微積分第五章5換元積分法

1、5.3 換元積分法二、第二類換元法二、第二類換元法一、第一類換元法第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()( uufd)( 基本思路基本思路 設(shè)設(shè), )()(ufuF )(xu 可導(dǎo)可導(dǎo), xxxfd)()( CxF )( )(d)(xuuuf )()(xuCuF )(dxF xxxfd)()( 則有則有一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1. xxxfd)()( uufd)()(xu )(d)(xxf (也稱也稱配元法配元法即即 xxxfd)()( , 湊微分法湊微分法)則則有有第第一一換換元元積積分分公公式式可可導(dǎo)導(dǎo)的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè),)(,)()

2、(xuufuF CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf )()(xuCuF 在利用湊微分法求不定積分時(shí)，以下的湊微分在利用湊微分法求不定積分時(shí)，以下的湊微分情形是經(jīng)常出現(xiàn)的情形是經(jīng)常出現(xiàn)的 ： ;)0()(d)(1d)()1( abaxbaxfaxbaxf;de)e (de )e ()2( xxxxfxf;)0(d)(1d)()3(1 xxfxxxf ;lnd)(lnd1)(ln)4(xxfxxxf ;cosd)(cosdsin)(cos)5(xxfxxxf ;sind)(sindcos)(sin)6(xxfxxxf ;arcsind)(arcsind11)(arcsin)7(2x

3、xfxxxf ;arctand)(arctand11)(arctan)8(2xxfxxxf;tand)(tandsec)(tan)9(2 xxfxxxf;cotd)(cotdcsc)(cot)10(2 xxfxxxf dxex21例例)2(212xdex 122xdx例例Cx 12ln21)2(xu 令令)(21udeu Cex 221Ceu 21)12( xu令令 12)12(21xxd udu21Cu ln21dxx29)75(3例Cx 30)75(1501xdxxcossin42 例例Cx 3sin31dxxex 25例例Cex 221 dxxx362例例Cx 232)3(31例例7.

4、求求).1(d)( mxbxam解解: 令令,bxau 則則,ddxau 故故原式原式 = muuad1a1 Cumm 1111)()1(1 mbxamaC 注注: 當(dāng)當(dāng)1 m時(shí)時(shí) bxaxdCbxaa ln1 22)(1d1axxa例例8. 求求 .d22xax解解: 22dxax,axu 令令則則xaud1d 21uuda1Cua arctan1Caxa )arctan(1想到公式想到公式 21duuCu arctan例例9. 求求 ).0(d22axax21duu想到想到Cu arcsin解解: 2)(1daxax)(d)(xxfxxxfd)()( 2)(1)(daxaxCax arcs

5、in 22dxax例例10. 求求.dtan xx解解: xxxdcossin xxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan類似類似 xdx6sec11例例 xdxx222sec)(secxdxtan)tan1(22 xdxxtan)tantan21(42Cxxx 53tan51tan32tanCaxaxa ln21例例12. 求求.d22 axx解解:221ax )(axax )()(axaxa21 )11(21axaxa 原式原式 = a21 axxaxxdd a21 axax)(d a21 ax lnax ln C a

6、xax)(d xdx3sin13例例 xdxxsinsin2 )(coscos)(cos2xxdxd )(cos)cos1(2xdxCxx 3cos31cos xdxx52cossin14例例 xdxxsin)sin1(sin222 xdxxxcoscossin42 xdxxxsin)sinsin2(sin642Cxxx 753sin71sin52sin31 dxxxsin15例例 xdxsin2Cx cos2dxxx 231162例例dxxx)1121( Cxx 1ln2lnCxx 12ln dxxxx2312172例例 dxxx)1123(Cxx 1)2(ln3 dxxdxx11213Cx

7、x 1ln2ln3dxxx 221182例例 2)1(11x)1( xdCx )1arctan( dxxxx221192例例dxxxx 224)22(212 222)1(1)1(222)22(21xxdxxxxdCxxx )1arctan(2)22ln(212例例3求下列不定積分求下列不定積分 ：;d12)1(2 xxxx;d)1(1)4(2 xxxx;1d)3(2 xx.d)1(1)5(2 xxxx.1ln332Cxxx .11ln21Cxx .arctan)1ln(21ln2Cxxx .121lnlnCxxx 例例4求下列不定積分求下列不定積分 ：;d1)1ln()1(22xxxx ;de

8、1e)2(2 xxx;dsec)3( xx .e1d)4(xx.)1ln(4122Cx .earctanCx .tanseclnCxx .)e1ln(Cxx 二、第二類換元法二、第二類換元法xxxfd)()( uufd)( 第一類換元法第一類換元法第二類換元法第二類換元法dxx 111 求求例例, tx 令令解解,2tx 則則tdtdx2 dttt12原式原式 dtt)111(2Ctt )1ln(2Cxx )1ln(2 xxdx)1(23求求例例,6tx 令令解解dttdx56 則則dtttt 325)1 (6原原式式dttt 2216dtt)111(62 Ctt )arctan(6Cxx )

9、arctan( 666,22xa 若含有因式若含有因式;2sin ttax則令則令,22xa 若含有因式若含有因式;2tan ttax則令則令,22ax 若含有因式若含有因式;20csc ttax則令則令注注 有幾個(gè)特殊的二次根式，為了消除根號(hào)，通常利用三角有幾個(gè)特殊的二次根式，為了消除根號(hào)，通常利用三角函數(shù)關(guān)系式來(lái)?yè)Q元，具體作法是函數(shù)關(guān)系式來(lái)?yè)Q元，具體作法是 ：例例3. 求求. )0(d22 aaxx解解: 令令, ),(,tan22 ttax則則22222tanataax tasec ttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec 1tanseclnCtt ax22

10、ax t ln 22ax a Caxx 22lnxa 1C 例例4 4 求求).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt|tansec|lntax22ax .ln22Caxx.ln22Caaxx)0(122 adxax.ln22Caxx 解:例例5求下列不定積分求下列不定積分 ：;)0(d)1(22 axxa解解,2,sin)1( ttax令令 ttadcos22原式原式 ttad22cos12.cos22taxa 則則Ctta )2sin21(22Cttta )cossin(22Caxa

11、xaxa arcsin1222.arcsin21222Caxaxax 例例6. 求求.d222 axxx解解: 令令,1tx 得得原式原式ttatd122 1)1(d2122222tataaCtaa 11222Cxaax 222例例7 7 求求dxxx 25121xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解:例例8求下列不定積分求下列不定積分 ：;dcos1tan)1( xxx解解 )cos1(cosdsinxxxx原式原式 )cos1(coscosdxxx xxxxcos1)1(cosdcoscosdCxx coscos1ln.sec1lnCx 最后列出幾個(gè)比較重要的積分公式，可以補(bǔ)充到基本積最后列出幾個(gè)比較重要的積分公式，可以補(bǔ)充到基本積分公式中，以便于今后的積分中引用分公式中，以便于今后的積分中引用 . Cxxxcoslndtan;seclnCx Cxxx sinlndcot;