202X版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第11節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（第三課時(shí)）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題課件理

1、第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專題對點(diǎn)自測對點(diǎn)自測(A)f(x)g(x) (B)f(x)g(x) (B)f(x)f(e)f(3)(A)f(2)f(e)f(3)(B)f(3)f(e)f(2)(B)f(3)f(e)f(2)(C)f(3)f(2)f(e)(C)f(3)f(2)f(e)(D)f(e)f(3)f(2)(D)f(e)f(3)f(2)B B答案答案: :考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)【例【例1 1】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ef(x)=ex x-3x+3a(e-3x+3a(e為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù),a,aR R).).(1)(

2、1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值的單調(diào)區(qū)間與極值; ;考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式( (多維探究多維探究) )考查角度考查角度1:1:移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式(1)(1)解解: :由由f(x)=ef(x)=ex x-3x+3a,x-3x+3a,xR R, ,知知f(x)=ef(x)=ex x-3,x-3,xR R. .由由f(x)=ef(x)=ex x-30-30得得xx0-30得得xln 3,xln 3,故故f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,ln 3,(-,ln 3,單調(diào)單調(diào)遞增區(qū)間是遞增區(qū)間是ln 3,+),f(x)ln

3、3,+),f(x)在在x=ln 3x=ln 3處取得極小值處取得極小值, ,極小值為極小值為f(ln 3)=f(ln 3)=e eln 3ln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).無極大值無極大值. .證明證明f(x)g(x),x(a,b),f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),F(x)=f(x)-g(x),證明證明F(x)0,F(x)0,即證即證明了明了f(x)g(x).f(x)g(x).反思?xì)w納反思?xì)w納考查角度考查角度2:2:直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

4、【例例2 2】 (2017(2017全國全國卷改編卷改編) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ln x+axf(x)=ln x+ax2 2+(2a+1)x.+(2a+1)x.(1)(1)當(dāng)當(dāng)a0a0.:f(x)0.考查角度考查角度3:3:變形轉(zhuǎn)化后證明不等式變形轉(zhuǎn)化后證明不等式反思?xì)w納反思?xì)w納(1)(1)證明不等式問題中證明不等式問題中, ,若所證明的不等式的兩邊不能求最值或移項(xiàng)后也不若所證明的不等式的兩邊不能求最值或移項(xiàng)后也不能求最值能求最值, ,可利用移項(xiàng)變形構(gòu)造函數(shù)法證明可利用移項(xiàng)變形構(gòu)造函數(shù)法證明. .【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3 3】 (2018(2018湖南永州一模湖南永州一模) )已知函數(shù)已知

5、函數(shù)f(x)=(xf(x)=(x2 2-x-1)e-x-1)ex x. .(1)(1)若若f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,a+5)(a,a+5)上有最大值上有最大值, ,求整數(shù)求整數(shù)a a的所有可能取值的所有可能取值; ;(2)(2)求證求證: :當(dāng)當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí),f(x)-3ln x+x,f(x)2.2.反思?xì)w納反思?xì)w納(1)(1)若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)是x0,x0,且且x1,x2x1,x2是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,則關(guān)于則關(guān)于x1,x2,x0 x1,x2,x0的不等式常用證明方法如下的不等式常用證明方法如下: :構(gòu)造差函數(shù)構(gòu)造

6、差函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).h(x)=f(x)-g(x).根據(jù)根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào), ,確定差函數(shù)單調(diào)性確定差函數(shù)單調(diào)性, ,利用單調(diào)性得不等量關(guān)系利用單調(diào)性得不等量關(guān)系, ,進(jìn)而證進(jìn)而證明不等式明不等式. .根據(jù)條件根據(jù)條件, ,尋找目標(biāo)函數(shù)尋找目標(biāo)函數(shù). .一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間的大小關(guān)系之間的大小關(guān)系, ,或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). .(2)(2)證明與函數(shù)證明與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的極值點(diǎn)有關(guān)的不等式問題的極值點(diǎn)有關(guān)的不等式問題,

7、 ,求解時(shí)要注意應(yīng)用關(guān)于求解時(shí)要注意應(yīng)用關(guān)于方程方程f(x0)=0f(x0)=0的根的性質(zhì)的根的性質(zhì). .考點(diǎn)三證明與數(shù)列有關(guān)的不等式考點(diǎn)三證明與數(shù)列有關(guān)的不等式當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,若若0 x1,0 x1,則則f(x)0,f(x)1,x1,則則f(x)0,f(x)0,故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+).(1,+).當(dāng)當(dāng)0a10a1a1時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,a);(1,a);函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(a,+).(0,1),(a,+).反思?xì)w納反思?xì)w納(1)(1)證明

8、此類問題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式證明此類問題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式, ,用關(guān)于正整數(shù)用關(guān)于正整數(shù)n n的不等式替的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量代函數(shù)不等式中的自變量. .通過多次求和達(dá)到證明的目的通過多次求和達(dá)到證明的目的. .此類問題一般至此類問題一般至少少2 2個(gè)問號(hào)個(gè)問號(hào), ,已知的不等式常由第一個(gè)問號(hào)根據(jù)待證式的特征而得到已知的不等式常由第一個(gè)問號(hào)根據(jù)待證式的特征而得到. .(2)(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式已知函數(shù)式為指數(shù)不等式( (或?qū)?shù)不等式或?qū)?shù)不等式),),而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式的不等式( (或與指數(shù)有關(guān)的不等式或與指數(shù)有關(guān)的不等式),),還要注意指、對數(shù)式的互化還要注意指、對數(shù)式的互化, ,如如exx+1exx+1可化為可化為ln(x+1)xln(x+1)x等等. .【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練5 5】 (2018(2018黑龍江哈爾濱模擬黑龍江哈爾濱模擬) )