楊輝三角與二項(xiàng)式定理導(dǎo)學(xué)案

1、§1.3.2 “楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 主講：泉州中遠(yuǎn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)組 朱坤城 【三維目標(biāo)】1. 使學(xué)生建立“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)之間的直覺(jué)，并探索其中的規(guī)律；2能運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；3. 理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。4. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)中的美，弘揚(yáng)民族文化?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：楊輝三角的基本性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)。【教學(xué)過(guò)程】【問(wèn)題探究1】。楊輝三角的來(lái)歷及規(guī)律早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書中說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和；指出這個(gè)方法出于釋鎖算書，且我國(guó)

2、北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它.這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)；在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角.這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右.認(rèn)識(shí)楊輝三角：11   11   2   11   3   3   11   4   6   4   11   5   10 

3、; 10  5   11   6   15  20  15  6   1你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角數(shù)陣的幾個(gè)規(guī)律： 從以上的數(shù)陣，想想我們學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)和它有聯(lián)系？【問(wèn)題探究2】二項(xiàng)式定理與楊輝三角的聯(lián)系。問(wèn)題1：二項(xiàng)式展開(kāi)式是： 試把( a+b) n （n=0，1，2，3，4，5，6）展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)填入課本P32的表格。問(wèn)題2：為了方便，我們將上表改寫成如下形式.(a+b)0 1(a+b)1 1   1(a+b)21   2

4、60;  1(a+b)31   3   3   1(a+b)41   4   6   4   1(a+b)51   5   10  10  5   1(a+b)61   6   15  20  15  6   1   【問(wèn)題探究3】、從函數(shù)角度分析二項(xiàng)式系數(shù)：

5、問(wèn)題1：( a+b) n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)為 ，從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，令f(r)= ，定義域?yàn)?問(wèn)題2：當(dāng)n=6時(shí)，作出函數(shù)f（r）的圖象如下，其圖象是七個(gè)孤立的點(diǎn)。你能作當(dāng)n=7時(shí)函數(shù)f（r）的圖象嗎？ 問(wèn)題3：當(dāng)n=7時(shí)，函數(shù)f（r）的圖象是對(duì)稱的嗎？對(duì)稱軸在哪兒？【問(wèn)題探究4】通過(guò)圖象歸納二項(xiàng)式系數(shù)的重要性質(zhì)問(wèn)題1：（對(duì)稱性）與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等嗎？由公式怎么表示？知識(shí)對(duì)接考查1：1，在展開(kāi)式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等的是：（ ） A.第2項(xiàng) B第3項(xiàng)C第4項(xiàng)D第5項(xiàng)2，若的展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n=

6、問(wèn)題2： （增減性與最大值） (1)由函數(shù)f（r）的圖象知，二項(xiàng)式系數(shù)的前半部分是逐漸 （增大，減?。┑模蓪?duì)稱性知它的后半部分是逐漸 的。如何證明？ (2)二項(xiàng)式系數(shù)在中間處取得最大值，那么當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間最大的一項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是 ，是二項(xiàng)式展開(kāi)式的第幾項(xiàng)？當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間最大的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是 和 ，是二項(xiàng)式展開(kāi)式的第幾項(xiàng)？知識(shí)對(duì)接考查2：1.在(1+x)10的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為 ； 在(1-x)11的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大為 2.指出（a+2b）15的展開(kāi)式中哪些項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大？ 問(wèn)題3：各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和( 1+x) n =+x+x2+xr+xn, 那么 += 例1試證：在（a+b）n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和。知識(shí)對(duì)接考查3： 變式提升： 已知 求 (1) (2) (3) 【課堂小結(jié)】1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì): 2.數(shù)學(xué)思想：    3.數(shù)學(xué)方法 ：【課后檢測(cè)】1、已知=a，=b，那么=_；2、（a+b）n的各二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是_；3、+=_；4、_；5、證明：+ =2n-1 (n是偶數(shù)) ；課后探究題：中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子