由三視圖判斷幾何體或幾何體組成的小正方體個(gè)數(shù)

1、由三視圖判斷小正方體個(gè)數(shù)問(wèn)題通過(guò)小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個(gè)數(shù)，在中考或競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)遇到。解決這類問(wèn)題如果沒(méi)有掌握正確的方法，僅僅依賴空間想象去解決，不僅思維難度很大，還很容易出錯(cuò)。 通過(guò)三視圖計(jì)算組合圖形的小正方體的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是要弄清楚這個(gè)小正方體組合圖形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層，理清了這些行、列、層的數(shù)量，小正方體的個(gè)數(shù)就迎刃而解了。在三視圖中，通過(guò)主視圖、俯視圖可以確定組合圖形的列數(shù)；通過(guò)俯視圖、左視圖可以確定組合圖形的行數(shù)；通過(guò)主視圖、左視圖可以確定行與列中的最高層數(shù)。 以上方法可簡(jiǎn)要地概括為：“主俯看列，俯左看行，主左看層，

2、分清行列層，計(jì)數(shù)不求人?！?#160;一、結(jié)果唯一的計(jì)數(shù) 例1在一倉(cāng)庫(kù)里堆放著若干個(gè)相同的正方體貨箱，倉(cāng)庫(kù)管理員將這堆貨箱的三視圖畫(huà)了出來(lái)，如圖所示，則這堆正方體貨箱共有（     ）。A9箱     B10箱      C11箱      D12箱 分析：由三視圖可知，這堆貨箱共有從前到后3行，從左到右3列。由左視圖：第一行均為1層，第二行最高2層，第三行最高3層；由主視圖：第一列、第

3、三列均為1層，第二列（中間列）最高為3層。故第二行、第二列為2層，第三行第二列為3層，其余皆為1層。各行、各列小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖中所表示。這堆貨箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。 二、結(jié)果不唯一的計(jì)數(shù) 例2（“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖2，是由若干個(gè)（大于8個(gè)）大小相同的正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體的左視圖不可能是（      ）。分析：由給出的主視圖、俯視圖可以看出，該幾何體共有2行，3列。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。 左視圖為A時(shí)，第1行、第2行

4、最高均為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行、第2行均可為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列兩行均為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖A所示，最少為1+2+1+3+3=10（個(gè)），最多為1+2+2+3+3=11個(gè)。 左視圖為B時(shí)，第一行均為1層，第二行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層，第2行均可為2層；第3列第1行為1層，第2行為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖B所示。小正方體個(gè)數(shù)為1+1+1+2+3=8（個(gè)）。 左視圖為C時(shí)，第1行最高為2層，第2行最高為3層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1

5、層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為1層或2層（不能與第2列第1行同時(shí)都為1層），第2行為3層。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+2+1+1+3=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。 左視圖為D時(shí)，第1行最高為3層，第2行最高為2層。幾何體中，第1列第1行為1層；第2列第1行為1層或2層，第2行均為1層或2層，但不能同時(shí)為1層；第3列第1行為3層，第2行為1層或2層（不能與第2列第2行同時(shí)為1層）。此時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)如俯視圖C所示。小正方體最少為1+1+3+2+1=8（個(gè)），最多為1+2+2+2+3=10個(gè)。 三、根據(jù)兩種視圖確定計(jì)數(shù)范圍

6、 例3（江陰市中考題）如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能的值之和為        。 分析：題設(shè)中給出了主視圖、俯視圖，可知這個(gè)幾何體有3列，2行。第1列均為1層，第2列最高2層，第3列最高3層。 幾何體小正方形塊數(shù)最少的情況是：第1列只有1行，共1個(gè)小正方體；第2列兩行，至少有一行為2層，最少有2+1=3個(gè)小正方體，第3列兩行中至少有一行為3層，最少有1+3=4個(gè)正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+3+4

7、=8塊。 幾何體小正方形塊數(shù)最多的情況是：第1列只有1行，共1個(gè)小正方體；第2列兩行，均為2層，共有2+2=4個(gè)小正方體，第3列兩行均為3層，共有3+3=6個(gè)正方體。因此幾何體最少塊數(shù)為1+4+6=11塊。練習(xí)： 故n的所有可能值為8，9，10，11，所有可能值之和為8+9+10+11=38。 1.（2010河南）如圖是由大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和左視圖那么組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為7 。分析：易得這個(gè)幾何體共有2層，3行，2列，先看第一層正方體可能的最多個(gè)數(shù)，再看第二層正方體的可能的最多個(gè)數(shù)，相加即可解答： 3行，2列，最底層最多有3

8、×2=6個(gè)正方體，第二層有1個(gè)正方體，那么共有6+1=7個(gè)正方體組成最少5個(gè)。故答案為：7點(diǎn)評(píng)：主視圖和左視圖確定組合幾何體的層數(shù)，行數(shù)及列數(shù)2. 如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖（1）請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)集合體的一種左視圖（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，請(qǐng)你寫(xiě)出n的所有可能值 主視圖 俯視圖 左視圖分析：由主視圖和俯視圖可知該幾何體共有3層，2行，3列，那么左視圖有2行3列，層數(shù)是3層。解答：底層（俯視圖）5個(gè)，由主視圖知第2層第一行第2、3列各1個(gè)，第3層第一行第3列1個(gè)，相加為8個(gè)（最少）；也可以是第2層第一行、第2行各1個(gè)，則為9個(gè)；也可以第

9、2層第2行第3列1個(gè)，為10個(gè)；也可以第2層第2行第3列1個(gè)，第3層第一行第3列1個(gè)，則為11個(gè)（最多）。答案：n=8、9、10、113. 由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖如圖：（1）請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)幾何體的其中兩種左視圖；（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，請(qǐng)你寫(xiě)出n的所有可能值分析：（1）由俯視圖可得該幾何體有2行，則左視圖應(yīng)有2列，由主視圖可得共有3層，那么其中一列必為3個(gè)正方形，另一列最少是1個(gè)，最多是3個(gè)；（2）由俯視圖可得該組合幾何體有3列，2行，以及最底層正方體的個(gè)數(shù)及擺放形狀，由主視圖結(jié)合俯視圖可得從左邊數(shù)第二列第二層最少有1個(gè)正方體，最多有2個(gè)正方

10、體，第3列第2層，最少有1個(gè)正方體，最多有2個(gè)正方體，第3層最少有1個(gè)正方體，最多有2個(gè)正方體，分別相加得到組成組合幾何體的最少個(gè)數(shù)及最多個(gè)數(shù)即可得到n的可能的值解：（1）（2）俯視圖有5個(gè)正方形，最底層有5個(gè)正方體，由主視圖可得第2層最少有2個(gè)正方體，第3層最少有1個(gè)正方體；由主視圖可得第2層最多有4個(gè)正方體，第3層最多有2個(gè)正方體；該組合幾何體最少有5+2+1=8個(gè)正方體，最多有5+4+2=11個(gè)正方體，n可能為8或9或10或11切記：俯視圖中正方形的個(gè)數(shù)是組合幾何體最底層正方體的個(gè)數(shù)；組合幾何體的最少個(gè)數(shù)是底層的正方體數(shù)加上主視圖中第二層和第3層正方形的個(gè)數(shù)組合幾何體的最多個(gè)數(shù)是底層的正

11、方體數(shù)加上主視圖中第二層所有的行和第3層所有的行正方形的個(gè)數(shù)。4如圖是有一些大小相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正體塊數(shù)最多是？ 俯視圖 主視圖分析：由主視圖和俯視圖易知該幾何體是3行3列3層，底層即俯視圖有5個(gè)小正方體，最少是底層個(gè)數(shù)加第一行第2、3層各1個(gè)，共7個(gè) ；最多是底層個(gè)數(shù)加第一列3行第2、3層各1個(gè)（2×36），共11個(gè)。解：最多的情況是左邊的三層，每層3個(gè)，共九個(gè)，右邊的只有兩個(gè)，總共11個(gè)；最少的情況是最低一層如俯視圖，有5個(gè)；左邊任意一行是3個(gè)，總共是7個(gè)；最多是11個(gè)，最少是7個(gè)；5. 如圖所示，幾何體是由一些大小相同的小正方體組成，其三視圖中面積最小的是（）A、主視圖 B、左視圖 C、俯視圖 D、都一樣 解：如圖可知該幾何體的主視圖由4個(gè)小正方形組成，左視圖是由5個(gè)小正方形組成，俯視圖是由5個(gè)小正方形組成，易得解解答：解：如圖，該幾何體主視圖是由4個(gè)小正方形組成，左視圖是由5個(gè)小正方形組成，俯視圖是由5個(gè)小正方形組成，故三種視圖面積最小的是主視圖故選A 6. 如圖，這是一個(gè)由小立方塊搭成的幾何體的主視圖和俯視圖，最多需要多少塊小立方體，最少多少塊小立方體?7. 用小立方塊大一幾何體，使得它的主視圖俯視圖所示這樣的幾何體最少要幾個(gè)立方塊，最多幾塊？ 主視圖 俯視圖8. 用小