轉(zhuǎn)換為圓邊界圖 4.16，從而可以采用極坐標研 究。在半徑為b的圓周上各點受力狀態(tài)都是均勻拉伸狀態(tài)，即x q , yTy0，由坐標變換式4.10式求得邊界上極坐標下的應(yīng)力分量，以此作為無限遠處匸X丿qyl圖4. 15圓孔的應(yīng)力集中b的應(yīng)力邊界條件。()bqq cos 222()bqqcos222()b9sin22圓孔r的邊界條件為：aixf 一奴三;yl圖4. 16新建的邊界()r 0, () r 0根據(jù)無限遠處應(yīng)力邊界條件可以看出:和的分布是關(guān)于X軸和y軸對稱的，是周期為 的函數(shù)，而 xy是關(guān)于X軸和y軸反對稱

33、，也是周期為的函數(shù)。為此,設(shè)板內(nèi)各點的三個應(yīng)力分量函數(shù)形式具有與遠處應(yīng)力相類似的形式，分別為:F(G(h()f( )cos2)g( )cos2)sin 2c把c式分別代入平衡微分方程4.2式和相容方程4.7式可得dFd罟各F（乎g 2h)cos22gG)2h)si n2G)要使d式中關(guān)于自變量 第一組方程角（fd的函數(shù)sin2g)v(f或 cos2g)42 (f g)cos2(d)的多項式恒為零，得到兩組方程:先(F G)d亞F Gdr(F(e)比照4.5節(jié)中方程4. 12式的解法，同樣利用應(yīng)力的有界性，由方程組e解得fG()第二組方程df廠dh2h 02g2h 0gd2 (f ) r(f g

34、) dr(f4g)2(f g) 0g式中的第三式是關(guān)于(fg)的歐拉方程，它的特征根2，22所以它的解為g式中的第一式減去第二式，-Jd-(f h) f g 0把h式代入其中后可以得到D2C(h)式和(j)式相減得到9 2C2g式中的第二式(h)(i)(j)k代入方程dh2( gh) 4h乎4h 3 2C E 2E方程dh d l4h3 2C2E方程的一個特解為2e的通解是h 12C2把h代入j式和k式中，得到fD1G22 E4g2C1eG42由于應(yīng)力是有界的，所以C 0。由此得出應(yīng)力的函數(shù)表達式(-D2（丄1E2 G4) sin1e g2G4)cos4) cos 2m利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)

35、,b的外邊界的應(yīng)力邊界條件a為()bB1E cos2qcos22221qq()bBE cos 2cos2222()b1Esi n2qsin222n由此確定出常數(shù)q。利用r的內(nèi)邊界上的應(yīng)力邊界條件0,(0,那么有Ar(pq2q2(豊4)s in 2rG4)cos20p由此得出2q,D2r2q,G予4q。含圓孔的無限大板單向均勻拉伸下的解為4r22“22(12(13r)cos2(4.25)(12r23r44)sin 2在 r的孔邊，環(huán)向應(yīng)力q(1 2cos2 )圓周上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-1：表4-1圓周上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)030o45o60o90oq0q2q3q在-的徑線上環(huán)向應(yīng)力q(

36、13r42的徑線上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-2:表4-2徑線上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)r2r3r4r5r3q1.22q1.07q1.04q1.02q圖4.17給出了三條徑線上環(huán)向應(yīng)力的分布情況。研究圓孔邊的應(yīng)力分布可以看出，孔邊附近的局部區(qū)域應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力增大的現(xiàn)象，我們稱之為應(yīng)力集中?？走叺淖畲髴?yīng)力與無孔時應(yīng)力的比值稱為應(yīng)力集中系數(shù)。在r的圓周上，時，有最大值2()maxI r 3q(4.26)當(dāng)(45)r時,孔邊的最大應(yīng)力比無孔時提高了2倍。圓孔的應(yīng)力集中系數(shù)K 3。q，在y軸上應(yīng)力已接近于均勻分布。說明5r時圓孔的影響已經(jīng)很小，這再次驗證了圣維南原理的正確性。沿著 0°的x軸方向

37、環(huán)向應(yīng)力為2qr(芝1)q。r處，q ；在 13r處，0圖圖4. 17孔邊的應(yīng)力分布4.17。在r<3r的區(qū)間內(nèi)，壓應(yīng)力的合力為r)od1.924qr換言之，當(dāng)圓孔處于壓應(yīng)力q作用下時，在孔邊也會產(chǎn)生最大值為q的拉應(yīng)力。對于抗拉性能較差的材料來說特別應(yīng)該注意。所得到的單向均勻拉伸應(yīng)力場中圓孔的解可以很容易用于求解雙向均勻拉伸圓孔圖4.18的應(yīng)力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到y(tǒng)向拉伸的解。如果y2向分布力的集度為 q2圖4.18b，X向分布力的集度為 5圖4.18c，那么用疊加法可求(q)(q2)(q1)(q2)q(qj(q2)a圖4. 18兩向均勻拉伸情況下應(yīng)力場的疊加

38、即使在任意平面應(yīng)力狀態(tài)下，只要應(yīng)力變化梯度不大而且圓孔直徑又足夠小?？梢韵惹蟪鲈搮^(qū)域內(nèi)的主應(yīng)力1、 2或3。令q 1，q22或q23，再利用q式計算圓孔的應(yīng)力集中。 嚴格地說這樣做是有誤差的，但其結(jié)果仍可以給出有實用價值的初步估算。4.9平面楔頂部受力.半無限平面受法向力4.9.1.平面楔頂部受力有一單位厚度的平面楔，楔體的中心角為2 ，下端當(dāng)作無限延伸。在楔頂部單位厚度 上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用圖4.19，不計體積力，計算楔形體中的應(yīng)力。我們采用主應(yīng)力坐標系求解該問題較為簡單。為此，我們首先建立主用力坐標系并導(dǎo)出拉梅一麥克斯韋爾方程。所謂主應(yīng)力坐標系是指由兩個主力的跡線所構(gòu)成的坐標系

39、。彈性體內(nèi)的主應(yīng)力1、 2正交，主應(yīng)力1的跡線為3，主應(yīng)力 2的跡線為S2。規(guī)定由1轉(zhuǎn)到2逆時針向為正，而且增加時應(yīng)力矢量逆時針向轉(zhuǎn)時為 S正向圖4.20。在主應(yīng)力坐標系下，每 個以兩組平行的坐標面截得的微單元體上僅有正應(yīng)力1和2作用，而沒有剪應(yīng)力作用。令12，12(a)圖4.19a平面楔受集中力圖4. 20主應(yīng)力坐標系根據(jù)斜方向上的應(yīng)力公式可以得到x、 y方向的應(yīng)力分別為1X(cos2)21y 2(cos2)(4.27)Xysin 2xy 2把4.27）式代入平衡微分方程2.2丨式的第一式，注意到平衡微分方程為和 都是X、y的函數(shù)。那么主應(yīng)力坐標系下的cos 22 sin2sin 22cos

40、20xxx yyb為了簡單起見，現(xiàn)在就主應(yīng)力跡線 s1恰好與x方向一致，而且主應(yīng)力跡線s2也恰好與y方向一致的特殊情況導(dǎo)出主應(yīng)力跡線坐標下的平衡微分方程。由于我們并不確知單元體上兩個主應(yīng)力的大小，這里把和x方向一致的主應(yīng)力作為1，和y方向一致的主應(yīng)力作為2并不影響對問題的討論。顯然,0 時 cos2 1，sin 20，dqdx，ds2dy，所以b式可以寫成cSiS2把a式代入c式， 正是主應(yīng)力 2跡線曲率，用曲率半徑表示為ds2ds2以有d做與此一樣的推導(dǎo),可以把平衡微分方程2.2丨的第二式也寫成用主應(yīng)力及其跡線的Si曲率表示的形式，由此得出主應(yīng)力坐標下的平衡微分方程一一拉梅一麥克斯韋爾方程。

41、4.28S2楔頂部受集中荷載F的邊界條件為顯然,的直線都是主應(yīng)力 1跡線。由于本問題屬于對稱問題，所以0的對稱面上沒有剪應(yīng)力作用,0直線也是一條主應(yīng)力1跡線。顯然三條主應(yīng)力跡線交于一點。根據(jù)主應(yīng)力跡線的性質(zhì)可以推斷：三條主應(yīng)力1跡線的交點就是這種主應(yīng)力跡線的一個交匯點，也就是說1的主應(yīng)跡線是會聚于 0的射線族。另一組主應(yīng)力2跡線與該射線族中各條主應(yīng)力跡線正交，故必為一組以0為圓心的同心圓弧?？梢娭鲬?yīng)力跡線坐標系的1坐標線正是極坐標的極徑線，而2坐標線正是 環(huán)線，即3，S2d 。這時曲率半徑有1，2 ，而且1，2 。方程4.28作如上代換，主應(yīng)力跡線坐標系一一極坐標系下的平衡微分方程變?yōu)?0(e) 0由(e)式中的第二式積分得到f()根據(jù)邊界條件()0 ,所以f( ) 0(f)把(f)式代入e式的第一式，得出解此方程得到(g)(h)K()把式和(g)式代入應(yīng)力表示的相容方程4.7式2()3 0由h式得1K ( ) K( )0為自變量，所以有K ( ) K( )0解之得到K ( ) Icos J sin代入g式，有1 (I cos J sin ) i式中I、J是待定