第四節(jié)數(shù)列求和(學(xué)生用)

1、第四節(jié)數(shù)列求和、公式法1 如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比 q的取值情況要分q = 1或q工1.2 一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：n n +1oo(1) 1 + 2+ 3+ 4+ n =； (2)1 + 3+ 5+ 7 + 2n 1 = n2; (3)2 + 4+ 6+ 8 + + 2n= n2+ n.2 二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1 倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等“距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.2 分組轉(zhuǎn)化求和法那么求和時(shí)可用分組那

2、么這個(gè)數(shù)列的前假設(shè)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由假設(shè)干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成, 轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減.3 錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.4 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.小題能否全取1. 設(shè)數(shù)列( 1)n的前n項(xiàng)和為Sn,那么對(duì)任意正整數(shù)n, Sn =A.n 1 n 12B.C.1 n+ 12D.1 n 122等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2n + 1,其前n項(xiàng)的和為Sn,那么數(shù)列詈的前10項(xiàng)的和為(A 120B 70C

3、 75D 1003數(shù)列a1 + 2，ak+ 2k，a1o+ 20共有十項(xiàng)，且其和為 240,那么a1 + ak+ a10的值 為()D 185A 31B 120C 1304假設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2n+ 2n1,那么數(shù)列an的前n項(xiàng)和為1 1 4X 6, 6 X 812n 2n+ 2的前n項(xiàng)和為數(shù)列求和的方法(1) 一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，假設(shè)無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊 數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇適宜的方法求和(2) 解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分

4、解或錯(cuò) 位相減來(lái)完成.不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法、 錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來(lái)求和.分組轉(zhuǎn)化法求和U典題導(dǎo)入例1等比數(shù)列an中，ai, a2, a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且ai, a2, a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；假設(shè)數(shù)列bn滿足：bn= an+ (- 1)n|n an,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和S2n.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)假設(shè)an= bnicn，且bn , Cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和.bn, n為奇數(shù)，通項(xiàng)公式為an=中的

5、數(shù)列，其中數(shù)列bn , cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用Cn, n為偶數(shù)分組求和法求和.右以題試法1 .數(shù)列xn的首項(xiàng)X1 = 3,通項(xiàng)xn= 2np+ nq(n N*, p, q為常數(shù))，且X1,X4,X5成等差數(shù)列.求:(1)p, q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式.錯(cuò)位相減法求和石典題導(dǎo)入例2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= kcn k(其中c, k為常數(shù))，且a? = 4, a6= 8a3.(1)求an； (2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.-由題悟法用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；Sn qSn1兩種情況求解.在寫(xiě)出Sn與qs的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特

6、別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“ 的表達(dá)式.(3) 在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，假設(shè)等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于以題試法2. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn= 3n+ k.(1) 求k的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；an+1(2) 假設(shè)數(shù)列bn滿足牙 =(4 + k)anbn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.裂項(xiàng)相消法求和5典題導(dǎo)入例 3 數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn, ai= 1, Sn= nan n(n 1)(n N*).(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2(2) 設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.anan+11本例條件不變，假設(shè)數(shù)列bn滿足bn= S+n求數(shù)列bn的前

7、門(mén)項(xiàng)和Tn.-由題悟法利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意(1) 抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；(2) 將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如:假設(shè)an是等差數(shù)列，那么1 _ 1 1 1anan+ 1d anan+11_丄丄anan+2 2d an1an+23 .在等比數(shù)列an中，a1 0, n N*，且a3 a2= 8,又a1、a5的等比中項(xiàng)為 16.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；一 1 1 1 1(2) 設(shè)bn= Iog4an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,是否存在正整數(shù) k,使得S + S + + Sk對(duì)任意n N*恒成

8、立.假設(shè)存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.利用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的答題模板1典例數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =-尹2+kn, k N*，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k,求an；求數(shù)列n n的前n項(xiàng)和Tn.1 . an是公差不為零的等差數(shù)列,(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2) 求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和S.|彖饒務(wù)迭胚a1= 1,且a1, a3, ag成等比數(shù)列.2.設(shè)函數(shù) f(x)= x3,在等差數(shù)列an中，a3= 7, ai+ a2+ a3= 12,記 Sn= f&an+1)，令 bn= anSn,1數(shù)列b的前n項(xiàng)和為T(mén)n.(1)求an的通項(xiàng)公式和Sn；1求證：Tn 3時(shí)an的

9、表達(dá)式；4令bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(n?3).anan+1參考答案小題能否全取1. D 2. C 3. C 4.答案：2n + 1+ n2- 25.答案： 4 n + 1分組轉(zhuǎn)化法求和i典題導(dǎo)入例1解：(1)當(dāng)a1= 3時(shí)，不合題意；當(dāng)a1 = 2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2= 6, a3= 18時(shí)，符合題意；當(dāng)a1= 10時(shí)，不合題意.因此 a1 = 2, a2= 6, a3= 18.所以公比 q= 3，故 an= 2 3n-1.(2)因?yàn)?bn= an+ ( 1)nln an= 2 3n-1+ ( 1)nln(2 3n-1) = 2 3n-1 + (- 1)n(ln 2 ln 3) + (-

10、 1)nnln 3 , 所以 S2n= b1+ b2+ - + b2n= 2(1 + 3+ 3如-1) + -1 + 1 - 1 + + (- 1)2n(ln 2- ln 3) + - 1+ 21 _ 32n3+ + (- 1)2n2nln 3 = 2X -3 + nln 3 = 32n+ nln 3 1.心以題試法答案(1)p 1 , q= 1.(2)Sn= 2n+1 2+錯(cuò)位相減法求和占典題導(dǎo)入例2解：由Sn= kcn k,得an= Sn Sn-1 = kc“心甘1n 2.由 a2= 4, a6 = 8a3，得 kc(c 1) = 4,kc5(c 1) = 8kc2(c 1)，解得c= 2

11、,k= 2,所以 a1 = S1 = 2, an = kcn kcn 1 = 2n(n?2)，于是 an = 2n.(2)Tn = 2+ 2 22+ 3 2 3+ 4 24+ + n -2n.Tn= 2Tn Tn= 2 22 23 242n+ n 2n 1 = 2n 1 + 2+ n 2n 1 = (n 1)2n 1 + 2.凹以題試法2.解：(1)當(dāng)n?2時(shí)，由an= Sn Sn-1 = 3n+ k 3n1 k= 2 3n 1,得等比數(shù)列an的公比q = 3,首項(xiàng)為2.二 a1 = S1 = 3 + k= 2,. k= 1 ,.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 2 3n 1.an+1n 亦 3 n3 123n(2) 由亍=(4 + k)anbn，可得 bn=，即 bn = 羿 / Tn= + 孕 + 衣+ + 卻,13123n231111n9(3) 二 3Tn = 2 孕+ 孕+ 尋+ + 產(chǎn),二 3Tn = 2 3+ 孕+ 卞+ 卻一尹,二=；11 n2 23尹.裂項(xiàng)相消法求和3以題試法解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為 q,由題意可得 a3= 16,v a3 a2= 8，貝U a2= 8,. q = 2. a an=