初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點歸納(1)

1、初中函數(shù)知識 函數(shù)知識點總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系2、各個象限內(nèi)點的特征:第一象限：（+，+） 點P（x,y），則x0,y0；第二象限：（-，+） 點P（x,y），則x0,y0；第三象限：（-，-） 點P（x,y），則x0,y0；第四象限：（+，-） 點P（x,y），則x0,y0；3、坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征： x軸上的點，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點，橫坐標(biāo)為零；原點的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特征：已知點P(m,n),關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)

2、相同，縱坐標(biāo)反號關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)是(-m,n) 縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)是(-m,-n) 橫，縱坐標(biāo)都反號5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)特征：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)相等。 第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點P（x,y）的幾何意義：點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標(biāo)原點的距離為8、兩點之間的距離：X軸上兩點為A、B |AB|Y軸上兩點為C、D |CD|已知A

3、、B AB|=9、中點坐標(biāo)公式：已知A、B M為AB的中點,則：M=( , )10、點的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（ x-a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a ，y）；將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，yb）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x，yb）。注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

4、 常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、 定義域和值域：定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。值域：一般的，一個函數(shù)的因變量所得的值的范圍，叫做這個函數(shù)的值域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)； （2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關(guān)系式含有二次根式時，被開

5、放方數(shù)大于等于零； （4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零； （5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、 函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7：增減性（單調(diào)性）：增減性又叫單調(diào)性，分兩種情況：單調(diào)增、單調(diào)減單調(diào)增：y隨x的增大而增大 單調(diào)減：y隨x的增大而減小 口訣：“同增異減”，注意：單調(diào)性只適用于單調(diào)區(qū)間，即有一個X只有唯一確定的y與之對應(yīng)時。8、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步

6、：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。9、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義：一般地，形如y=kxb

7、(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)當(dāng)b=0時，y=kxb即y=kx，稱為正比倒函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的一般形式： y=kx+b (k0) 說明： k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實數(shù)2、解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)3、圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b, 4、增減性（單調(diào)性）： k>0，y隨x的增大而增大（單調(diào)增）；k<0，y隨x而增大而減?。▎握{(diào)減）5、必過點：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中，當(dāng)x=o,時，y= 所以，該函數(shù)經(jīng)過（ ， ）點當(dāng)

8、y=o,時，x=所以，該函數(shù)經(jīng)過（ ， ）點所以，一次函數(shù)的圖象是必經(jīng)過（，0）和（0，b）兩點的一條直線.，注：兩點確定一條直線。畫圖時，可通過這兩點來確定直線。6、一次函數(shù)圖像的畫法：兩點法 計算必過點（0，b）和（-，0） 描點（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的直線）7、增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.8、傾斜度(只與k相關(guān))：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸. 9、截點（與b有關(guān)）：（直線與y軸的交點，該點到原點的距離叫做截距）當(dāng)b>0時直線與y軸交于原點上方（即y軸的正半軸）；當(dāng)b<0時，直線與y

9、軸交于原點的下方。（即y軸的負半軸）10、圖像的上下平移（只與b相關(guān)）：直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到. 當(dāng)b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；口訣“正上”當(dāng)b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位. 口訣“負下”例如：y=2x+3, 將直線 y=2x 的圖象向 上 平移 3 個單位 y=2x-3, 將直線 y=2x 的圖象向 下 平移 3 個單位 練習(xí)：y=5x-6,將直線 y=5x 的圖象向 下 平移 6 個單位注：一次函數(shù)y=kx+b圖像的平移，只與b有關(guān)，將y=kx的圖像平移，平移方向： b正上移，b負下移11、一次函數(shù)

10、的圖象與性質(zhì)b>0b<0b=0（正比例函數(shù)）k>0經(jīng)過：第一、二、三象限不經(jīng)過：第四象限經(jīng)過：第一、三、四象限不經(jīng)過：第二象限經(jīng)過：第一、三象限不經(jīng)過：第二、四象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大，單調(diào)增k<0經(jīng)過第一、二、四象限不經(jīng)過：第三象限經(jīng)過第二、三、四象限不經(jīng)過：第一象限經(jīng)過第二、四象限不經(jīng)過：第一、三象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小，單調(diào)減必過點：經(jīng)過（，0）和（0，b）兩點，正比例函數(shù)即是經(jīng)過原點（0，0） 12、兩直線之間的位置關(guān)系（平行或相交）：平行：相交：將兩直線方程聯(lián)立成一個方程組， ，解得結(jié)果，即為

11、交點。13、二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系：兩元一次函數(shù)圖象的交點的坐標(biāo)即為所對應(yīng)方程組的解。14、 應(yīng)用：要點是（1）會通過圖象得信息；（2）能根據(jù)題目中所給的信息寫出表達式。15、【思想方法】數(shù)形結(jié)合 。鞏固練習(xí)：試試畫出y=x, y=x+1, y=-x, y=-x+1的圖像 反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成2、解析式：（為常數(shù)，）注：反比例函數(shù)解析式的特征：等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1.比例系數(shù)自變量的取值為一切非零實數(shù)。（反

12、比例函數(shù)有意義的條件：分母0）函數(shù)的取值是一切非零實數(shù)。3、增減性（單調(diào)性）： k>0，y隨x的增大而減?。▎握{(diào)減）；k<0，y隨x增大而增大（單調(diào)增）4、反比例函數(shù)的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法：描點法 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)） 描點（有小到大的順序） 連線（從左到右光滑的曲線）（3）反比例函數(shù)（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支（稱為左、右支），延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠不與坐標(biāo)軸相交。（4）比例系數(shù)的幾何含義（右圖）：反比例函數(shù)y (k0)中比例系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線y (k0)上任意一點P作x軸

13、、y軸垂線，設(shè)垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB的面積(陰影面積)為 .（由y變形可得：k=xy 因為面積為正數(shù)，所以k取絕對值。）5、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：k的符號oyxk0yxok0圖像的大致位置經(jīng)過象限第 象限第 象限增減性（單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論）在每一象限內(nèi)，從左到右看，y隨x的增大而減小 ；（-，0）U（0，+）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)減 在每一象限內(nèi),從左到右看y隨x的增大而增大 （-，0）U（0，+）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)增 圖像的對稱性中心稱圖形，對稱中心是原點；同時，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x 和直線y=-x6、【思想方法】：數(shù)形結(jié)合7、 二次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)的基

14、礎(chǔ)知識：1定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域（x的取值范圍）：全體實數(shù)，R2. 解析式（表達式）：一般式：（，是常數(shù)）：說明： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項補充：二次函數(shù)解析式的表示方法（三種）一般式：（，為常數(shù)，）；頂點式：（，為常數(shù)，）；拋物線的頂點P（h，k） 兩根式（交點式）：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）.僅限于與x軸有兩個交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3種形

15、式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中3、二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已

16、知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式4、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo); 然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.4、 二次函數(shù)的圖像：拋物線（1）對稱性：拋物線是軸對稱圖形。對稱軸：直線,對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線

17、x=0）（2）拋物線有一個頂點P，當(dāng)=0時，P在y軸上；當(dāng)= =0時，P在x軸上。5、 a.b.c與拋物線的關(guān)系（是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項）y=5x2y=x2xy（1）a決定拋物線的開口方向和大?。洪_口方向：a為正(a0)，開口朝上，有最小值；a為負(a0)，開口朝下，有最大值；開口大?。篴 的絕對值越大，拋物線的開口越小。（2）a、b共同決定的符號決定對稱軸的位置，分兩種情況：當(dāng)a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右側(cè)。概括的說就是“左同右異” （3）常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c），分三種情況： 當(dāng)時，拋物

18、線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的6、拋物線與x軸交點個數(shù)= 0時，拋物線與x軸有2個交點。A（x1,0）和B（x2,0）=0時，拋物線與x軸有1個交點。頂點P= 0時，拋物線與x軸沒有交點。y=0x0yx0yxABP配圖：開口向上(開口向下，情況類似)7、類比一元二次方程的根的情況：特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。 8、二次函數(shù)