行列式的計(jì)算方法

1、計(jì)算n階行列式的若干方法舉例n階行列式的計(jì)算方法很多，除非零元素較少時(shí)可利用定義計(jì)算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質(zhì)計(jì)算，特別要注意觀察所求題目的特點(diǎn)，靈活選用方法，值得注意的是，同一個(gè)行列式，有時(shí)會(huì)有不同的求解方法。下面介紹幾種常用的方法，并舉例 說明。1.利用行列式定義直接計(jì)算計(jì)算行列式00Dn:n 101020000000n解Dn中不為零的項(xiàng)用一般形式表示為ain ia2n 2該項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)t (n 1 n 21 n)等于(n 1)(n 2)2(n 1)( n 2)故 Dn ( 1)2n!.2 .利用行列式的性質(zhì)計(jì)算例：一個(gè)n階行列式Dnaj的元素滿

2、足ajaji ,i, j1,2,，則稱Dn為反對(duì)稱行列式， 證明:奇數(shù)階反對(duì)稱行列式為零。Dn證明:由aij故行列式a12a13a120a23a1na2najj 知 aiiaii，即 aii1iDn可表示為a13a230a3na1a2a31)'1,2,-*,na12a a13a1n0a23a2na230 a3nJ 亠a2no a3n0ai2a13'a1n0a23-a2na230'a3n亠.a2na3n'00,i0由行列式的性質(zhì)A0ai2ai3ai n(1)nDn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得Dn= Dn,因而得Dn = 0.3.化為三角形行列式若能把一個(gè)行列式經(jīng)過適當(dāng)變換化為

3、三角形，其結(jié)果為行列式主對(duì)角線上元素的乘積。因此化 三角形是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要方法.化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此,在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形再將其化為三角形行列式.1計(jì)算行列式D1323413054710392141015162這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上

4、（下）三角行列式來計(jì)算.2345D3 12 13 14 1100001022021012304521000012020201123405210000-1200020-112-340-121-1-22-2112311123103041020410010252 400102000100001000026000061 2 14 35 2 31 aa2a3ana11a2a3ana21 asana2a31 a例2計(jì)算n階行列式D解 這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因 此n列之和全同將第2, 3,，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是abb b

5、bab b例3計(jì)算n階行列式Dbb* p *a PR*4 + Fb+ * Ibbb a解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列1.1 iD =i 2,，na1a2aia2a1a2ana2a3a1a2a3anan1 a2a3ann11a2a3anana21a3a1ai；41a21a3an、亠亠 亠i 1L-、亠 ana2a31 an1a2a31an1a2a3ann010 01ai001 0i 1L >. b U000 11a1a2i 2,，nnn1ai *11aii 1i 12, 3,，n）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第1bb b0a b0 0a (n 1)b00a b0a (n 1)b(a

6、 b)n 1列都加到第1列上，行列式不變，得a(n1)bbb b1bb ba(n1)bab b1ab bDa(n1)bba ba (n 1)b1SI b4 4 1a F* + +b亠+亠a(n1)bbb a1bb a000a b例4:浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第 1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：1 22 3Dn 3 4+ n 134 5 *+2n 1 nn112Irin 2 n分析顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是

7、差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n 1列開始乘(i 2,，n)111一 rinn1 n(n 1) / n12*hn 2n 1000d0n00n*百000n0*百00001 n(n 1):n 2“0n00*n00 nn0I*«0000(n 1)(n 2)n 1/n)(1)(n 1)2n(n 1)111111111 1121111 n(i 2,，n)100 0n3111 n1200 n0*C AB*Bfhnh1 n1+1h1Bn 1nb0 001以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一1加到第2列。然后把 第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)

8、算就簡(jiǎn)單多了解：n4.降階法（按行（列）展開法）降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理， 這樣可以降低多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是根據(jù)行列式的特點(diǎn)，先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列 式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開.123 181920212 171819例1、計(jì)算20階行列式D20321 161718201918321D20123181920212171819321 161718321Ci 1Ci(i1,19)1920111111111*I41 1 11 1 1131012(i 2,，20)400riAh120002100201918111222222

9、+00200021 ( 1)20 121821 218分析這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算,需進(jìn)行20 ！ *20 - 1次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是n階 但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1,因此,可按下述方法計(jì)算：解：a00 010a0 00例2計(jì)算n階行列式Dn00a 004h卜+000 a0100 0aa0 0-00a0 00a 0-000a 0解 將Dn按第1行展開Dna00a+ *-0h(1)n1hIri*+ ¥1000

10、-a00 0-a100 0'n a(1)n1(1)nan 2nan a20a0 0a0 0000a 00a 001 n1亠 R *R + + * 1+ -F I亠 P R *R + J. .000 a00 0a100 0解按第一行展開，得D aa000a0例3計(jì)算n （n2）階行列式D00a1000 10 00 00 a再將上式等號(hào)右邊的第二個(gè)行列式按第一列展開，則可得到5.遞（逆）推公式法遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點(diǎn)，建立起與'-的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出的值有時(shí)也可以找到二'與NJ'的遞推關(guān)系，最后利用Il 'A得到亠的值.注意用此方法一定要

11、看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推 關(guān)系式,從而不能使用此方法0010例1計(jì)算行列式Dn0100000001解：將行列式按第n列展開,有Dn （）Dn 1DnDn 1( Dn 1Dn 2), DnDn 1(Dn 1Dn2),得DnD n 1(Dn2Dn 3)n2(D2nD1)(n 1)nJ同理得DnDn 1nDnJn 1n 1例2計(jì)算Dn(ay)Dn(ay)Dn 1y(anx)同理Dn (ax)Dn 1x(ay)n聯(lián)立解得Dnx(a y)nx yy,(xy)Dn(ax)Dn 1 x(a x)n1 - (a x)n 2D2(n(a x)2D2)x(a :nx)2x(a

12、x)n 1(a x)n 1 a (n 1)xx01x01 0 000計(jì)算n階行列式D00x 00nr r -000 x1aan 1an 2a2a1 x例3解 首先建立遞推關(guān)系式按第一列展開，得解a yxxxyxxx0axxyaxxDn0yaxyyax0yyayyya0X10 000X1 0000X 00X"-.-、000X1Dnan 1an 2an 3a>aiX10000X1000彳n 11an0X100000X*.n 1n 11an1 xQ 1an ,這里Dn 1與Dn有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是n 1的行列式.現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得:Dn X XQ

13、 2 an 1anX2Dn2ax an2x xDn 3 an 2amxn 1n 22x D1a2X環(huán) 2Xan 1xan,因 D1xa-ixa1,故 Dnxnaxn 1an1xan .最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的.當(dāng)n 1時(shí)，顯然成立.設(shè)對(duì)n 1階的情形結(jié)果正確，往證對(duì) n階的情形也正確.由r"n 1n 2Dn xDn 1anX X Xnn 1an 2 x an 1anx xan 1x an 八可知，對(duì)n階的行列式結(jié)果也成立.根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù)n,結(jié)論成立.210 000例4證明n階行列式DD n121 000000 121000 012n 12 1 01

14、21證明 按第一列展開，得Dn 2000 0 0 0000l jl abaaa, 121012100-0001210000 0 0 1 2 10 0 0 01 2其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與Dn有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為n1的行列式，記作Dn 1；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與 Dn有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為n 2的行列式，記作Dn2 這樣，就有遞推關(guān)系式：Dn 2Dn 1 Dn 2.因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個(gè)結(jié)果是正確的.2 1當(dāng)n 1時(shí)，0 2，結(jié)論正確.當(dāng)n 2時(shí)，D23，結(jié)論正確.2 1 2設(shè)對(duì)k < n 1的情形結(jié)論正確，往證k n時(shí)結(jié)

15、論也正確.由Dn 2Dn 1 Dn 2 2n n 1 n 1可知，對(duì)n階行列式結(jié)果也成立.根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立.10小題要證如下行列式等式:Dn1010000n 1n 1證明：Dn,其中例5、2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第0 00 00 01（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值 ，從而證之。）分析此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零， 這種行列式稱“三對(duì)角”行列式1 0從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu) 因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：D按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行

16、列式按第一行展開有：Dn (+ )Dn1 Dn- 2這是由D-1和D-2表示D的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從 n階逐階往低階遞推，計(jì)算 較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n 1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或Dn Dn-=Dn-1Dn-2=(Dn1 Dn 2)現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：Dn Dn-=(Dn- 1 Dn- 2)=g-2-Dn 3)=g 3Dn 4)''I-弋2-DJ =n 2()2()n同樣有：Dn Dn-1 =(Dn1Dn2)=g 2-Dn3)='(Dn 3Dn 4)='n2(D2-DJ =葉2()2()n因此當(dāng)

17、時(shí)n1n 1由(1) (2)式可解得：Dn 一，證畢0Dn Dn-1Dn-1 Dn2=( Dn-1Dn-2)6.利用范德蒙行列式根據(jù)行列式的特點(diǎn)，適當(dāng)變形（利用行列式的性質(zhì)一-如：提取公因式；互換兩行（列）；一行 乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到另一行（列）去；。.）把所求行列式化成已知的或簡(jiǎn)單的形式。其中范德蒙行 列式就是一種.這種變形法是計(jì)算行列式最常用的方法。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途11 1例1計(jì)算行列式DX112X1X1X212X2X2Xn12 xnx：n 1n 2X1X1n 1n 2x2x2n 1n 2X：Xn解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n1行的1

18、倍加到第n行，便得范德家行列式111X1X2Xn222X1X2Xnn 1n 1n 1X1X2Xnnnn 2a1a1ba1na2na2bn 2a2 F *n*n 1+ n 2,an 1an 1bn 1an 1In1例2計(jì)算n 1階行列式Dn kai(Xi Xj)1解這個(gè)行列式的每一行元素的形狀都是轉(zhuǎn)置的范德蒙行列式,即2n1bib1bi印a1a12n1b2b2b2D a a<-an 1a2a2a22n1bn 1bn 1bn 1an 1an 1an 1排列，且次數(shù)之和都是n,又因ai 0,若在第i行b2a/1a?*an 1bk，k0,1,2,n.bnbnb：1.其中 a1a a.即q按降幕排

19、列，bi按升幕(i 1,2,n)提出公因子a：，則D可化為一個(gè)n 1nbiaibajaibi 11< j i < n 13iaj1< j i < n 1x y z_ 2 2 2例3計(jì)算行列式D x y zyz xz xy解：(3) (y z)(i)D2xy xz yz yy2yyzxzyzz2z2zxy x(1)2xx2x2xy yz xz y2y2xy yz xz z2zxy yz xz(xyyz xz)(y x)(z x)(z y)例4計(jì)算行列式D1x i2Xin 2XinXi解作如下行列式，使之配成范德蒙行列式P(y)iXi2Xin 2Xin iXiiX22X2n

20、 2X2n iX2XnnXinX2iy2yn 2yn iynyn(y 為) (Xi Xj)i ii j i n易知Dn等于P(y)中yn i的系數(shù)的相反數(shù),而P(y)中yn i的系數(shù)為nX k( Xi X j )k ii j i nn因此，DnXk(Xi Xj)k i i j i n例5、計(jì)算n階行列式(a(aA xn in i)八n 2 n i)(a(ac、n in 2)n 2)/八n i(a i)/八n 2(a i)n i an 2 aDnan ian 2a iaii 1ii解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范 德蒙行列式的類型。先將的第n行依

21、次與第n i行，n2行，,2行，i行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第 n 行與第ni行，n-2行，2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第 n行與第n-i行對(duì)換，這樣， 共經(jīng)過(n i) + (n2) +2+i= n (n i) /2次行對(duì)換后，得到n(n 1)(1) 2個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途1 1a(a(a1)n21)n1(a(a2)n22)n11a 1 a(a 1)an 1 n 1(a 1)a上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得:n(n 1)n(n 1)(1) 2(a n i) (a n j)( 1) 21 j i n(i1 j i nj)7 .加邊法（升階法）加邊法

22、（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。它要求:1保持原行列式的值不變；2新行列式的值容易計(jì)算。根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加 的行和列。加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分別為 n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。解：Dn階行列式Dnx a1a1xa1a2a2a2ananana1a2-x ana1 an1a1a2an第i行減第1行1x0 0Dni2,n110x 0100x100務(wù)a2例1計(jì)算nan° ajaj例2計(jì)算n ( n> 2)階行列式1a111 111 a21 1111a3 11111 an,其中時(shí)2an0 .

23、Dn解 先將Dn添上一行一列,變成下面的n 1階行列式:I111 101 a11 1,011 a2 1亠 亠.'0111 an顯然，DnD n 1將Dn 1的第一行乘以1后加到其余各行，得D n因ai 0，將上面這個(gè)行列式第一列加第(ia10a21）列的1ai 1倍，得:,n 111 1111 11 1爲(wèi)0 0i 1 ai0Q0 010a2 0-00a2 0100 an000 anDnDn 1a2n1i 1 3i8.數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)匚"與-是同型的行列式時(shí)，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法求之。一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來

24、證明行列式等式.因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值 ，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納 法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）x10 00例1計(jì)算n階行列式D0x1 00000 x1anan 1an 232a1 x解：用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n = 2 時(shí)，D2a2aix(x aja2假設(shè)n = k時(shí)，有Dkk 2a2xakixak則當(dāng)n = k+1時(shí)，把Dk+i按第一列展開，得Dk 1xDk ak 1 x(xkk 1qxak1X aQak 1kax2ak 1x akxak 1由此,對(duì)任意的正整數(shù)n，有 Dnn 1axan22Xan 1Xancos112cos01例2 計(jì)算行列式012

25、cosDn000000D2 cos2 ,于是猜想0000002cos 11 2cos解：D1 cosDn cosn證明：對(duì)級(jí)數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.n 1時(shí)，結(jié)論成立.假設(shè)對(duì)級(jí)數(shù)小于n時(shí)，結(jié)論成立將n級(jí)行列式按第n行展開，有cos112 cos/八 2 n 1Dn 1(1)010000Dn 2cos0001002cos0002cos0011n 12cos2cos2cos cos(n例3計(jì)算行列式2n 1、Dn 1( 1)Dn 2cos(n 1)( 1)2n 1cos( n 2)cos(n 1) cos(n 1) cos1) cosnosin(n 1) sinA-l-y xy 00 41000x

26、-y xy解：Q = T+yD2二* +卩+亍6 = F -+ x2y-Ay2 + j1猜測(cè)： J: + /' I 七證明（1） n = 1,2, 3時(shí)，命題成立。假設(shè)nWk -1時(shí)命題成立，考察n=k的情形:聶十尸兀y001001 V 1 14I 1 41 |>«« 1 »00x+尹00 1102 =» 1100=（入十必口沁-xy 00x+ y xy00 -1 工亠戸s m+矽-+/-1 廠；+忙2十+矽2 +嚴(yán)2 =任+了）刀_ -如二（工*）0 4-宀+十4宀 -祕(mì)嚴(yán)2 +嚴(yán)分+砂"*一）=H +盂 + +卞嚴(yán)+臚故命題對(duì)

27、一切自然數(shù)n成立。9.拆開法拆項(xiàng)法是將給定的行列式的某一行（列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原 行列式寫成兩行列式之和，把一個(gè)復(fù)雜的行列式簡(jiǎn)化成兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的。使問題簡(jiǎn)化以利計(jì)算。例1計(jì)算行列式Dnai1a1a2a2 2a2ananana1a2an解：Dnaa22an:-r r:aa2ann1a20a200a*+a12 nnan nanan1Dn 11D1 2ai計(jì)算n （n2）階行列式Dn個(gè)人收集整理11X°12W nxy卷y2妁2nX2nXn%2料2nXn yn1即12X°2 nXnxy2X°2nxyDn12X2Y2 nX2 YnX2Y12X2

28、Y2nX2yn-.U.a -12Xn Y2 nXnynXnW2Xny2nXnyn將Dn按第一列拆成兩個(gè)行列式的和,解再將上式等號(hào)右端的第一個(gè)行列式第列2 ,i3,n）減去第一列的i倍；第二個(gè)行列式提出第一列的公因子DnX1y2 SnX12“2 nSnX2y2X2ny1X22x>Y2 nFnXny2鋼Xn2約2 nXnyny，則可得到12時(shí),D2X2n11y2 ynDn 0 當(dāng) nXiy22yi.Xaa aaXa aaax a,(a 0)aaa X例3計(jì)算n階行列式Dn解將第一行的兀素都表成兩項(xiàng)的和，使x a aOaOa Oa將等號(hào)右端的第一個(gè)行列式按第一行展開X1X2X2YiX1X2XnXnXnDn變成兩個(gè)行列式的和，即x a00axaa a xa a a0aaxaaaaxaaaxaaaaaaxx a00axa，得：a a xx a Dn 1 -這里Dn1是一個(gè)與Dn有相同結(jié)構(gòu)的n 1階行列式；將第二個(gè)行列式的第一行加到其余各行，得aaa aaaa aaxa a0x a2a 2aaax a00x a 2aaaa x000 x ainD(1)aaxina xx aDn于是有另一方面，如果將Dn的第一行元素用另一方式表成兩