模擬退火算法的旅行商問題

1、人工智能原理實驗報告模擬退火算法解決TSP問題目 錄1 旅行商問題和模擬退火算法11.1 旅行商問題1 旅行商問題的描述11.2 模擬退火算法1 基本思想12 TSP模擬退火算法的實現(xiàn)22.1 TSP算法實現(xiàn)2 TSP算法描述2 TSP算法流程32.2 TSP的C實現(xiàn)42.2.1 加載數(shù)據(jù)文件4 計算總距離的函數(shù)5 交換城市的函數(shù)5 執(zhí)行模擬退火的函數(shù)52.3實驗結果62.4小結63源代碼61 旅行商問題和模擬退火算法1.1 旅行商問題 旅行商問題的描述旅行商問題（Traveling Salesman Problem，簡稱TSP）又名貨郎擔問題，是威廉·哈密爾頓爵士和英國數(shù)學家克克曼

2、(T.P.Kirkman)于19世紀初提出的一個數(shù)學問題，也是著名的組合優(yōu)化問題。問題是這樣描述的：一名商人要到若干城市去推銷商品，已知城市個數(shù)和各城市間的路程（或旅費），要求找到一條從城市1出發(fā)，經(jīng)過所有城市且每個城市只能訪問一次，最后回到城市1的路線，使總的路程（或旅費）最小。TSP剛提出時，不少人認為這個問題很簡單。后來人們才逐步意識到這個問題只是表述簡單，易于為人們所理解，而其計算復雜性卻是問題的輸入規(guī)模的指數(shù)函數(shù)，屬于相當難解的問題。這個問題數(shù)學描述為：假設有n個城市，并分別編號，給定一個完全無向圖G=（V，E），V=1，2，n，n>1。其每一邊(i,j)E有一非負整數(shù)耗費 C

3、i,j(即上的權記為Ci,j，i，jV)。并設 G的一條巡回路線是經(jīng)過V中的每個頂點恰好一次的回路。一條巡回路線的耗費是這條路線上所有邊的權值之和。TSP問題就是要找出G的最小耗費回路。1.2 模擬退火算法 模擬退火算法由KirkPatrick于1982提出7，他將退火思想引入到組合優(yōu)化領域,提出一種求解大規(guī)模組合優(yōu)化問題的方法，對于NP-完全組合優(yōu)化問題尤其有效。模擬退火算法來源于固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其緩慢降溫(即退火)，使之達到能量最低點。反之，如果急速降溫(即淬火)則不能達到最低點。加溫時，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o序狀，內(nèi)能增大，而緩慢降溫時粒子漸趨有序，在每個溫度上都

4、達到平衡態(tài)，最后在常溫時達到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。根據(jù)Metropolis準則，粒子在溫度T時趨于平衡的概率為exp(-E/(kT)，其中E為溫度T時的內(nèi)能，E為其改變量，k為Boltzmann常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)化問題，將內(nèi)能E模擬為目標函數(shù)值f，溫度T演化成控制參數(shù)t，即得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數(shù)初值t開始，對當前解重復產(chǎn)生“新解計算目標函數(shù)差接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時的當前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數(shù)的初值t及其衰減因

5、子a、每個t值時的迭代次數(shù)L和停止條件C。 基本思想 模擬退火算法可以分解為解空間、目標函數(shù)和初始解3部分。其基本思想是：(1)初始化：初始溫度T(充分大)，初始解狀態(tài)s(是算法迭代的起點)，每個T值的迭代次數(shù)L；(2)對k=1，L做第(3)至第6步；(3)產(chǎn)生新解s；(4)計算增量cost=cost(s)-cost(s)，其中cost(s)為評價函數(shù)；(5)若t0則接受s作為新的當前解，否則以概率exp(-t/T)接受s作為新的當前解；(6)如果滿足終止條件則輸出當前解作為最優(yōu)解，結束程序。終止條件通常取為連續(xù)若干個新解都沒有被接受時終止算法；(7)T逐漸減少，且T趨于0，然后轉第2步運算。

6、 具體如下（1）新解的產(chǎn)生和接受模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下4個步驟：由一個函數(shù)從當前解產(chǎn)生一個位于解空間的新解。為便于后續(xù)的計算和接受，減少算法耗時，常選擇由當前新解經(jīng)過簡單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對構成新解的全部或部分元素進行置換、互換等。產(chǎn)生新解的變換方法決定了當前新解的鄰域結構，因而對冷卻進度表的選取有一定的影響。計算與新解所對應的目標函數(shù)差。因為目標函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標函數(shù)差的計算最好按增量計算。事實表明，對大多數(shù)應用而言，這是計算目標函數(shù)差的最快方法。判斷新解是否被接受。判斷的依據(jù)是一個接受準則，最常用的接受準則是Metropo1is準則：若t0則接受S作

7、為新的當前解S，否則以概率exp(-t/T)接受S作為新的當前解S。當新解被確定接受時，用新解代替當前解。這只需將當前解中對應于產(chǎn)生新解時的變換部分予以實現(xiàn)，同時修正目標函數(shù)值即可。此時，當前解實現(xiàn)了一次迭代，可在此基礎上開始下一輪試驗。而當新解被判定為舍棄時，則在原當前解的基礎上繼續(xù)下一輪試驗。模擬退火算法與初始值無關，算法求得的解與初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點)無關；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。（2）參數(shù)控制問題模擬退火算法的應用很廣泛，可以求解NP完全問題，但其參數(shù)難以控制，其主要問題有以下3點7：溫度

8、T的初始值設置。溫度T的初始值設置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一。初始溫度高，則搜索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費大量的計算時間；反之，則可節(jié)約計算時間，但全局搜索性能可能受到影響。實際應用過程中，初始溫度一般需要依據(jù)實驗結果進行若干次調(diào)整。溫度衰減函數(shù)的選取。衰減函數(shù)用于控制溫度的退火速度，一個常用的函數(shù)為： 式中是一個非常接近于1的常數(shù)，t為降溫的次數(shù)。馬爾可夫鏈長度L的選取。通常的原則是：在衰減參數(shù)T的衰減函數(shù)已選定的前提下，L的選取應遵循在控制參數(shù)的每一取值上都能恢復準平衡的原則。2 TSP模擬退火算法的實現(xiàn) TSP是典型的組合優(yōu)化問題，模擬退火算法是一種隨機性解決

9、組合優(yōu)化方法。將TSP與模擬退火算法相結合，以實現(xiàn)對其求解。2.1 TSP算法實現(xiàn) TSP算法描述 （1）TSP問題的解空間和初始解 TSP的解空間S是遍訪每個城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。TSP問題的解空間S可表示為1,2,n的所有排列的集合，即S = (c1,c2,cn) | (c1,c2,cn)為1,2,n的排列），其中每一個排列Si表示遍訪n個城市的一個路徑，ci= j表示在第i次訪問城市j。模擬退火算法的最優(yōu)解與初始狀態(tài)無關，故初始解為隨機函數(shù)生成一個1,2,n的隨機排列作為S0。（2）目標函數(shù) TSP問題的目標函數(shù)即為訪問所有城市的路徑總長度，也可稱為代價函數(shù)： 現(xiàn)

10、在TSP問題的求解就是通過模擬退火算法求出目標函數(shù)C(c1,c2,cn)的最小值，相應地，s*= (c*1,c*2,c*n)即為TSP問題的最優(yōu)解。 （3）新解產(chǎn)生新解的產(chǎn)生對問題的求解非常重要。新解可通過分別或者交替用以下2種方法產(chǎn)生：二變換法：任選序號u,v(設uvn)，交換u和v之間的訪問順序，若交換前的解為si= (c1,c2,cu,cv,cn),交換后的路徑為新路徑，即：si= (c1,cu-1,cv,cv-1,cu+1,cu,cv+1,cn)三變換法：任選序號u,v和(uv)，將u和v之間的路徑插到之后訪問，若交換前的解為si= (c1,c2,cu,cv,c,cn)，交換后的路徑為

11、的新路徑為：si= (c1,cu-1,cv+1,c,cu,cv,c+1,cn)（4）目標函數(shù)差計算變換前的解和變換后目標函數(shù)的差值：c= c(si)- c(si)（5）Metropolis接受準則根據(jù)目標函數(shù)的差值和概率exp(-C/T)接受si作為新的當前解si，接受準則： 2.1.2 TSP算法流程 根據(jù)以上對TSP的算法描述，可以寫出用模擬退火算法解TSP問題的流程圖2-1所示：圖 2-1 TSP的模擬退火流程2.2 TSP的C實現(xiàn)2.2.1 加載數(shù)據(jù)文件下面是加載數(shù)據(jù)文件的一個例子：中國31省會城市數(shù)據(jù)： 1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;

12、3488 1535;3326 1556; 3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756; 2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370; 3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376 3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975;當調(diào)用數(shù)據(jù)文件函數(shù)時，包含城市坐標信息的矩陣載入到數(shù)組中。

13、計算總距離的函數(shù)這是一個城市間計算距離的函數(shù)，根據(jù)給定路徑計算該路徑對應總路程。inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) return sqrt(double(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double totaldist(path p) int i; double cost = 0; for (i=1; i<N; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.City1p.CityN; return cost; TSP問題的成本函數(shù)是城市之間的

14、距離。調(diào)用此函數(shù)將計算n個城市之間的距離。2.2.3 交換城市的函數(shù) 這是一個用于城市交換的函數(shù)，它從某路徑的鄰域中隨機的選擇一個新的路徑。 path getnext(path p) int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N + 1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); ret.Length = totaldist(ret);return ret;2.2.4 執(zhí)行模擬退火的函數(shù) void sa() / 退ª?火e和¨ª降

15、66;Ì溫?過y程¨¬ double T; path newpath, curpath; int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; curpath = F_Path; while(true) for (i=1; i<=IN_K; i+) newpath = getnext(curpath); delta = newpath.Length - curpath.Length; if (delta < 0.0) curpath = newpath; A_t = 0; else double rnd = rand()%10

16、000 /10000.0; double p = exp(-delta/T); if (p > rnd) curpath = newpath; if (curpath.Length<F_Path.Length) F_Path = curpath; if (T < FINAL_T) break; T = T * RATE; 輸入?yún)?shù)：INIT_K則是開始模擬退火過程的起始溫度。 RATE是模擬退火過程的冷卻速率，冷卻速率應該始終低于1。 FINAL_T是模擬退火的停止條件。2.3實驗結果2.4小結模擬退火算法是依據(jù)Metropolis準則接受新解，該準則除了接受優(yōu)化解外，還在一

17、定的限定范圍內(nèi)接受劣解，此舉避免陷入局部極小值、提高解空間的搜索能力和擴大搜索范圍方面具有明顯的優(yōu)越性；其次，初始溫度T，內(nèi)循環(huán)次數(shù)K，以及溫度衰減率t的選取對結果影響很大，適當?shù)倪x取很重要。3源代碼#include "stdafx.h"#include <iostream> #include <cmath>#include <time.h> using namespace std; const int MAXN = 200; /最大城市數(shù)const double INIT_T =100000; /初始溫度¨const doub

18、le RATE = 0.05; /溫度下降率 const double FINAL_T = 1E-10; /終止溫度const int IN_K = 10000; /內(nèi)層循環(huán)數(shù)struct path /定義路徑結構類型 int CityMAXN; /依次遍歷的城市的序號 double Length; /所有城市的總長度; int N; /城市數(shù)量double DMAXNMAXN; /任意兩個城市之間的距離path F_Path; /最優(yōu)的遍歷路徑inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) /計算兩點之間的距離 return sqrt(d

19、ouble(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double totaldist(path p) /計算遍歷路徑總長度 int i; double cost = 0; for (i=1; i<N; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.City1p.CityN; return cost;void init() /讀數(shù)據(jù)，并初始化 int CMAXN2; /城市的坐標 int i, j; freopen("城市坐標.txt", "r", stdin); scanf(

20、"%d", &N); for (i=1; i<=N; i+) scanf("%d%d", &Ci0, &Ci1); for (i=1; i<N; i+) /計算任意兩個城市之間的路徑長度 for (j=i+1; j<=N; j+) Dij = Dji = dist(Ci0, Ci1, Cj0, Cj1); for (i=1; i<=N; i+) /最優(yōu)解的初始狀態(tài) F_Path.Cityi = i; F_Path.Length = totaldist(F_Path); srand(unsigned)time

21、(NULL);path getnext(path p) /新解產(chǎn)生函數(shù) int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N + 1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); /交換兩城市之間位置順序 ret.Length = totaldist(ret);return ret; void sa() / 退火和降溫過程 double T; /溫度 path newpath, curpath; /當前路徑和新路徑 int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; /賦值初始溫度 curpath = F_Path; while(true) for (i=1; i<=IN_K; i+) newpath = getnext(curpath); /獲取新路徑 delta = newpath.Length - curpath.Length; if (delta < 0.0) curpath = newpath; A_t = 0; else double rnd = rand()%10000 /10000.0; double p = exp(-delta/T); if (p &