論非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理基本方程

1、論非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理根本方程兼論非平衡熵演化方程和熵產(chǎn)生率公式邢修三北京理工大學(xué)物理系，100081)理論物理學(xué)家的雄心是要探獲單個(gè)基 本方程去導(dǎo)出和預(yù)言多個(gè)次級(jí)方程和公式， 以實(shí)現(xiàn)對(duì)自然規(guī)律的統(tǒng)一描述。1、引言 需要解決的問(wèn)題 2、新的根本方程 6N 維相空間隨機(jī)速度 型朗之萬(wàn)方程3、BBGK擴(kuò)散方程鏈4、流體力學(xué)方程5、非平衡熵演化方程6、熵產(chǎn)生率公式7、內(nèi)部相互作用引起熵變化9、趨向平衡10、平衡態(tài)系綜11、結(jié)論1、引言1.0 需要解決的問(wèn)題：A. 為何經(jīng)典力學(xué)、量子力學(xué)方程是可 逆的而統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)過(guò)程卻是不可逆的？是 否兩種根本規(guī)律本質(zhì)上有所不同？假設(shè)是，兩 者究竟有何差異？B. 非平衡態(tài)

2、統(tǒng)計(jì)物理是否有根本方 程？假設(shè)有，它是什么形式？可否由它提供統(tǒng) 一的包括非平衡態(tài)和平衡態(tài)理論框架？C. 流體力學(xué)方程如何從微觀嚴(yán)格統(tǒng)一 推導(dǎo)出?D. 非平衡熵是否遵守什么演化方程？ 假設(shè)是，它是什么形式？E. 熵產(chǎn)生率即熵增加定律的微觀物理 根底是什么？可否由一個(gè)簡(jiǎn)明公式描述 之？F. 孤立系統(tǒng)的熵是否永遠(yuǎn)只增不減？ 自然界是否存在著抵抗熵增加定律的熵減 少力量？假設(shè)是，它的物理機(jī)理是什么？如何 表述？G. 熱力學(xué)退化和自組織進(jìn)化可否統(tǒng)一？如何統(tǒng)一？H. 趨向平衡過(guò)程是由什么機(jī)理引發(fā)完 成的？如何定量描述？上述各問(wèn)題可否從一個(gè)根本方程出發(fā) 嚴(yán)格統(tǒng)一解答之？1. 1 理論物理主要領(lǐng)域都有根本方程

3、 經(jīng)典力學(xué)：牛頓動(dòng)力學(xué)方程mr八R 電動(dòng)力學(xué)：麥克斯韋方程組1 :HC t漢H =丄'+ j 可 e = 4兀pC t C '量子力學(xué)：薛定諤方程i H統(tǒng)計(jì)物理：劉維方程?-HH/1.2根本方程有兩個(gè)共同特性A .根本性它們是本領(lǐng)域根本物理規(guī)律濃縮成的 數(shù)學(xué)表述，是從實(shí)驗(yàn)出發(fā)經(jīng)過(guò)假設(shè)而得出 的，不能從任何其他理論或方程推導(dǎo)出，也 無(wú)法答復(fù)為何如此。B .主導(dǎo)性它們不需再增補(bǔ)任何根本假設(shè)，可推導(dǎo) 出本領(lǐng)域幾乎全部有關(guān)定律、次級(jí)方程，研 究解釋各類(lèi)有關(guān)課題，甚至給出預(yù)言。根本方程是理論物理的靈魂、核心和框 架。1.3 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的根本特性或根本規(guī) 律自然界所有實(shí)際統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)過(guò)程都是

4、 有方向的或不可逆的 簡(jiǎn)稱(chēng)熱力學(xué)時(shí)間方向 性或不可逆性 。這是熱力學(xué)第二定律的普遍 表述，是自然界根本規(guī)律，不太可能復(fù)原成 動(dòng)力學(xué)規(guī)律或從它推導(dǎo)出。1.4 劉維方程作為根本方程是不完滿(mǎn)的A 與 6N 維相空間哈密頓方程等價(jià)， 把劉維方程作為統(tǒng)計(jì)物理根本方程也是一 種假設(shè)B 時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)的，不反映不可逆性C.得不出熵增加定律，無(wú)法計(jì)算非平 衡熵D 不能?chē)?yán)格推導(dǎo)出流體力學(xué)方程假設(shè)不增補(bǔ)任何假設(shè)，從可逆的微觀動(dòng)力 學(xué)方程不可能?chē)?yán)格推導(dǎo)出不可逆的宏觀運(yùn)動(dòng)方程。與其在根本方程上再增補(bǔ)各種假設(shè)，不 如一開(kāi)始就把假設(shè)建立在根本方程上、使其 能統(tǒng)一解決各種問(wèn)題。2、新的根本方程一6N維相空間隨機(jī)速度型 朗之萬(wàn)

5、方程根據(jù)根本方程應(yīng)反映統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)根本特性一時(shí)間方向性的思路，假定下述6N維相空間隨機(jī)速度型朗之萬(wàn)方程為統(tǒng)計(jì)物理 根本方程q 八汕 i(q,t)Pi qN(2)其中i(qi,t) j(qj,t) = 2Dqqi(qi) qq (i t )哈密頓函數(shù)H = H(X) = H(q,q2, q3N；Pi,P2, P3N )3N維坐標(biāo)空間擴(kuò)散矩陣D =Dqgj = Pqq(qi) qj 八 D(q) qjDqiq- = D(qi) =藥)=噸=竝)為三維坐標(biāo)空間的擴(kuò)散矩陣，其矩陣元素D廠(chǎng)Dji有6個(gè)。方程(1)所以叫隨機(jī)速度型朗之萬(wàn)方程， 是因與通常的隨機(jī)力型朗之萬(wàn)方程不同，朗 之萬(wàn)方程中的隨機(jī)項(xiàng)不是隨

6、機(jī)力，而是隨機(jī)速度與方程(1)等價(jià)的系綜幾率密度P =(x ,t )的演化方程為 Pt-X ' X；' q ' q(D)-q D)'=八 X (X?)1十，1 ' qq (D )- 2C q D)(3)其中X=C pHLqH),xq pp q(4):-.帝-(Dp)x =x + 2(冷 D) q (丿(5)或H F D ' q'(當(dāng)D為常數(shù))t方程(3)叫劉維擴(kuò)散方程。由方程(1)(3) 可見(jiàn)：統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)，作用于粒子的力是 確定性的，其速度卻具有確定性漂移和隨機(jī)性擴(kuò)散二重性，說(shuō)明了統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 是由動(dòng)力學(xué)規(guī)律和隨機(jī)性速度疊加而

7、成的。 隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)那么是時(shí)間方向性的微觀物理 根底。根據(jù)根本方程應(yīng)反映統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)根本 特性時(shí)間方向性的思路，把方程或(3) 當(dāng)成根本方程，僅是一個(gè)根本假設(shè)。但它卻 說(shuō)明了大量粒子群體宏觀運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)熱力 學(xué)規(guī)律和單個(gè)粒子個(gè)體運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律本 質(zhì)上有所不同。實(shí)例：醉漢沿城市街道行走模型。以下所有結(jié)果都由方程或嚴(yán)格推 導(dǎo)出的，未增補(bǔ)任何其他假設(shè)。由隨機(jī)理論，得對(duì)時(shí)間的總變化率為 霧=H +(X + * q D) v -pdt :t2 qX(7)C q)' q (D )P代入式，得C) ' q (D?)0，系綜幾率密度不穩(wěn)定,d ?石八'q：(D )在非平衡態(tài)，dt將在相空間

8、的坐標(biāo)子空間擴(kuò)散直至知。3、BBGK擴(kuò)散方程鏈由劉維方程可導(dǎo)岀BBGK方程鏈，同樣, 由劉維擴(kuò)散方程(6)亦可導(dǎo)出約化動(dòng)力學(xué)方程鏈。將方程中的擴(kuò)散項(xiàng)DJ%變成約 化項(xiàng)加于BBGK擴(kuò)散方程鏈就成。本文自此后設(shè)' q D = 0,即D為常數(shù)fs(xX2，Xs， t)二(X, t)dXs i dXN為2=12 n)個(gè)粒子的約化幾率密度， Xi (qi ,Pi)為第i個(gè)粒子的廣義坐標(biāo)和動(dòng)量。fSHsfs = ( N - S)、 ( q i,s 1)p fs 1(X1, X2, Xs 1, t) dXs 1 ti=1(9)S2 _ -+ Z Dq；fs(X1, X2,Xs, t) i =1其中S

9、S-z ( - f 十無(wú) 7-*-.) 7 -iq ikPii =1khik q)qkFi為外力qk)為粒子相互作用位能,魚(yú) 5 住 '"2 (Fl -t7-Pi(F2 -q2 qiq2 /' P2】f2(Xi, X2, t)二 N Kqiqiq3)'PiCq?q2q3)'P2 卄3(知 X2, X3，t)dX3DC 2/ v ；)f2(Xi,X2,t)(10)占p1-< F pfi(X,t) = N C q qqi) ' pf2(X,Xi，t)dX:t mD q2fi(X,t)(ii)其中 fi(x,t) = f|(q, p,t) o方

10、程(9)(I0)(II)比BBGKYT散方程鏈多了擴(kuò)散項(xiàng)，是時(shí)間反演不對(duì)稱(chēng)的，可叫 BBGKYT散方程鏈。方程(11)可變?yōu)殚]合的 動(dòng)理學(xué)方程。對(duì)于稀溥氣體，f2(x1,x2,tp f1(x1,t) f1(x2,t)， 方程(11)變?yōu)?q F V P f(q, p, t)二 D q f(q, p, t)t mg丁 (g" )f (q, p ,t)f (q, Pi,t)-f (q, p,t)f (q, Pi,t)dpid(12)這可稱(chēng)為玻爾茲曼碰撞擴(kuò)散方程，碰撞在動(dòng) 量空間，擴(kuò)散在坐標(biāo)空間。對(duì)于均勻系統(tǒng)，f (q, p,t)= f (p,t)與坐標(biāo)q無(wú)關(guān)，(12)式復(fù)原為玻爾茲曼方程

11、，其平衡態(tài)解為Maxwell分布?；蛞婚_(kāi)始就假設(shè)稀薄氣體中擴(kuò)散項(xiàng)為4、流體力學(xué)方程如何從微觀嚴(yán)格導(dǎo)出流體力學(xué)方程？ 迄今未解決，現(xiàn)從方程(10)(11)推導(dǎo)岀。從BBGKYT散方程鏈已推導(dǎo)岀流體質(zhì) 量、動(dòng)量和內(nèi)能方程如下：(9) = 0(13)(14)( 'CC P ) t-(:u)(uC Jq)二p ? C (15)t+ V其中 =、(q,t), C = C(q,t) , u = u(q,t)為流體密度、 速度、內(nèi)能密度，P為壓力張量。將方程(10)(11)右邊的擴(kuò)散項(xiàng)化成流體項(xiàng)加于相應(yīng)的方程(13)(14)(15)，即得:4.1流體質(zhì)量演化方程(9) = D (16)t或叫質(zhì)量漂移

12、擴(kuò)散方程。當(dāng)C = o , (16)式變 為2二 D此為擴(kuò)散方程。當(dāng) 式。(17)(16)式復(fù)原為(13)4.2 流體動(dòng)量演化方程(C)譏(CC P )二 F D 2( O(18)C(C "=V 2C (2V In ') ' C (19) 其中粘滯系數(shù)=D ，運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù) v = D =。(19) 式是廣義Navier-Stokes方程(F=0)，比通常NS方程 多了擴(kuò)散項(xiàng)(2V In )' C。4.3流體內(nèi)能演化方程(CpJq1 ' PTC D 2upDC C): C C) (2D In ) C u) (20)引入局域溫度T =T(q,t)，衛(wèi)=Q遼

13、與' u = 2 T , dt £t得流體局域溫度演化方程T12 DT+(c*)t + 7 j=2t + cc)：cc)T t工 qCvCv(2D I nJ C T)(21)其中Cv為單位質(zhì)量的定容比熱，一'CvD為熱 導(dǎo)張量。從方程(16)(18)(20)可見(jiàn)：在流體力學(xué)方程中，質(zhì)量、動(dòng)量和內(nèi)能既存在流動(dòng) (漂移)項(xiàng)，亦存在擴(kuò)散項(xiàng)。質(zhì)量擴(kuò)散、粘滯性 和熱傳導(dǎo)，都是不可逆的耗散過(guò)程。它們的 共同起源那么是粒子的隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)(D 7)5、非平衡熵演化方程熵是物理學(xué)中的根本概念和物理量，熵變 化指明宏觀系統(tǒng)的演化方向。從統(tǒng)計(jì)物理角度看，迄今只有描述總熵的 Boltzman

14、n熵公式，沒(méi)有什么描述非平衡熵變化的方程和公式。5.1非平衡熵A. 6N維非平衡熵6N維相空間的非平衡熵可定義為0(t) = k "X,t)lnSgo'o(X)=SxdSgo(22)其中f和Sgo各為平衡態(tài)的系綜幾率密度和 熵。L滿(mǎn)足Ho d q2d o (6a)t非平衡熵密度Sxk'ln：(23)p0或St) = k (X,t)l n (X,t)d = SXd(22a)非平衡熵密度SX = k (X,t)ln (X,t)(23a)本文采用(22)式，原因后面交待。B. 6維非平衡熵6維相空間的非平衡熵可定義為-f (x t)-Sb (th - k fi(x,t)ln

15、 1 dx Sbo = &pdx Sb。 fio(x)(24)其中fi(x,t)和fio(x)為單粒子的非平衡態(tài)和平 衡態(tài)概率密度，各為單粒子的BBGKYT散方 程(11)的非平衡態(tài)和平衡態(tài)的解。6維相空間的非平衡熵密度% kfi(x,t)ln 嚴(yán)歲(25)f1o(x)Sbo為平衡態(tài)的熵。或 SB(t)= - k f1(x,t)ln f|(x,t)dx = Svpdx (24a)非平衡熵密度 Sv -kf1(x,t)ln f1(x,t)(25a)5.2非平衡熵演化方程非平衡熵密度既然隨時(shí)空變化，是否也 遵守什么演化方程？假設(shè)是，它是什么形式？ 下面給岀非平衡熵密度非線(xiàn)性演化方程。A.

16、6N維非平衡熵(密度)演化方程將6N維相空間非平衡熵(22)式兩邊對(duì) 時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)并利用劉維擴(kuò)散方程 (3a)(3b)，得6N維非平衡熵密度演化方程Sxt- 2' X (XSx) D qSxC qln )SxqSx2(26)其中，可展開(kāi)成：o玉-羊k 2k%oB. 6維和3維非平衡熵密度演化方程將6維相空間非平衡熵密度(24)式兩邊 度時(shí)間t求偏導(dǎo)數(shù)并利用單粒子的BBGK擴(kuò) 散方程(11)，得3維非平衡熵密度演化方程単' (CSv Jv) D 2SvtD 1+ DJ7(Jn gp 八 Svp2dp(27)k “其中i二'10 kSv = Svpdp ,f1可展開(kāi)成：&

17、amp;pSvp2k2f10對(duì)應(yīng)的6維非平衡熵密度演化方程為Sp 二s I:：tS p- pD2D 2S('In g SvpJ pdP為相互其中p為單粒子的速度,J/ m作用位能引起的熵流密度。注意：26式中'q的q=qi,q2, q是N個(gè)向量，而27式中 '八q八qi的q僅是一個(gè)向量。 非平衡熵演化方程26 27 28形式相 同：非平衡熵密度隨時(shí)間的變化率是由其在空間 的漂移、擴(kuò)散和產(chǎn)生三者共同引起的。熵產(chǎn)生、 熵?cái)U(kuò)散都是耗散性的，兩者都來(lái)自粒子的隨機(jī)擴(kuò) 散運(yùn)動(dòng)，反響了統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)過(guò)程的不可逆性。 由 于此方程是非線(xiàn)性的、非閉合的，難以嚴(yán)格求解。6、熵產(chǎn)生率公式熵增加定

18、律是宏觀世界一個(gè)根本定律。它表 明，能量總趨向耗散，有序系統(tǒng)總趨向無(wú)序。熵產(chǎn)生率即熵增加定律的物理根底是什么?它是由哪幾個(gè)物理量決定的 ？可否由一個(gè)簡(jiǎn)明公 式描述之？這是非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中待解決的一 個(gè)中心課題。根據(jù)方程2628右邊第三項(xiàng)，非平衡 系統(tǒng)在6N維和6維相空間的熵產(chǎn)生率各為P 2(29)PG 二 kD * q In)2d-M a0(30)Pb 二 kD f C qiln?)2dXif0其中 q= (qq，Zn)，p = ( Pi, P2，Pn )，f現(xiàn)定義非平衡系統(tǒng)一個(gè)新的參量、即非平衡 系統(tǒng)在6N維和6維相空間的系統(tǒng)幾率密度或微 觀狀態(tài)數(shù)密度的離開(kāi)平衡率(百分比)各為P A P

19、Q“(31)j _ In,或一 _ In -P。 P。° 0 叫a . f"f r、« hio ha、譏二ln，或珂Inb(32)f°f°° boC b09和9 b可簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)的離開(kāi)平衡率(百分比),定 量地描述一個(gè)系統(tǒng)離開(kāi)平衡態(tài)的遠(yuǎn)近程度式各代入(29) (30)式，F(xiàn)GkDC qT2 - 0(33)Pb當(dāng)系(x,t)二2二 kDC q/b)-統(tǒng)內(nèi)粒子f( X1, t)f(X2, t)獨(dú)f(XN，t)時(shí)，那么(34)立、即(31) (32)2NPB - 0FG 二 NkDC qb)NPb - 0(35)亍T <)2d為系統(tǒng)離開(kāi)平

20、衡率的空間梯度平方的平均值33 34式就是6N維和6維相空間的熵 產(chǎn)生率、即熵增加定律的簡(jiǎn)明統(tǒng)計(jì)公式。熵產(chǎn)生率P等于擴(kuò)散系數(shù)D離開(kāi)平衡率的空間梯度平 方的平均值甘2與Boltzmann常數(shù)k三者之乘 積,指明非平衡系統(tǒng)的宏觀熵產(chǎn)生是由其微觀狀 態(tài)數(shù)密度在空間隨機(jī)地不均勻離開(kāi)平衡引起的。 具有隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)D工0且在空間非均勻離開(kāi) 平衡C =0的非平衡態(tài)o物理系統(tǒng)，熵總 是在產(chǎn)生P>0。系統(tǒng)或處于平衡態(tài)，=5, 。=0、或雖處于非平衡態(tài)但卻是空間均勻的 C < =0 或只有確定性而無(wú)隨機(jī)性運(yùn)動(dòng)時(shí),都無(wú)熵產(chǎn)生F=0o6.1非平衡態(tài)熵產(chǎn)生率例題假設(shè)略去兩個(gè)粒子間的相互作用， 單粒子的動(dòng) 理

21、學(xué)方程11就變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的 Fokker-Planck 方程。A、理想氣體絕熱自由膨脹開(kāi)始時(shí)氣體限制在圓柱體左半部q<0,右半部q>0是空的。迅速抽去隔板后，氣體向右膨脹擴(kuò)散。由解一維擴(kuò)散方程，得氣體濃度CCq,t = eeifa2、Dt 1 36 Co為開(kāi)始時(shí)氣體在左半部的濃度。氣體的非平衡態(tài)幾率密度 畑“眉衫買(mǎi)-盤(pán)丿37弛豫時(shí)間t八A-時(shí),Df0(q)=常數(shù)平衡態(tài)幾率密度(38)熵產(chǎn)生率PbkD0f 行)2dq_k V。t(39)熵產(chǎn)生iSt0PBdtk In(40)熵產(chǎn)生的時(shí)間變化率 忙一心蘭。tV。t2V為左或右半部圓柱體積，41為常數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡時(shí)，N個(gè)粒子的熵產(chǎn)生iS

22、Nkln Vo 'V0二 Nkln經(jīng)二 Nkln2 (42)V0這是平衡態(tài)熱力學(xué)中熟知的結(jié)果(41)式是本題的最小熵產(chǎn)生定理的表達(dá)式。B、布朗運(yùn)動(dòng)(略)C固體變形和斷裂根據(jù)(33)(34)式，微觀狀態(tài)數(shù)密度非均 勻離開(kāi)平衡f = 0)，是非平衡不可逆過(guò)程熵產(chǎn) 生的微觀根底。由此可推論：不可逆過(guò)程系統(tǒng)內(nèi) 相應(yīng)的微觀結(jié)構(gòu)變化是不均勻的。固體彈性變形是可逆的、均勻的 ,熵不增 加。范性變形過(guò)程是不可逆的，熵增加,其微觀結(jié) 構(gòu)變化不均勻，表現(xiàn)為形成滑移帶。斷裂過(guò)程是不可逆的，其微觀結(jié)構(gòu)變化不均 勻,表現(xiàn)為微裂紋成核、長(zhǎng)大、傳播都不均勻。生物個(gè)體在衰老過(guò)程中，各器官組織衰老速 度快慢不等。6.2

23、定態(tài)熵產(chǎn)生率定態(tài)存在宏觀流，平衡態(tài)那么無(wú)。A、定態(tài)公式(特殊)由一維Fokker-Planck 方程，+ = 0,得I M幾率流cf (q)J 二 K(q)f(q)-常數(shù))(43)平衡態(tài)J=0,幾率密度(44)其中(q)g K(q )dqD 0定態(tài)J半0,幾率密度f(wàn)st(q)二 nexp- (q) -Jexp- (q) ：exp (q )dq=n q exp- q 1(45)定態(tài)熵產(chǎn)生率公式LPB 二 kD0fst(q)2dq 二 kJ- (L) lnfst(0)fst(L)-0(46)J流過(guò)的空間長(zhǎng)度為0,L。定態(tài)熵產(chǎn)生率Pb正比于其幾率流J，當(dāng)J=0,Pj=0oB、原子定向擴(kuò)散原子系統(tǒng)受常

24、外力F作用時(shí)，產(chǎn)生定向擴(kuò)散，其過(guò)程可由FP方程描述。原子定向擴(kuò)散速K罟(47)J qV Jfst(q)二(n - Vpexp*) v( 48)幾率密度f(wàn)°(q) = n0 exp-(q)其中dexp(VL)1IDD 一 V定向擴(kuò)散原子系統(tǒng)的熵產(chǎn)生率帥詼0(49)其中l(wèi)nfst(L)fst(0)InFexpkT -IkT 丿 L(FLF 1+ 一kT L這兒卩=1.61; 入=0.38當(dāng) F=0 或 D=0,那么 J=0,故 Rf0。C分子馬達(dá)(略)上述計(jì)算雖都是一維的，公式(33)(34)實(shí)際 上可用于計(jì)算2維、3維、6維和6N維空間的熵 產(chǎn)生率，差異僅是其實(shí)際計(jì)算更為復(fù)雜。7、內(nèi)部

25、相互作用引起熵變化孤立系統(tǒng)的熵是否永遠(yuǎn)只增不減？生命和 宇宙為何都能抵抗熵增加定律而涌現(xiàn)自組織結(jié) 構(gòu)？是否因受某種未知的系統(tǒng)固有的熵減少力 量支配的結(jié)果？假設(shè)是，它的動(dòng)力學(xué)機(jī)理是什么？ 數(shù)學(xué)表達(dá)式又是什么？為了研究熵減少的起因，將6維相空間的非 平衡熵演化方程(28)改寫(xiě)成十一 S p D 2S pD2U ln fj% SJ2( ) (28a)kf1方程(28a)等式右邊第四項(xiàng) ()' Jvp為相互 作用位能 引發(fā)的熵密度變化率。對(duì)應(yīng)的熵變化 公式為。R(t) =( )dx=Ng q)c p j i -es(50)此式就是內(nèi)部相互作用力使非平衡系統(tǒng)宏觀熵 發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。它說(shuō)明，

26、非平衡系統(tǒng)的宏觀熵變化率R( t)等于相互作用力-q 離 開(kāi)平衡率的動(dòng)量空間梯度' p神口系統(tǒng)在12維和 6維兩個(gè)相空間離開(kāi)平衡率之差 _(日 _ H ) 11-e(2 1V三者之積的平均值再乘以N倍Boltzmann常數(shù)k?？梢宰C明，當(dāng)內(nèi)部粒子間的相互作用力是排斥力' q 0時(shí)，貝y Rt >0,系統(tǒng)的熵就增加；反之，當(dāng)內(nèi)部粒子間 的相互作用力是吸引力 c q0時(shí)，貝g r t<0,系統(tǒng)的熵就減少。公式50也就是非平衡 系統(tǒng)內(nèi)部吸引力導(dǎo)致熵減少而排斥力那么引起另 一種熵增加的共同表達(dá)式。這兒提出一個(gè)根本問(wèn)題：傳統(tǒng)的熵增加定 律，它的微觀物理機(jī)理究竟是什么？按照 B

27、oltzmann方程的結(jié)果，系統(tǒng)的宏觀熵增加是來(lái) 自其內(nèi)部微觀粒子間的短程排斥力作用、即碰 撞。照此推論，當(dāng)粒子間的相互作用力是吸引力 而非排斥力時(shí)，系統(tǒng)的熵并不增加反而減少， 熵 增加定律表述的熱力學(xué)第二律就不適用了。然而根據(jù)作者得到的熵增加定律公式 33 34,熵 增加定律是由粒子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)引起的，而與它 們間的相互作用力并無(wú)直接關(guān)系。因?yàn)殡S機(jī)運(yùn)動(dòng) 是統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的微觀粒子所固有的，故熵增加定律具有普遍意義。8 熱力學(xué)退化和自組織進(jìn)化的統(tǒng)一自然界演化有兩個(gè)方向：一是由熱力學(xué)第二 定律表述的熱力學(xué)退化，是系統(tǒng)自發(fā)趨向無(wú)序度 增加方向的衰敗性演化；另一是以生物學(xué)進(jìn)化為 典型的自組織進(jìn)化，

28、是系統(tǒng)自發(fā)趨向有序度增加 方向的新生性演化。如何統(tǒng)一熱力學(xué)退化和自組 織進(jìn)化？一直是非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理待解決的一 個(gè)重要課題。內(nèi)部有相互吸引作用的孤立系統(tǒng)的總熵變 化率公式為由34 50式得:S 2嚴(yán) kDC qi2t NkC q C J11-51此式說(shuō)明，孤立系統(tǒng)的總熵變化率是熵增加定律 公式和熵減少率公式兩者相加的結(jié)果。前者為 正，破壞有序結(jié)構(gòu)，是熱力學(xué)退化；后者為負(fù)， 產(chǎn)生有序結(jié)構(gòu)，是自組織進(jìn)化。假設(shè)僅有熵增加， 那么孤立系統(tǒng)的總熵只增不減，即仝一 0，系統(tǒng)日益無(wú)序化。然而，當(dāng)?shù)诙?xiàng)的熵減少出現(xiàn)且大于 第一項(xiàng)的熵增加時(shí)，孤立系統(tǒng)的總熵變化率就小 于零，即仝 7，因而就會(huì)自發(fā)涌現(xiàn)自組織結(jié)構(gòu)。

29、 內(nèi)部相互吸引力所導(dǎo)致的熵減少使孤立系統(tǒng)能 抵抗熵增加定律而涌現(xiàn)自組織結(jié)構(gòu)。由于大量自然系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力是正負(fù)中和的，即 ' q =0, 51式就只余下第一項(xiàng)。這就是傳統(tǒng)的 熵增加定律普遍有效的又一原因。宇宙作為一個(gè)孤立的非平衡系統(tǒng)，其內(nèi)部恒 星之間、星系之間的相互作用力是萬(wàn)有引力。根 據(jù)51式第二項(xiàng)，萬(wàn)有引力將使系統(tǒng)涌現(xiàn)新的 熵減少。它與第一項(xiàng)的熵增加抵消的結(jié)果，就可能使系統(tǒng)的總熵不再只增不減，因而原先有關(guān)宇 宙趨向熱寂的推論亦就顯得缺乏理論依據(jù)。假設(shè)系統(tǒng)是開(kāi)放的，熵可流入或流出。由非平 衡熵演化方程28兩邊對(duì)6維相空間積分即得 開(kāi)放系統(tǒng)的總熵變化率S2弋7CSv dA kDCi

30、2 t NkC J r p 11-界宀52其中C = C q,t為流體平均速度，A為系統(tǒng)的面 積，Sv = SVpdp為單位體積的熵密度。與51 式相比，52 式多了個(gè)熵流項(xiàng)。它說(shuō)明，開(kāi)放 系統(tǒng)的總熵變化率是由熵增加、熵減少和熵流三 者共同決定的。結(jié)果，只要熵流出與熵減少兩者 之和大于熵增加，系統(tǒng)就可以涌現(xiàn)自組織結(jié)構(gòu)。從公式5152看出，一方面，非平衡 系統(tǒng)的熵總是在增加產(chǎn)生，顯示出熱力學(xué)退 化力量的永恒存在；另一方面，當(dāng)內(nèi)部存在相互 吸引力時(shí)，非平衡系統(tǒng)同時(shí)有另一種形式的熵在自發(fā)減少，再加上系統(tǒng)向外界環(huán)境的熵流出，表 明了自組織進(jìn)化力量在蓄勢(shì)逞強(qiáng)。 二者同時(shí)共存 于一個(gè)系統(tǒng)和一個(gè)理論公式中，

31、互相對(duì)抗抵消， 形成了對(duì)立的統(tǒng)一。9、趨向平衡為何非平衡系統(tǒng)總要趨向平衡？這種過(guò)程 的機(jī)理是什么？如何定量描述？同樣是非平衡 態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中待解決的重要課題。 從非平衡熵演 化方程26 27的熵密度擴(kuò)散項(xiàng)D 2Sv和熵產(chǎn) 生率公式33 34使人們認(rèn)識(shí)到：系統(tǒng)趨向 平衡的過(guò)程就是由熵從高密度區(qū)向低密度區(qū)的 擴(kuò)散完成的，趨向平衡的速率是由熵?cái)U(kuò)散速率決 定的。隨著熵?cái)U(kuò)散過(guò)程的進(jìn)行，系統(tǒng)熵密度的梯 度不斷減小，總熵不斷增加。最后熵密度均勻化 并停止擴(kuò)散，總熵到達(dá)極大值，系統(tǒng)到達(dá)平衡。例題二：A、理想氣體絕熱自由膨脹由37 38式，熵密度擴(kuò)散率P廠(chǎng)D專(zhuān)*w黑計(jì)蟻甘(53)|2當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間t= -士(|很大，

32、圓柱半長(zhǎng)度) 時(shí)，F(xiàn)d=O，iS極大，系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)。B、布朗運(yùn)動(dòng)非平衡態(tài)幾率密度f(wàn)(q,t)=其中卜 a(t)廣1/2 expq - b(t)2 /a(t)+3。產(chǎn)a(t)二 am(1 - eDam -平衡態(tài)幾率密度b(t)Pd(54)(55)fo(q)二(Pm)"2 exp(55)(56)式，熵密度擴(kuò)散率kDf©：2Sqiamam2 aq 一 b(t)22a(t)q2、am(56)(1+ I n)(t) a(t) f。2qq- b(t) fama(t)am(57)(58)am2DPd二 0由上二例知，趨向平衡的時(shí)間正比于系統(tǒng)的線(xiàn)iS極大，系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)。性尺度的平方、反

33、比于擴(kuò)散系數(shù)10.平衡態(tài)系綜平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理應(yīng)是非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的 一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的特殊局部。在平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中，等幾率原理是其根本 假設(shè)，它說(shuō)明，孤立平衡態(tài)系統(tǒng)處于同一能量曲 面上的每個(gè)微觀狀態(tài)的幾率是相等的。根據(jù)這個(gè)根本假設(shè)，得到了微正那么系綜»o = p°H = Q *59其中系統(tǒng)的總能量 H和微觀狀態(tài)數(shù)Q都是常數(shù)。59式是劉維方程在平衡態(tài)時(shí)(60)的一個(gè)解。根據(jù)等幾率原理, 是常數(shù)，與空間坐標(biāo)孤立系統(tǒng)在平衡態(tài)時(shí)，% q無(wú)關(guān)，故5的擴(kuò)散項(xiàng)D0?？梢?jiàn)這種情況下，劉維擴(kuò)散方程6a復(fù)原為方程60的形式。這說(shuō)明，微正那么系綜59亦是劉維擴(kuò)散方程6a的一個(gè)平衡態(tài)解 有了微正那么系綜，同樣可得到正那么系綜和巨正那么系綜。11、結(jié)論 非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理作為一個(gè)獨(dú)立的主要理 論物理學(xué)科 , 能否像理論物理其它主要分支領(lǐng)域 一樣 , 以探尋完滿(mǎn)的根本方程為核心來(lái)建立起嚴(yán) 格、統(tǒng)一、 系統(tǒng)的理論？這個(gè)開(kāi)展方向， 看來(lái)應(yīng) 是肯定的。提出時(shí)間反演不對(duì)稱(chēng)的 6N 維相空間 反常朗之萬(wàn)方程或其等價(jià)的劉維擴(kuò)散方程作為 統(tǒng)計(jì)物理根本方程， 僅是一種根本假設(shè)， 說(shuō)明統(tǒng) 計(jì)熱力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律是由動(dòng)力學(xué)規(guī) 律和隨機(jī)性速度二者疊加而