三年級(jí)奧數(shù)-等差數(shù)列

1、小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)專項(xiàng)練題等差數(shù)列(一)【課前】() 請(qǐng)觀察下面的數(shù)列，找規(guī)律填數(shù)字。5，9，13，17，21，_；7，11，15，19，_，27，_，35； 200，180，160，140，_； 102，92，82，72，_，52。 【知識(shí)要點(diǎn)屋】  1定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。 2特點(diǎn)：相鄰兩項(xiàng)差值相等；要么遞增，要么遞減。 3名詞：公差，首項(xiàng)，末項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)  5 ，9，13，17，21，25  ()  一個(gè)等差數(shù)列共有15

2、項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大3，它的首項(xiàng)是4，那么末項(xiàng)是_； 一個(gè)等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小5，它的第1項(xiàng)是121，那么它的末項(xiàng)是_。  ()  一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是12，第20項(xiàng)等于392，那么這個(gè)等差數(shù)列的公差_；第19項(xiàng)_，212是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)。   【鋪墊】()   計(jì)算下面的數(shù)列和：  37111519232731_。     ()  計(jì)算下列各題1234232425_。1、在10和40之間插入四個(gè)數(shù)，使得這六個(gè)

3、數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。那么應(yīng)插入哪些數(shù)？2、一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是6，第8項(xiàng)是55，公差是（      ）。1、在10和40之間插入四個(gè)數(shù)，使得這六個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。那么應(yīng)插入哪些數(shù)？解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的數(shù)是：16、22、28、34。2、一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是6，第8項(xiàng)是55，公差是（      ）。解答：d=（55-6）÷（8-1）=7（1）2、4、6、8、28、30這個(gè)等差數(shù)列有(      )項(xiàng)

4、。（2）2、8、14、20、62這個(gè)數(shù)列共有（    ）項(xiàng)。（1）2、4、6、8、28、30這個(gè)等差數(shù)列有(      )項(xiàng)。解答：（30-2）÷2+1=15（2）2、8、14、20、62這個(gè)數(shù)列共有（    ）項(xiàng)。解答：（62-2）÷6+1=11（1）11、14、17、20、95、98這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（    ）。（2）今天是周日，再過(guò)78天是周幾？（1）11、14、17、20、95、98這個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（ 

5、0;  ）。解答：（98-11）÷31=30（2）今天是周日，再過(guò)78天是周幾？解答：（781）÷7=112，所以是周一。在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常出現(xiàn)一類有規(guī)律的數(shù)列求和問(wèn)題。在三年級(jí)我們已經(jīng)介紹過(guò)高斯的故事，他之所以 算得快，算得準(zhǔn)確，就在于他善于觀察，發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列求和的規(guī)律。 1+2+3+?+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+?+（50+51） =101×50，即（100+1）×（100÷2）=101×50=5050 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的數(shù)稱為項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)，又叫首項(xiàng)；第二個(gè)數(shù)叫

6、第二項(xiàng)；最后一個(gè)數(shù)叫末項(xiàng)。如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都相等，就稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)的差就叫做這個(gè)數(shù)列的公差。如： 1，2，3，4，?是等差數(shù)列,公差是 1; 1，3，5，7，?是等差數(shù)列，公差是 2； 5，10，15，20，?是等差數(shù)列，公差是 5. 由高斯的巧算可知，在等差數(shù)列中，由如下規(guī)律：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1；第幾項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差；總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2. 本講用各種實(shí)例展示了等差數(shù)列的廣泛應(yīng)用價(jià)值。我們要求同學(xué)們注意靈活應(yīng)用這三個(gè)公式。 【例題精講】 例 1 計(jì)算下面各題： （1）2+

7、5+8+?+23+26+29； （2） （2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99） 。 解 （1）這是一個(gè)公差為 3，首項(xiàng)為 2，末項(xiàng)為 29，項(xiàng)數(shù)為（29-2）÷3+1=10 的等差數(shù)列求和。 原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155 （2） 解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=1×50=50. 說(shuō)明 兩種解法相比較， 解法一直套著公式，平平淡淡

8、； 解法二從整體上把握了題目的運(yùn)算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點(diǎn)， 運(yùn)用交換律和結(jié)合律把原式轉(zhuǎn)化成了整齊的結(jié)構(gòu)“1+1+?+1” ，從而解得更巧、更好。 例 2 計(jì)算：1÷2003+2÷2003+3÷2003+?+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003. 分析：如果按照原式的順序，先算各個(gè)商，再求和，既繁又難。由于除數(shù)都相同，被除數(shù)組成一個(gè)等差數(shù) 列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根據(jù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，先求全部被除數(shù)的和，再求商。 解 原式=（1+2+3+?+2002+2003）÷2003=（1+

9、2003）×2003÷2÷2003=1002. 說(shuō)明 此題解法巧在根據(jù)題目特點(diǎn)，運(yùn)用除法性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。計(jì)算中又應(yīng)用乘除混合運(yùn)算的簡(jiǎn)化運(yùn)算，使整 個(gè)解答顯得簡(jiǎn)捷明快。 例 3 某小學(xué)舉辦“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，規(guī)定前十五名可以獲獎(jiǎng)。比賽結(jié)果第一名 1 人，第二名并列 2 人， 第三名并列 3 人?第十五名并列 15 人。用最簡(jiǎn)便方法計(jì)算出得獎(jiǎng)的一共又多少人？ 分析：通過(guò)審題可知，各個(gè)名次的獲獎(jiǎng)人數(shù)正好組成一個(gè)等差數(shù)列：1，2，3，?，15.因此，根據(jù)求和公 式可以求出獲獎(jiǎng)總?cè)藬?shù)。 解： （1+15）×15÷2=16×15÷2=12

10、0（人）例 4 某體育館西側(cè)看臺(tái)上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 個(gè)座位，最后一排有 132 個(gè)座位。體 育館西側(cè)看臺(tái)共有多少個(gè)座位？ 分析： 要求這 30 個(gè)數(shù)的和， 必須知道第一排的座位數(shù)， 而最后一排的座位數(shù)是由第一排座位數(shù)加上 （30-1） ×2 得出來(lái)的，這樣就可以求出第一排的座位數(shù)。 解：第一排的座位數(shù)為：132-2×（30-1）=132-58=74（個(gè)） 所以 （74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（個(gè)） 例 5 學(xué)校進(jìn)行乒乓球比賽，每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手賽 1 場(chǎng)。 （1） （2）

11、 若有 20 人比賽，那么一共要進(jìn)行多少場(chǎng)選拔賽？ 若一共進(jìn)行了 78 場(chǎng)比賽，有多少人參加了選拔賽？分析 設(shè) 20 個(gè)選手分別是 A1,A2,A2,?,A20,我們從選手 A1，開(kāi)始按順序分析比賽場(chǎng)次： A1 必須和 A2，A3，A4，?，A20 這 19 人各賽一場(chǎng)，共計(jì) 19 場(chǎng)； A2 已和 A1 賽過(guò)，他只需和 A3，A4，A5，?，A20 這 18 名選手各賽一場(chǎng)，共計(jì) 18 場(chǎng)； A3 已和 A1，A2 賽過(guò)，他只需與 A4，A5，A6，?，A20 這 17 名選手各賽一場(chǎng)，共計(jì) 17 場(chǎng)； 依次類推，最后，A19 只能和 A20 賽一場(chǎng)。 然后對(duì)各參賽選手的場(chǎng)次求和即可。 解

12、（1）這 20 名選手一共需賽 19+18+17+?+2+1=（19+1）×19÷2=190（場(chǎng)） 。 （2） 設(shè)參賽選手有 n 人，則比賽場(chǎng)次是 1+2+3+?+（n-1） ，根據(jù)題意，有 1+2+3+?+（n-1）=78, 經(jīng)過(guò)試驗(yàn)可知，1+2+3+?+12=78， 于是 n-1=12，n=13，所以，一共有 13 人參賽。 說(shuō)明， （1）也可這樣想，20 人每人都要賽 19 場(chǎng)，但“甲與乙”“乙與甲”只能算一場(chǎng)，因此，共進(jìn)行 20 、 ×19÷2=190（場(chǎng)）比賽。 （2）采用了試驗(yàn)法，這是一種很實(shí)用的方法，希望同學(xué)們能熟練掌握。作業(yè)：1,等差數(shù)列求和公式（首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差已經(jīng)知道） 和= 2、 等差數(shù)列求末項(xiàng)公式（首項(xiàng)，公差，相數(shù)已經(jīng)知道） 末項(xiàng)= 3、 等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)公式： （首相，公差，末項(xiàng)已知） 項(xiàng)數(shù)= 4、 求和： 100+102+104+106+108+110+112+114995+996+997+998+9991+3+5+7+37+39（1+3+5+1999）-(2+4+6+8+1998)5、 應(yīng)