淺談數(shù)學(xué)怪物——分形

1、淺談數(shù)學(xué)怪物分形1 分形理論的產(chǎn)生分形( Fractal )理論是當(dāng)今世界的新理論、新學(xué)科，其概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特首先提出的 . 大自然中物體和現(xiàn)象的幾何形狀普遍具有復(fù)雜的不規(guī)則性, 傳統(tǒng)的歐氏幾何學(xué)在描述這樣的自然現(xiàn)象時(shí)顯得蒼白無力 , 分形學(xué)的產(chǎn)生就是被用來描述這些不規(guī)則的歐氏幾何無法描述的幾何現(xiàn)象和物體的 , 它的產(chǎn)生使自然景物的描繪成為可能, 這也是分形幾何得到高度重視的原因之一. 在分形理論真正發(fā)展起來的這十幾年來, 其研究倍受重視, 分形的理論意義及實(shí)用價(jià)值深深吸引著人們尋求新規(guī)律、新特征存在的可能性 .2 分形理論的發(fā)展分形理論的發(fā)展可以分為三個(gè)階段1(P114-115)

2、：第一個(gè)階段是從1827 年到 1925 年 , 在此期間 , 數(shù)學(xué)家們構(gòu)造并且研究了很多奇遇或病態(tài)的集合及其圖象 , 還試圖對(duì)這類集合與經(jīng)典集合的差別進(jìn)行了詳細(xì)分析.1827 年, 維爾斯特拉斯證明的一種在任意一點(diǎn)都不具有有限或無限的導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)曾引起了極大的震動(dòng) , 雖然人們認(rèn)為此函數(shù)是極為“病態(tài)” 的， 但人們還是從不同方面推廣了它 , 并且還對(duì)這類函數(shù)的奇異性質(zhì)作了深入的研究.1904年， 瑞典的數(shù)學(xué)家科赫通過初等方法構(gòu)造出了如今稱之為科赫曲線的處處不可微的連續(xù)曲線 , 并且還對(duì)該曲線的性質(zhì)加于研究, 該曲線改變了連續(xù)不可微曲線的構(gòu)造一定非常復(fù)雜的看法, 這是第一個(gè)認(rèn)為構(gòu)造的具有局部

3、與整體相似結(jié)構(gòu)的曲線 .1883 年, 德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造了一類不連通的緊集s , s 被稱為康托爾三分集. 在當(dāng)時(shí) , 它被認(rèn)為在傳統(tǒng)的研究中是可以忽略的 , 但現(xiàn)在它在非線性研究中卻占有重要的意義.1890 年, 意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾構(gòu)造了能夠通過某個(gè)正方形內(nèi)所有點(diǎn)的曲線 , 這種奇怪的曲線曾使人們對(duì)以往的長(zhǎng)度與面積等概念重新進(jìn)行認(rèn)識(shí) , 并使數(shù)學(xué)界大吃一驚. 在此基礎(chǔ)上， 1901 年, 閔可夫斯基引入了閔可夫斯基容度,1919 年, 豪斯道夫引入了豪斯道夫測(cè)度和豪斯道夫維數(shù) . 總之 , 在此階段 , 人們已經(jīng)提出了典型的“分形”對(duì)象和相關(guān)問題 , 并為研究此類問題提供了最基本的數(shù)學(xué)工

4、具 .第二階段大致是從1926 年到 1975 年 , 在此階段 , 人們對(duì)分形的性質(zhì)作了深入研究, 特別是對(duì)維數(shù)理論的研究已獲得了豐富的成果. 這一階段對(duì)第一階段的思想進(jìn)行了系統(tǒng)、深入的研究, 不僅逐漸使其形成了理論 , 而且將研究范圍擴(kuò)大到了數(shù)學(xué)的許多分支之中 . 龐特里亞金、貝塞克維奇等研究的曲線的維數(shù) , 分形集的局部性質(zhì), 分形集的結(jié)構(gòu)以及其在數(shù)論、 調(diào)和分析、 幾何測(cè)度論中的應(yīng)用 , 這些都極大地豐富了分形幾何理論 . 列維在這一階段的工作極為重要, 首先 , 他第一個(gè)系統(tǒng)地研究了自相似集，現(xiàn)在研究的許多自相似性都可以追溯到他的工作中；其次，他建立了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的理論，成為隨機(jī)分形

5、理論系統(tǒng)研究的重要先驅(qū)者之一.在這一階段，絕大部分從事這一領(lǐng)域工作的人還局限于純的數(shù)學(xué)理論的研究，而未與其他學(xué)科發(fā)生聯(lián)系.在物理、地質(zhì)、天文學(xué)和工程學(xué)等學(xué)科已產(chǎn)生了大量與 分形有關(guān)的問題的形勢(shì)下，這就迫切需要新的思想與有力的工具來處理.曼德布羅特以才eM寺的思想，研究了海岸線的結(jié)構(gòu)、具有強(qiáng)噪音干擾的電子通訊、月球的表面、地貌幾何性質(zhì)等典型的自然界的 分形現(xiàn)象，并取得了一系列令人矚目的結(jié)果.第三階段是從1976年至今，這是使分形在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用取得全面發(fā)展，并使之形成獨(dú)立學(xué)科的階段.3分形的特征及有關(guān)概念3.1 分形的特征通常人們認(rèn)為分形具有以下幾個(gè)特征1（P116）:具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，也就是說在

6、任意小的尺度下 ，它總是有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)；具有不規(guī)則性，它的整體與局部不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；具有自相似形式，這種自相似可以是近似的或統(tǒng)計(jì)意義的；一般地，分形圖形在某種意義下的維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù)；在大多數(shù)情況下，分形圖形可以用非常簡(jiǎn)單的方法產(chǎn)生 .3.2 有關(guān)概念概念一分形曼德勃羅最先提出的分形2 （Fractal ）具有不規(guī)則、支離破碎等意義.他曾經(jīng)為分形下過兩個(gè)定義1（P116） ： （1）滿足下式條件Dim A dim A的集合A,稱為分形集.其中，Dim A為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim A為其拓?fù)渚S數(shù).一般說來，Dim A不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù).（2）部 分與整體以

7、某種形式相似的形，稱為分形.然而，經(jīng)過理論和應(yīng)用的檢驗(yàn)，人們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容.實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的定義.但是自然界中有很多分形的例子，例如：羊齒植物、菜花以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體 非常相似.大自然中的山、樹、云、海岸線也都可以看成是分形.下面給出大家兩個(gè)分形圖形：左圖是一棵厥類植物，仔細(xì)觀察，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)是在尺寸上小了一些，而枝杈的枝杈也和整體相同C-VX-J，它的每一個(gè)枝杈都在外形上和整體相同，僅僅,只是變得更加小了一些.右圖是數(shù)學(xué)家們構(gòu)造的Kohn （克赫）曲線概念二維數(shù)?這是由于它的維數(shù)不是人們通常用的整數(shù)

8、而是分?jǐn)?shù).長(zhǎng)期以來為什么說分形是數(shù)學(xué)中的怪物呢在歐氏空間中，人們習(xí)慣于將點(diǎn)定義為零維，直線定義為一維，平面定義為二維，空間定義為三維，愛因斯坦在相對(duì)論中引入時(shí)間維，就形成四維時(shí)空.但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù).分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度 1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限.分形維數(shù)，作為分形的定量表征和基本參數(shù)，是描述分形的重要參數(shù)，能夠反映分形的基本特征，但由于側(cè)重面不同，有多種定義和計(jì)算方法.常見的有以下幾種3(P44-46):相似維數(shù)Ds我們畫一個(gè)邊長(zhǎng)都是1的線段、正方形和立方體.將它

9、們的邊長(zhǎng)二等分，此時(shí)，原圖1的線段長(zhǎng)均縮小為原來的,，而將原圖等分為若干個(gè)相似的圖形.其線段、正方形、立方體分別被等2分為21、22和23個(gè)相似的子圖形,其中的指數(shù)1、2、3 ,正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)維數(shù).一般說來,如果某圖形是由把原圖縮小為2的相似的b個(gè)圖形所組成，有：aDs b, Ds 貼 的關(guān)系成立，則指aln a數(shù)Ds稱為相似性維數(shù)，Ds可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù).容量維數(shù)Dc容量維數(shù)是利用相同大小形狀的小球或立方體包覆幾何對(duì)象而定義的維數(shù)，由著名蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫哥諾夫提出的 .設(shè)一幾何對(duì)象s,若用直徑為 的小球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)去覆蓋 s,所需的 小球的最小數(shù)量為 N ，則s的容量維數(shù)為：Dcl

10、im0ln N()ln(1)9豪斯道夫(Hausdorff) 維數(shù)DH 設(shè)一個(gè)整體s劃分為N個(gè)大小和形態(tài)完全相同的小圖形，每一個(gè)小圖形的線度是原圖形的r倍,則豪斯道夫維數(shù)為：Dhln N rln、一，1計(jì)盒維數(shù)Db 將用邊長(zhǎng)為一的封閉正萬盒子覆蓋 s ,若s中包含的小萬盒數(shù)量 M n ,則計(jì) 2盒維數(shù)為：limnln M nn ln 2除上述定義的幾種分形維數(shù)外 ，還有信息維數(shù)、譜維數(shù)、模糊維數(shù)、拓?fù)渚S數(shù)、廣義維數(shù)、微分維數(shù)、分配維數(shù)、質(zhì)量維數(shù)、填充維數(shù)等4分形理論的應(yīng)用分形的應(yīng)用很廣，在各個(gè)方面都有其應(yīng)用，如在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物科學(xué)、地質(zhì)科學(xué)等各 個(gè)領(lǐng)域都已得到了極為廣泛的應(yīng)用.4.1

11、 在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例14(P9)計(jì)算Koch曲線的相似維數(shù)：,in 4則分別有：1 Dsln42in 3in 8in 233Ds2-in 4in 22Dsin18in 6Dsin 7in 4例2計(jì)算Koch曲線的容量維數(shù):根據(jù)Koch曲線的構(gòu)造過程，如右圖：第一次線段長(zhǎng)度11,只要四段即可覆蓋住點(diǎn)集，所以31N 14,第二次線段長(zhǎng)度2，用十六段才91n可覆蓋住點(diǎn)集，第n次，n N n 4n，因 n n , n, 113此Dc ciimnin 4nin 3nn in 4in 4iim nn in 3in 3睛抬8 第出 第然S 一一一第 1 段 - 一- ,-一第;州 一 12 1在剩下的四段 0

12、,1 , 2,199 3例3 Cantor集4(P2),如右圖:取單位長(zhǎng)線段0,1，三等分然后舍棄中間一段1 2121,2，再將剩下兩段0,1,-,1分別3 333三等分并舍棄中間的l,2和7,-兩段,9 99 9-,7 , 8,1中用同樣的辦法，每一段都三等分去掉中間一段 ，如此3 99繼續(xù)下去直到無窮，最后所得到的點(diǎn)集就稱為Cantor三分集，或簡(jiǎn)稱Cantor集ln 2在實(shí)變函數(shù)中介紹它的Hausdorff維數(shù)是DH.現(xiàn)在我們來計(jì)算一下它的容量維數(shù) ：根據(jù)ln 31 構(gòu)造過程，第一次線段長(zhǎng)度1,只要兩段即可覆蓋住點(diǎn)集，所以N 12 ,第二次線長(zhǎng)度3n 2n，因此1 e，、,2 二，用四段

13、可覆蓋住點(diǎn)集，第n次,32De limcnnln 2. _ nln 3limnnln 2 ln 2nln 3 ln 3由它的構(gòu)造過程我們還可以把它每一步的相似維數(shù)求出來，第一步是把原圖縮小為 1的相似的2個(gè)3圖形，所以Ds加工，第n步是把原圖縮小為ln 31 ,丁的相似的2n個(gè)圖形，所以3nnln 2Ds ln 3nnln 2In 2nln 3ln 3經(jīng)計(jì)算每步的相似維數(shù)得出它們都相等并且都是ln 2ln3猜想：相似維數(shù)用于按一定規(guī)律進(jìn)行有限次的改變而形成的分形中,而容量維數(shù)則是用于按一定規(guī)律進(jìn)行無限可列次的改變而形成的分形中，它通常以極限的形式出現(xiàn).如對(duì)同一個(gè)圖按同一個(gè)規(guī)律改變，那么每次改變

14、后所得到的分形圖形的相似維數(shù)與無限可列次的改變后所得到的分形圖形的容量維數(shù)是相等的.分形將作為一門課程進(jìn)入高中.其實(shí)不知不覺分形幾何已進(jìn)入了我們的考試中例45(P44)在2002年全國 高中數(shù)學(xué)聯(lián) 賽試題 中就 有這樣一道 題：如下圖：有一列曲線Po,Pi,P2,，已知Po所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形,P(k1)是對(duì)Pk進(jìn)行如下操作得到：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉k 1,2,3,.記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積.(1)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；(2)求lim Sn .n這是一道以分形幾何為背景的試題，主要考查的是與數(shù)列相關(guān)的基礎(chǔ)

15、知識(shí)，同時(shí)考查閱讀理解能.隨著考試改革的深化，在試題力，立意新，落點(diǎn)實(shí)，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的深入和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 設(shè)計(jì)上，更加注重能力立意，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)、 創(chuàng)新能力和學(xué)習(xí)潛能的考查.而以分形幾何為背景 的試題，新穎鮮活而有創(chuàng)意，富有時(shí)代氣息，恰好體現(xiàn)了這方面的要求，因此備受青睞，使“怪物”煥發(fā)出亮麗的風(fēng)采. 同時(shí) , 也讓學(xué)生感受到分形幾何無窮的美學(xué)魅力 , 激發(fā)學(xué)生對(duì)這門新興學(xué)科的學(xué)習(xí)興 趣.4.2 在物理學(xué)中的應(yīng)用分形學(xué)的問世給物理學(xué)的研究注入了新的活力 , 因而分形在物理學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用 , 其中比較成功的應(yīng)用包括以下方面. 在分形凝聚6(P81-82) 方面 , 人們提出的

16、具有多重分形的受限擴(kuò)散凝聚(DLA)模型和動(dòng)力學(xué)集團(tuán)凝聚(KCA)模型；在固體物理方面，用于準(zhǔn)晶態(tài)的擴(kuò)散，薄膜的研究，如在氣相物理沉淀、非晶態(tài)薄膜的晶化、溶液膜中的晶體生長(zhǎng)、液體界面上的電解沉淀、氣態(tài)電解質(zhì)膜中的電擊穿等過程中都可出現(xiàn)分形圖樣; 分形理論已用于納米半導(dǎo)體薄膜、 超導(dǎo)薄膜、 各種薄膜生長(zhǎng)和超薄金屬膜生長(zhǎng)的研究之中 . 用于湍流的研究, 分子光譜 ( 分子線譜和分子能量狀態(tài)具有分形結(jié)構(gòu)), 電磁散射 ( 由于粗糙分形表面引起的 ), 材料斷裂表面和邊界、以及碎塊的大小和頻度具有分形規(guī)律 , 材料力學(xué)行為和材料彈塑性斷裂研究; 在粒子物理中的應(yīng)用 , 高能粒子碰撞中的陣發(fā)現(xiàn)象具有分形

17、結(jié)構(gòu)分形理論用于解釋碰撞的機(jī)制 , 為粒子物理打開一個(gè)新的領(lǐng)域; 在流體粘性指進(jìn)現(xiàn)象中的應(yīng)用 , 粘性指進(jìn)是指兩種具有不同粘性的流體相遇時(shí), 在其界面形成的具有分形結(jié)構(gòu)的奇特形狀, 該形狀與受限擴(kuò)散凝聚 (DLA) 模型相似 ; 在放電式樣研究中的應(yīng)用、相變分析 . 超微粒及其聚集體, 及其在粒徑、熔化、磁性、電導(dǎo)及生長(zhǎng)過程中均具有分形特征. 有人對(duì)超導(dǎo)現(xiàn)象研究后發(fā)現(xiàn), 材料微觀結(jié)構(gòu)的分形維數(shù)與其超導(dǎo)電性密切相關(guān). 分形學(xué)也用于布朗運(yùn)動(dòng)分析、非晶態(tài)半導(dǎo)體的研究、引力波的研究、電子在固體中的散射、多孔介質(zhì)中的聲傳播、激光全息防偽等領(lǐng)域 .4.3 在化學(xué)中的應(yīng)用 7(P207)分形理論在化學(xué)中也有

18、很廣泛的應(yīng)用 , 如 : 在多相催化體系中的應(yīng)用 , 催化劑顆粒是一個(gè)分形體 ,不僅疏松的襯底和分布在其上作為催化物質(zhì)的顆粒表面可以用分維表征, 而且起主要催化作用的顆粒的亞微觀結(jié)構(gòu)也具有分形特征. 研究表明 , 在分形介質(zhì)中進(jìn)行分散和反應(yīng)都與表面分維數(shù)有關(guān). 此外 , 分形理論還在生物催化方面有應(yīng)用 . 在宏觀化學(xué)動(dòng)力學(xué)方面, 遠(yuǎn)離平衡態(tài)的化學(xué)過程往往產(chǎn)生具有分?jǐn)?shù)維的表面結(jié)構(gòu). 在顏料表面改性方面的應(yīng)用 , 顏料粒子的表面形貌是一個(gè)影響顏料性能的很重要的因素 , 研究結(jié)果表明 , 表面分形維數(shù)、粒子表面形貌與顏料某些性能之間確實(shí)存在很好的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 目前 , 分?jǐn)?shù)維方法在化學(xué)中各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用也正在開展之中 .例如 : 沉積物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶體結(jié)構(gòu)以及高分子凝膠等方面. 此外 , 薄膜分形、斷裂表面分形以及超微粒聚