楊輝三角與二項式定理導學案

1、§1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 主講：泉州中遠學校高二數(shù)學組 朱坤城 【三維目標】1. 使學生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)之間的直覺，并探索其中的規(guī)律；2能運用函數(shù)觀點分析處理二項式系數(shù)的性質(zhì)；3. 理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應用。4. 引導學生發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學中的美，弘揚民族文化。【教學重難點】教學重點：二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應用；教學難點：楊輝三角的基本性質(zhì)的探索和發(fā)現(xiàn)?！窘虒W過程】【問題探究1】。楊輝三角的來歷及規(guī)律早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書中說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和；指出這個方法出于釋鎖算書，且我國

2、北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它.這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀；在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右.認識楊輝三角：11   11   2   11   3   3   11   4   6   4   11   5   10 

3、; 10  5   11   6   15  20  15  6   1你能發(fā)現(xiàn)這個三角數(shù)陣的幾個規(guī)律： 從以上的數(shù)陣，想想我們學過的哪些知識和它有聯(lián)系？【問題探究2】二項式定理與楊輝三角的聯(lián)系。問題1：二項式展開式是： 試把( a+b) n （n=0，1，2，3，4，5，6）展開式的二項式系數(shù)填入課本P32的表格。問題2：為了方便，我們將上表改寫成如下形式.(a+b)0 1(a+b)1 1   1(a+b)21   2

4、60;  1(a+b)31   3   3   1(a+b)41   4   6   4   1(a+b)51   5   10  10  5   1(a+b)61   6   15  20  15  6   1   【問題探究3】、從函數(shù)角度分析二項式系數(shù)：

5、問題1：( a+b) n展開式的二項式系數(shù)為 ，從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，令f(r)= ，定義域為 問題2：當n=6時，作出函數(shù)f（r）的圖象如下，其圖象是七個孤立的點。你能作當n=7時函數(shù)f（r）的圖象嗎？ 問題3：當n=7時，函數(shù)f（r）的圖象是對稱的嗎？對稱軸在哪兒？【問題探究4】通過圖象歸納二項式系數(shù)的重要性質(zhì)問題1：（對稱性）與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等嗎？由公式怎么表示？知識對接考查1：1，在展開式中，與倒數(shù)第三項二項式系數(shù)相等的是：（ ） A.第2項 B第3項C第4項D第5項2，若的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第七項的二項式系數(shù)相等，則n=

6、問題2： （增減性與最大值） (1)由函數(shù)f（r）的圖象知，二項式系數(shù)的前半部分是逐漸 （增大，減?。┑?，由對稱性知它的后半部分是逐漸 的。如何證明？ (2)二項式系數(shù)在中間處取得最大值，那么當n是偶數(shù)時，中間最大的一項二項式系數(shù)是 ，是二項式展開式的第幾項？當n是奇數(shù)時，中間最大的兩項二項式系數(shù)是 和 ，是二項式展開式的第幾項？知識對接考查2：1.在(1+x)10的展開式中，二項式系數(shù)最大為 ； 在(1-x)11的展開式中，二項式系數(shù)最大為 2.指出（a+2b）15的展開式中哪些項的二項式系數(shù)最大？ 問題3：各項二項式系數(shù)的和( 1+x) n =+x+x2+xr+xn, 那么 += 例1試證：在（a+b）n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。知識對接考查3： 變式提升： 已知 求 (1) (2) (3) 【課堂小結(jié)】1.二項式系數(shù)的性質(zhì): 2.數(shù)學思想：    3.數(shù)學方法 ：【課后檢測】1、已知=a，=b，那么=_；2、（a+b）n的各二項式系數(shù)的最大值是_；3、+=_；4、_；5、證明：+ =2n-1 (n是偶數(shù)) ；課后探究題：中世紀意大利數(shù)學家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子