高三一輪復(fù)習(xí)教案30_直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1、直線、平面平行的判定與性質(zhì)【2014高考會(huì)這樣考】1考查空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)有關(guān)命題的判定；2解答題中證明或探索空間的平行關(guān)系.【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為平面問(wèn)題，解答過(guò)程的敘述步驟要完整，避免因條件書(shū)寫(xiě)不全而失分；2學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問(wèn)題、線面問(wèn)題、面面問(wèn)題”的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問(wèn)題的根源在“定理”.知識(shí)點(diǎn)梳理1 .直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形arjVZ /L A條件a A a= ?a? a, b? a, a / ba / aa / a, a?aA 3=b結(jié)論a /ab / aa A a= ?a /

2、 b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形£7條件a A B= ?a? 3 , b? 3 , a A b=P , a / a, b / aall 3, aA y= a ,3A y= ba / 3, a? 3結(jié)論a / 3a/ 3a / ba / a難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .證明線面平行是高考中常見(jiàn)的問(wèn)題，常用的方法就是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行但一定要說(shuō)明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi).2 .在判定和證明直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，除熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理外，切不可丟棄定義，因?yàn)槎x既可作判定定理使用，亦可作性質(zhì)定理使用.3 輔助線（面）是解（證）線面平行的關(guān)鍵為了能利用

3、線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線 （面 ）基礎(chǔ)自測(cè)1. 已知不重合的直線 a, b和平面a,若a/ab? a貝a/b；若a/ab/ a貝a/b；若a/bb? a貝a/a；若a/ba/ a貝b/a 或 b? a.上面命題中正確的是（填序號(hào) ）答案 解析 若a / a, b? a,貝U a , b平行或異面；若a/ a, b/ a,貝U a , b平行、相交、 異面都有可能； 若a / b , b? a,則a / a或a? a2. 已知a、B是不同的兩個(gè)平面，直線 a? a ,直線b? 3,命題p： a與b沒(méi)有公共點(diǎn)；命題q： a/3 ,貝U P是q的條件.答案 必要不充分解析 a與

4、b沒(méi)有公共點(diǎn)，不能推出a/ 3而a/3時(shí)，a與b 一定沒(méi)有公共點(diǎn)，即pD? /q , q? p，二p是q的必要不充分條件.3. 已知平面a/平面3直線a? a,有下列命題：a與3內(nèi)的所有直線平行；a與3內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；a與3內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號(hào)是 .答案 解析 因?yàn)?a/3 a? a 所以 a/ 3 在平面 3內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與直線 a 平行 但不 是所有直線都與直線 a平行，故命題 為真命題,命題 為假命題.在平面 3內(nèi)存在無(wú) 數(shù)條直線與直線 a 垂直 故命題 為假命題.4. （2011浙江）若直線I不平行于平面 a,且l?a,則（）A . a內(nèi)的所有直線與I異面B

5、. a內(nèi)不存在與I平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與I平行D . a內(nèi)的直線與I都相交答案 B解析 由題意知，直線I與平面a相交，則直線I與平面a內(nèi)的直線只有相交和異面兩 種位置關(guān)系，因而只有選項(xiàng)B是正確的.5. （2012四川）下列命題正確的是（）A 若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B 若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C .若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D .若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案 C解析利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)解答.A錯(cuò)誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交

6、；B錯(cuò)誤， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中，A、B在a的同側(cè)，而點(diǎn)C在a的另一側(cè)，且 AB平行于 a,此時(shí)可有A、B、C三點(diǎn)到平面a的距離相等，但兩平面相交；D錯(cuò)誤，如教室中兩個(gè)相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個(gè)面相交，故選C.題型分類(lèi)題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)例 1】 正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于 AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q,且AP = DQ.求證：PQ/ 平面 BCE.思維啟迪：證明直線與平面平行可以利用直線與平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性質(zhì).證明方法一如圖所示.作 PM / AB 交 BE 于 M , 作QN / AB交BC于N , 連接MN.正方形 ABCD和正

7、方形 ABEF有公共邊 AB, / AE= BD.又 AP= DQ , PE = QB ,又 PM / AB / QN ,.PM_ PE_ QB _ QN'AB = AE= BD = DC， PM _ QN'AB = DC， PM綊QN,即四邊形PMNQ為平行四邊形, PQ / MN .又MN?平面BCE, PQ?平面BCE, PQ / 平面 BCE.方法二 如圖，連接AQ,并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于/ AE = BD ,AP= DQ , PE = BQ , apDQPEBQ ,又 AD / BK , DQAQBQQK, AP AQ PE = QK , PQ /EK.又PQ?平面BC

8、E，EK?平面BCE, PQ / 平面 BCE.方法三 如圖，在平面 ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作連接QM. PM / 平面 BCE,又/平面ABEF n平面BCE = BE, PM / BE, AP AM PE = MB,又 AE= BD ,AP= DQ , PE = BQ , AP DQ PE = BQ,AM DQ MB = QB, MQ / AD,又 AD / BC, MQ / BC, MQ / 平面 BCE,又 PM n MQ = M, BEn BC = B,平面PMQ /平面BCE，又 PQ?平面PMQ . PQ / 平面 BCE.探究提高判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定

9、義（無(wú)公共點(diǎn)）；（2）利7 / 16用線面平行的判定定理(a? a b? a a/ b? a / a; (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a匕a? a? a/ 3； (4)利用面面平行的性質(zhì) (all 3, a?3, a / a? a /變止川堀1如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是菱形， / BAD = 60° AB= 2, PA = 1 , RA丄平面 ABCD , E 是 PC 的中點(diǎn), F是AB的中點(diǎn).求證：BE /平面PDF.證明 取PD中點(diǎn)為M，連接ME , MF , E是PC的中點(diǎn), ME是厶PCD的中位線,1 ME 綊2CD./ F是AB的中點(diǎn)且四邊形 ABC

10、D是菱形，AB綊CD , ME綊FB, 四邊形MEBF是平行四邊形， BE/ MF./ BE?平面 PDF , MF?平面 PDF , BE /平面 PDF.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì) 【例2】 如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E, F , G , H分別是AB , AC ,A1B1 , A1C1的中點(diǎn)，求證：(1) B, C, H , G四點(diǎn)共面；(2) 平面 EFA1 / 平面 BCHG .思維啟迪：要證四點(diǎn)共面，只需證 GH / BC;要證面面平行，可證一個(gè)Pc.C平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個(gè)平面平行.證明 (1) / GH是厶A1B1C1的中位線， GH / B1C1.又

11、B1C1 / BC , GH / BC, B, C, H , G四點(diǎn)共面.(2) / E、F 分別為 AB、AC 的中點(diǎn)， EF / BC,/ EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG , EF / 平面 BCHG .T A1G 綊 EB,T AiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG.二 AiE/ 平面 BCHG.T AiEA EF = E, 平面 EFAi /平面 BCHG.探究提高 證明面面平行的方法：(1) 面面平行的定義；(2) 面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這 兩個(gè)平面平行；(3) 利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4) 兩

12、個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5) 利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.&式*疥, 證明：若一條直線與兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線平行于兩個(gè)平面的 交線.解 已知：直線a /平面 a直線a /平面3, aA 3= b.求證：a / b.證明：如圖所示，過(guò)直線 a作平面y 3分別交平面a, 3于直線m, n(m, n不同于交線b)，由直線與平面平行的性質(zhì)定理，得a / m, a / n,由平行線的傳遞性，得 m/ n,由于n? a, m? a,故n/平面a.又n? 3, aA 3= b,故 n/ b.又 a/ n ,故 a/ b.題型三平行關(guān)系的

13、綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱 AB和CD ,試問(wèn)截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？思維啟迪：利用線面平行的性質(zhì)可以得到線線平行，可以先確定截面形狀，再建立目標(biāo)函數(shù)求最值.解 TAB /平面 EFGH ,平面EFGH與平面 ABC和平面 ABD分別交于 FG、EH. AB / FG , AB / EH ,FG / EH,同理可證 EF / GH ,截面EFGH是平行四邊形.9 / 16設(shè)AB= a, CD = b, / FGH = a（a即為異面直線 AB和CD所成的角或其補(bǔ)角）.又設(shè)FG = x, GH = y,則由平面幾何知識(shí)可得G Lc B=X - _

14、y- bBGBC，兩式相加得x+b= i, a bby=a(a x),S?efgh = FG GH sin ab=x 孑(a x) sin a=bsin ax(a x)./ x>0, a x>0 且 x+ (ax) = a 為定值,當(dāng)且僅當(dāng)x= a x時(shí),bsin a亍 x(a x)=absin a4，此時(shí)即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大.探究提高 利用線面平行的性質(zhì)， 可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫(huà)法中,常用來(lái)確定交線的位置，對(duì)于最值問(wèn)題，常用函數(shù)思想來(lái)解決.變戈訓(xùn)練工 如圖，在正方體ABCD AiBiCiDi中，0為

15、底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè) Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn) Q在什么位置時(shí)，平面 D1BQ/平面PAO?解 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面 D1BQ /平面PAO.證明如下： Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)， QB / PA. P、O 分別為 DD1、DB 的中點(diǎn)， D1B / PO.又 D1 B?平面 PAO , PO?平面 PAO,QB?平面 FAO, PA?平面 FAO,- D1B /平面 FAO, QB /平面 FAO,又 D1B n QB= B, D1B、QB?平面 D1BQ,平面D1BQ /平面FAO.典例：（12分）如圖所示，在正方體 中占I 八、立體幾何中的探索性問(wèn)題

16、ABCD A1 B1C1D1 中，E 是棱 DD 1 的B11 / 16# / 16/ EBM為BE和圖(b)(1)求直線BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值；在棱CiDi上是否存在一點(diǎn) F，使BiF /平面AiBE?證明你的結(jié)論.審題視角(i)可過(guò)E作平面ABBiAi的垂線、作線面角；(2)先探求出點(diǎn)F，再進(jìn)行證明BiF /平面AiBE.注意解題的方向性.規(guī)范解答解 如圖所示，取AAi的中點(diǎn)M，連接EM , BM.因?yàn)镋是DD i的中點(diǎn)，四邊形 ADDiAi為正方形，所以 EM / AD.2分又在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AD丄平面ABBiAi,所以EM丄平面ABBiAi,從而

17、BM為直線BE在平面ABBiAi上的射影,平面ABBiAi所成的角.4分圖(a)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2,則 EM = AD = 2, BE=22 + 22 + i2 = 3.EM 2 八于是，在 Rt BEM 中，sin/ EBM =-, 5 分BE 32即直線BE和平面ABBiAi所成的角的正弦值為 §.6分在棱CiDi上存在點(diǎn)F，使BiF /平面AiBE.事實(shí)上，如圖(b)所示，分別取 CiDi和CD的中點(diǎn)F, G,連接BiF,EG, BG, CDi, FG.因AiDi/ BiCi / BC,且AiDi = BC,所以四邊形 Ai BCD i是平行四邊形，因此 DiC / AiB.

18、又E, G分別為DiD, CD的中點(diǎn)，所以 EG/ DiC，從而 EG / AiB.這說(shuō)明Ai, B, G, E四點(diǎn)共面.所以 BG?平面AiBE.8分因四邊形CiCDD i與BiBCCi皆為正方形，F(xiàn), G分別為CiDi和CD的中點(diǎn),所以 FG / CiC / BiB,且 FG = CiC = BiB,所以 BiF / BG, 10 分而 BiF?平面 AiBE, BG?平面 AiBE,故 BiF / 平面 AiBE.12 分答題模板對(duì)于探索類(lèi)問(wèn)題，書(shū)寫(xiě)步驟的格式有兩種：一種：第一步：探求出點(diǎn)的位置.第二步：證明符合要求.第三步：給出明確答案.第四步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.另

19、一種：從結(jié)論出發(fā)，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，尋求使結(jié)論成立的充分條件，類(lèi)似于分析法.溫馨提醒 （i）本題屬立體幾何中的綜合題，重點(diǎn)考查推理能力和計(jì)算能力.第問(wèn)常見(jiàn)錯(cuò)誤是無(wú)法作出平面 ABBiAi的垂線，以致無(wú)法確定線面角.（3）第（2）問(wèn)為探索性問(wèn)題， 找不到解決問(wèn)題的切入口，入手較難.（4）書(shū)寫(xiě)格式混亂，不條理，思路不清晰.思想方法感悟提高方法與技巧1 平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系世歳集專看踐卅面，冷面才面謹(jǐn)航f2 直線與平面平行的主要判定方法（i）定義法；（2）判定定理；（3）面與面平行的性質(zhì).3.平面與平面平行的主要判定方法（i）定義法；（2）判定定理；（3）推論；（4）a丄a，a丄價(jià)

20、a/ 3-失誤與防范i. 在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2 .在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”.解題中注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范應(yīng)用.13 / 16練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）1. 若直線m?平面a,則條件甲：“直線I / a”是條件乙：“ I/ m”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分

21、也不必要條件答案 D2. 已知直線a, b, c及平面a, 3,下列條件中，能使 a/ b成立的是（）A . a / a, b? aB . a / a, b / aC. a / c, b/ cD . a/ a, aA 3= b答案 C解析 由平行公理知 C正確，A中a與b可能異面.B中a, b可能相交或異面，D中a,b可能異面.3. 在梯形ABCD中，AB / CD , AB?平面a, CD?平面a,則直線CD與平面a內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是（）A .平行B .平行和異面C .平行和相交D .異面和相交答案 BAB / CD、解析/ AB? a ? CD / a,CD?a CD和平面a內(nèi)的直線

22、沒(méi)有公共點(diǎn).4.設(shè) m、n 表:示/不同直線，a、3表示不冋平面，則下列結(jié)論中正確的是A .若m /a,m /n,則n/aB .若m?a,n?3, m /3,n / a,貝9 a/ 3C .若all3,m /a , m /n ,則 n/3D .若all3,m /a, n /m ,n? 3 貝U n /3答案D解析D 中,易知m /3或m? 3,若 m? B,又 n / m, n? 3, / n / 3,若m / 3過(guò)m作平面 丫交平面3于直線p,則m / p,又n / m,. n / p，又n?3, p? 3/ n /3二、填空題（每小題5分，共15分）5. 過(guò)三棱柱ABC AiBiCi的任意

23、兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABBiAi平行的直線共有條.答案 6解析 過(guò)三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，記AC, BC, A1C1, B1C1的中點(diǎn)分別為 E, F, E1, F1,則直線 EF, E1F1, EE1, FF1, E1F, EF1 均與平面 ABB1A1平行，故符合題意的直線共 6條.6. 如圖所示，ABCD A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下 底面的棱 A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱 AD上的一點(diǎn)，AP = 3 過(guò)P、M、N的平面交上底面于 PQ, Q在CD上，貝U PQ =.答案232a解析 I平面ABCD /平面A1B1C1

24、D1, MN / PQ.t M、N 分別是 A1B1、B1C1 的中點(diǎn)，AP =號(hào),a2a _2 2CQ = 3，從而 DP = DQ = 3, - PQ = a.7. 如圖所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是 棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則 M滿足條件 時(shí)，有MN /平面 B1BDD1.答案 M 線段HFD Q C解析 由題意，得HN /面B1BDD1, FH /面B1BDD1./ HN n FH = H , 面 NHF / 面 B1BDD1.當(dāng)M在線段HF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 MN /面B1BDD1.三、

25、解答題洪22分）8. （10分）如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點(diǎn) P是平面ABCD外一點(diǎn)，MBM是PC的中點(diǎn)，在 DM上取一點(diǎn) G,過(guò)G和AP作平面，交平面 BDM于GH.求證：PA / GH.證明如圖，連接AC交BD于點(diǎn)0,連接M0 ,四邊形ABCD是平行四邊形， 0是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)， AP / 0M .則有FA/平面BMD .平面FAHG門(mén)平面BMD = GH , FA / GH .9. (12分)如圖，已知平行四邊形 ABCD中，BC= 6,正方形ADEF所在 平面與平面 ABCD垂直，G , H分別是DF , BE的中點(diǎn).(1) 求證：GH /平面CDE ;(2)

26、若CD = 2, DB = 4.2，求四棱錐 FABCD的體積.(1)證明 方法一 / EF / AD , AD / BC, EF / BC.又EF = AD = BC, 四邊形EFBC是平行四邊形, H為FC的中點(diǎn).又 G是FD的中點(diǎn)， HG / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE, GH / 平面 CDE.方法二 連接EA, / ADEF是正方形， G是AE的中點(diǎn).EAB 中，GH / AB.又 AB/ CD , GH / CD./ HG?平面 CDE , CD?平面 CDE, GH / 平面 CDE.解 /平面 ADEF丄平面ABCD，交線為 AD , 且FA丄AD ,

27、 FA丄平面ABCD.AD = BC = 6, FA = AD = 6.又 CD = 2, DB = 4 2, CD2+ DB2= BC2, / BD 丄CD.T S?abcd = CD BD = 8 2,1 1-VF ABCD = §S?ABCD FA =&："2 X 6= 16計(jì)2B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）一、選擇題（每小題5分，共15分）1.設(shè)m, n是平面a內(nèi)的兩條不同直線；11，12是平面B內(nèi)的兩條相交直線，則all 3的一個(gè)充分而不必要條件是（）A . ml 3 且 111 aB . m l “ 且 n/ I2C. m / 3且 n

28、 /3D. m / 3且 n/ I2答案 B解析 對(duì)于選項(xiàng)A，不合題意；對(duì)于選項(xiàng) B,由于11與12是相交直線，而且由I, m可得 J a,同理可得12/ a,故可得all 3,充分性成立，而由all 3不一定能得到h l m,它們也可以異面，故必要性不成立，故選B;對(duì)于選項(xiàng) C,由于m, n不一定相交，故是必要非充分條件；對(duì)于選項(xiàng)D，由于n / 12可轉(zhuǎn)化為n/ 3,同選項(xiàng)C,故不符合題意.綜上選B.2 .下面四個(gè)正方體圖形中，A, B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)， M , N, P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB/平面MNP的圖形是A .答案 ANB .C.D .19 / 1621 / 16解析 由線面平行的判定定理知圖 可得出AB/平面MNP.# / 163.給出下列關(guān)于互不相同的直線I、m、n和平面a伙丫的三個(gè)命題: 若I與m為異面直線，I? a, m? 3,則a/ 3； 若 a/ 3 I? a m? 3 貝U I / m； 若 ad 3= I,盯尸 m,滬 a= n ,1 / y 貝V m / n.其中真命題的個(gè)數(shù)為A. 3B. 2C. 1D. 0答案 C解析 中當(dāng)a與3不平行時(shí)，也能存在符合題意的I、m.中I與m也可能異面.I 丫中 3? I / m,同理I / n ,則m / n ,正確.3d = m、填空