線段的垂直平分線（一）教學(xué)設(shè)計

1、第一章 證明（二）3線段的垂直平分線(一) 河南省鄭州八中 劉正峰一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生對于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因為在七年級學(xué)習(xí)生活中的軸對稱中學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1知識目標(biāo)：經(jīng)歷探索、猜測過程，能夠運(yùn)用公理和所學(xué)過的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2能力目標(biāo)：經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果 3情感與價值觀要求 能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)

2、學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)是寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題。難點(diǎn)是兩者的應(yīng)用上的區(qū)別及各自的作用。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探究新課；第三環(huán)節(jié)：想一想；第四環(huán)節(jié)：做一做 ；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用在七年級時研究過線段的性質(zhì)，線段是一個軸對

3、稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成進(jìn)一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎?”教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等同時，教師板演本節(jié)的題目：13 線段的垂直平分線(一)第二環(huán)節(jié)：探究新知第一環(huán)節(jié)提出問題后，有學(xué)生提出了一個問題：“要證線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，可線段垂直平分線上的點(diǎn)有無數(shù)多個，需一個

4、一個依次證明嗎?何況不可能呢”教師鼓勵學(xué)生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，有學(xué)生提出：“如果一個圖形上每一點(diǎn)都具有某種性質(zhì)，那么只需在圖形上任取一點(diǎn)作代表，就可以了”教師肯定該生的觀點(diǎn)，進(jìn)一步提出：“我們只需在線段垂直平分線上任取一點(diǎn)代表即可，因為線段垂直平分線上的點(diǎn)都具有相同的性質(zhì)”已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點(diǎn)求證：PA=PB分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等證明：MNAB，PCA=PCB=90°AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) ；PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)教師用多媒體完整演示證

5、明過程同時，用多媒體呈現(xiàn)：第三環(huán)節(jié)：想一想你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個命題不是“如果那么”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果那么”的形式，逆命題就容易寫出鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”結(jié)論是“這個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等”此時，逆命題就很容易寫出來“如果有一個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，那么這個點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明請同學(xué)們自行在練習(xí)冊上完成學(xué)生給出了如下的四種證法。證法一：已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)

6、一點(diǎn)且PA=PB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證明：過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，RtPACRtPBC(HL定理)AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法二：取AB的中點(diǎn)C，過PC作直線AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)又PCA+PCB=180°，PCA=PCB=90°，即PCABP點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法三：過P點(diǎn)作APB的角平分線AP=BP，1=2，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)又PCA+PCB=180

7、6;PCA=PCB=90°P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上證法四：過P作線段AB的垂直平分線PCAC=CB，PCA=PCB=90°，P在AB的垂直平分線上四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問：“前三個同學(xué)的證明是正確的，而第四個同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂”師生共析：如圖(1)，PD上AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB這說明一般情況下：過P作AB的垂直平分線“是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四個同學(xué)的證法是錯誤的從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，(1)(2)我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理我們曾用折紙的方法折出過線段的

8、垂直平分線現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢?第四環(huán)節(jié)：做一做 活動內(nèi)容：用尺規(guī)作線段的垂直平分線活動目的：探索尺規(guī)方法作線段垂直平分線的思路與過程以及體驗其中的演繹思維過程。活動過程：用尺規(guī)作線段的垂直平分線要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù)師生共析已知：線段AB(如圖)求作：線段AB的垂直平分線作法：1分別以點(diǎn)A和B為圓心，以

9、大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D2作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線師根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎?請與同伴進(jìn)行交流生從作法的第一步可知 AC=BC，AD=BDC、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)CD就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線)師我們曾用刻度尺找線段的中點(diǎn)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn)活動效果及注意事項：活動時可以先讓學(xué)生討論，然后點(diǎn)名學(xué)生板演，下面學(xué)生可以模仿著做，最后教師進(jìn)行歸納和總結(jié)。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)課本P261如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果ECD=60°，那么EDC= 解：AB是線段CD的垂直平分線，EC=ED又EC=7 cm，ED=7 cmEDC=ECD=60°2已知直線l和l上一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P已知：直線l和l上一點(diǎn)P求作：PCl作法：l、以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑作弧，直線L相交于點(diǎn)A和B2作線段AlB的垂直平分線PC直線PC就是所求的垂線第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學(xué)會用尺規(guī)作線段的垂直平分線 第七環(huán)節(jié)