習題1-3-行列式的性質

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1、用行列式的性質計算下列行列式：；【分析】可見行列式中1，2兩列元素大部分數字是相等的，列差同為1000，易于化為下三角行列式，于是，【解法一】。【解法二】。；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行計算。【解】。；【分析】將第一行加到以下各行即成為上三角行列式，【解】。2、把下列行列式化為上三角形行列式，并計算其值：；【解法一】?！窘夥ǘ俊！痉治觥吭撔辛惺綄儆谕性刂拖嗟鹊念愋停瑧獙?，3，4列加到第1列：【解】。3、設行列式，依下列次序對進行變換后，求其結果：交換第一行與第五行，再轉置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。

2、【解】交換第一行與第五行，行列式變號，結果為；再轉置，行列式的值不變，；用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，這等于用乘以行列式，結果為；再用(-3)乘以第二列加到第四列，這是倍加，行列式的值不變，結果仍為；最后用4除第二行各元素，即第二行有公因，這等于用乘以行列式，結果為。4、用行列式的性質證明下列等式：；【證法一】左邊=右邊，證畢。【證法二】右邊=左邊，證畢?！咀C法三】左邊=+0+0+0=右邊，證畢。【證法一】左邊=右邊=，對比即得 左邊=右邊，證畢。【證法二】左邊=+=右邊，證畢。5、計算下列行列式：；【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應將2列以后各列加到第1列：【解】設為n

3、階行列式，則每行中有1個，n-1個a，于是=。；【分析】該行列式主對角線以下元素與首行元素對應為相反數，因此，將首行加到以下各行，將化為上三角行列式。【解】。；【分析】這是為n+1階行列式。該行列式主對角線以下元素與首行元素對應相等，因此，將首行的-1倍加到以下各行，將化為上三角行列式。【解】。，其中?！痉治觥繛榛缮先切辛惺剑殞⑾路皆厝癁?，這樣就需要次第地（以一定順序，一個接一個地），將化為-1后加到第1列，將化為-1后加到第2列，.，將化為-1后加到第1列?！窘狻?=上述的n次列倍加運算也可以疊加進行：6、解下列方程：；【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，注意到1，2兩

4、行及3，4兩行有較多的相同元素，得：左邊=，原方程為，即得4個根為，。；【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，將第一行的-1倍加到以下各行即成為上三角行列式。左邊=，原方程為，即得n-1個根為，()7、 設n階行列式，把上下翻轉，或逆時針旋轉90o，或依副對角線翻轉，依次得，證明，。【證明】，這就是將變換成：，由于把上下翻轉得到，翻轉變換中，元素的列碼仍為列碼，順序沒變，行碼則由順序變成了逆序。由于排列變成要經過次對換，可知把上下翻轉得到，須經過次行對換，從而。證畢。，這就是將變換成：，由于把逆時針旋轉90o得到：旋轉變換中，元素的第一碼變成了第二碼，都作為行碼看待時，由順序變成為逆序

5、；而第二碼變成了第一碼，都作為列碼看待時，順序不變，由于排列變成要經過次對換，可知把旋轉90o得到，須經過次對換，從而。證畢。這就是將變換成：，由于把依副對角線翻轉得到：翻轉變換中，元素的第一碼變成了第二碼，都作為行碼看待時，由順序變成為逆序；第二碼變成了第一碼，都作為列碼看待時，由順序變成為逆序，從而，把依副對角線翻轉得到，須經過次偶數對換，從而。證畢。8、已知255，459，527都能被17整除，不求行列式的值，證明行列式能被17整除。【分析】若行列式的任一項含有255，459，527這三個數之一，則行列式必能被17整除，而這樣只須行列式中有一行以255，459，527這三個數之一為元素即可，經觀察，行列式第一列恰有2，5，5，作行倍加即可得