概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)各章節(jié)

1、第五章 大數(shù)定理和中心極限定理1一 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解：設(shè)第i只壽命為Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 從而3三 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時，對每個加數(shù)取整（取為最接近它的整數(shù)），設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在（0.5，0.5）上服從均勻分布， （1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？ （2）幾個數(shù)相加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90

2、 解： （1）設(shè)取整誤差為Xi（，1500），它們都在（0.5, 0.5）上服從均勻分布。 于是： 8某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8，醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1）若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？解：設(shè)X為100人中治愈的人數(shù)，則XB (n, p)其中n=100（1） （2）p=0.7由中心極限定理知 7七 一復(fù)雜的系統(tǒng)，由100個互相獨(dú)立起作用的部件所組成。在整

3、個運(yùn)行期間每個部件損壞的概率為0.10。為了整個系統(tǒng)起作用至少必需有85個部件工作。求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個互相獨(dú)立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件工作的概率）為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。解：（1）設(shè)每個部件為Xi (i=1,2,100)設(shè)X是100個相互獨(dú)立，服從（01）分布的隨機(jī)變量Xi之和X=X1+ X2+ X100由題設(shè)知n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi ) =p (1p)=0.90.1=0.09nE (X

4、i ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9=由中心極限定理知查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表=(1.67)=0.9525解：（2）設(shè)每個部件為Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由問題知求n=?而=1由中心極限定理知=查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解得n24.35取n=25，即n至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為0.95.八 隨機(jī)地取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個實(shí)驗(yàn)室里測量某種化合物的PH值，各人測量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為5，方差為0.3，以分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均：（1）求P 4.9（2）解：由中心極限定理知N (0,1)N (0,1)（1） （2）由Xi , Yj的相互獨(dú)立性知獨(dú)立。從而U，V獨(dú)立。于是UVN (0, 2)而 =20.87491=0.7498九 某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學(xué)期望（未知），方差2=400 為了估計(jì)，隨機(jī)地取幾只這種器件，在時刻t=0投入測試（設(shè)測試是相互獨(dú)立的）