二維隨機變量函數(shù)的分布（課堂PPT）

1、退出退出退出退出退出退出退出退出返回返回 在離散量的分布列中在離散量的分布列中, 對對X , Y 所有能所有能使函數(shù)使函數(shù) Z 取同一值的全部取值概率進行取同一值的全部取值概率進行歸并歸并 ( 例如例如, 固定一個變量的取值固定一個變量的取值, 然后然后尋找另一變量與其之和為同一值的取值尋找另一變量與其之和為同一值的取值概率概率), 所得之和即是函數(shù)所得之和即是函數(shù) Z 在同一可取在同一可取之值上的取值概率之值上的取值概率.1. 離散變量之和的分布列可用歸并法求之離散變量之和的分布列可用歸并法求之Z = XY試求試求 的分布列的分布列退出退出返回返回例例1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 ( X, Y

2、) 的聯(lián)合分布列如下的聯(lián)合分布列如下ZXY 在聯(lián)合分布列中對使在聯(lián)合分布列中對使 Z解解 Z 所有可能的取值顯然為所有可能的取值顯然為 0，1，2, , 8 . Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.060.060.050.05可取同一值的可取同一值的X 與與Y的取

3、值概率進行歸并的取值概率進行歸并, 即得即得Y 的分布律如下的分布律如下00.020.020.240.240.190.190.130.130.060.0601P5432Z6780.190.190.120.120.050.05退出退出2. 連續(xù)變量之和的概率密度可用卷積公式求之連續(xù)變量之和的概率密度可用卷積公式求之 利用分布函數(shù)轉(zhuǎn)化法可以證明利用分布函數(shù)轉(zhuǎn)化法可以證明: 將聯(lián)合概率密度中的任一變量改寫成將聯(lián)合概率密度中的任一變量改寫成和變量與另一變量的差和變量與另一變量的差, 然后關(guān)于另一然后關(guān)于另一變量在變量在 ( , ) 上積分上積分, 即得和的即得和的概率密度概率密度:返回返回Zfzzf

4、xx dx( ,( ) Zfy yfzdyz (, )( ) 或或Z = XY退出退出( )ZFz證證 Z 的分布函數(shù)的分布函數(shù)( , )z x dxf x y dy P XYz ( , )xy z f x y dxdy ( )Zfz( )ZdFzdz(,)ytxz fx tx dt dx P Zz Z 的概率密度的概率密度返回返回 例例2-12-1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量( X，Y ) )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 f ( x，y ) . 證明證明 Z = XY 的概率密度的概率密度Zfzzf xx dx( ,( ) 或或Zfy yfzdyz (, )( ) ( ,)zd f x tx

5、dt dxdz ( ,)zd f x tx dx dtdz f x zx dx ( ,) XY0 x + y = z退出退出( )ZFz證證( , )zy dyf x y dx P XYz ( , )xy z f x y dxdy ( )Zfz( )ZdFzdz(,)xtyz f ty y dt dy P Zz Z 的概率密度的概率密度返回返回 例例2-12-1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量( X，Y ) )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 f ( x，y ) . 證明證明 Z = XY 的概率密度的概率密度Zfzzf xx dx( ,( ) 或或Zfy yfzdyz (, )( ) (, )zd f

6、 ty y dt dydz (, )zd f ty y dy dtdz(, ) f zy y dy XY0 x + y = z類似地類似地, 退出退出例例2-2 兩標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量兩標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量 X 與與Y 相互獨立相互獨立, 求其和求其和的概率密度的概率密度.ZXY 解解( , )( )( )XYf x yxy 22()2212zxxeedx 22221122xyee,)()Zfzzf xdxx 22()4212xzz eedx 2412z e 返回返回于是于是, 依卷積公式即得依卷積公式即得(0,1) ,(0,1) ,XN YN 且相互獨立且相互獨立 , 聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度即即2tedt 2

7、412z e 24122z e ZN .(0,2)3. 若干重要獨立量的和的分布可加性若干重要獨立量的和的分布可加性 換言之換言之, 如果相互獨立的隨機變量如果相互獨立的隨機變量 Xi N ( i ,i2 ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其任意的線性組合量其任意的線性組合量 Z = b 1 X1+ b 2 X2+ b k X k 也是正態(tài)量，且有也是正態(tài)量，且有kkiiiiiiZbb2211 N ( , )退出退出返回返回Z = XY 有限個相互獨立的正態(tài)量的線性組合仍然有限個相互獨立的正態(tài)量的線性組合仍然是正態(tài)量是正態(tài)量.3. 若干重要獨立量的和的分布可加性若干重要獨立量的和的

8、分布可加性 換言之換言之, 如果相互獨立的隨機變量如果相互獨立的隨機變量 Xi B ( ni , p ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其和變量其和變量 Z = X1 + X2 + + X k 也是二項分布量，且有也是二項分布量，且有kiiZnp1 B ( , ) 退出退出返回返回Z = XY是二項分布量是二項分布量. 因此因此, 服從服從B ( n , p )的二項分布量是的二項分布量是 n 個相互獨立的個相互獨立的 0-1量之和量之和. 有限個相互獨立的同類二項分布量之和仍然有限個相互獨立的同類二項分布量之和仍然3. 若干重要獨立量的和的分布可加性若干重要獨立量的和的分布可加性

9、kiiZ1 P ( ) 退出退出返回返回Z = XY 有限個相互獨立的泊松量之和仍然是泊松量有限個相互獨立的泊松量之和仍然是泊松量. 換言之換言之, 如果相互獨立的隨機變量如果相互獨立的隨機變量 Xi P ( i ), i = 1, 2, , k 那么那么, 其和變量其和變量 Z = X1 + X2 + + X k 也是泊松量，且有也是泊松量，且有退出退出例例2-4 兩兩 0 ,1 上的均勻量上的均勻量 X 與與Y 相互獨立相互獨立, 試求和變量試求和變量的概率密度的概率密度.ZXY 解解1,01( )0,Xxfx ，其其它它( )(),01010,XYfx fdx xzx z x 其其它它且

10、且1,01( )0,Yyfy 其其它它()()XYZfzzxfx fdx 返回返回于是于是, , 依卷積公式依卷積公式, , 即得即得XY R(0,1) , R(0,1) ,且相互獨立且相互獨立 , 概率密度概率密度1ZXOz = x + 1z = x1x = z例例2-4 兩兩 0 ,1 上的均勻量上的均勻量 X 與與Y 相互獨立相互獨立, 試求和變量試求和變量的概率密度的概率密度.ZXY 解解1,01( )0,Xxfx ，其其它它1,01( )0,Yyfy 其其它它XY R(0,1) , R(0,1) ,且相互獨立且相互獨立 , 概率密度概率密度()()XYZfzzxfx fdx 于是于是

11、, 依卷積公式依卷積公式, 即得即得01, 01zdx z 111, 12zdx z 0 , 其其它它 , 012, 120 , z z z z 其其它它1ZXOz = x + 11x = zx = 1 - z退出退出返回返回退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) ) 如果隨機變量如果隨機變量 X 和和Y 相互獨立，分布函數(shù)依次相互獨立，分布函數(shù)依次為為FX ( x ) 和和FY ( y ) ，則最大值，則最大值 M = max ( X，Y ) 與最小值與最小值N = min( X，Y ) 的分布函數(shù)必依次為的分布函數(shù)必依次為MXYFm Fm

12、Fm()()() NXYFn Fn Fn ( )1 1( ) 1( ) 即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于1 ）的補數(shù)之積的補數(shù)）的補數(shù)之積的補數(shù)1. 最值分布的分布函數(shù)最值分布的分布函數(shù)退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) ) 即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于1 ）的補數(shù)之積的補數(shù)）的補數(shù)之積的補數(shù)1. 最值分布的

13、分布函數(shù)最值分布的分布函數(shù)XY Fm Fm ()() ; 【最值分布函數(shù)計算式的證明】【最值分布函數(shù)計算式的證明】MFm P Mm () P X Ym max(,) P Xm Ym , P Xm P Ym 退出退出返回返回NFn P Nn ( )XY Fn Fn 1 1( ) 1( ) P Nn 1 P X Yn 1 min(,) P Xn Yn 1, P Xn P Yn 1 M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) )1. 最值分布的分布函數(shù)最值分布的分布函數(shù)【最值分布函數(shù)計算式的證明】【最值分布函數(shù)計算式的證明】 即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值

14、的分布即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于1 ）的補數(shù)之積的補數(shù)）的補數(shù)之積的補數(shù)退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) )111(),( ),kkij Mk Xk Yi Xj Yk 111kkk ij kij p p 即最大值的分布列是聯(lián)合分布列中兩變量即最大值的分布列是聯(lián)合分布列中兩變量取不超過同一可取取不超過同一可取 k 值的所有概率的總和值的所有概率的總和2. 離散變量的最值分布列可由聯(lián)合分布列直接歸并離散變量的最值分布列可由聯(lián)合分布列直接歸并【依據(jù)】【依據(jù)】111,kkij

15、 P Mk P Xk Yi P Xj Yk 退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) )1()(, )i kj k Nk Xk Yi Xj Yk 1k ij ki kj k p p 即最小值的分布列是聯(lián)合分布列中兩變量即最小值的分布列是聯(lián)合分布列中兩變量取不小于同一可取取不小于同一可取 k 值的所有概率的總和值的所有概率的總和2. 離散變量的最值分布列可由聯(lián)合分布列直接歸并離散變量的最值分布列可由聯(lián)合分布列直接歸并【依據(jù)】【依據(jù)】1,i kj k P Mk P Xk Yi P Xj Yk 退出退出返回返回例例2-12-1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量（X

16、，Y ) )的分布律的分布律為為Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.060.060.050.05試求試求 max ( X，Y ) )與與min ( X，Y ) )的的分布律分布律. .M 取其中任一取其中任一M = max ( X，Y ) 的取值范圍顯然為的取值范

17、圍顯然為05 , 解解值值 i 的概率的概率 ( 即分布律即分布律 ) 為為M012345p00.040.160.280.240.28退出退出返回返回例例2-12-1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量（X，Y ) )的分布律的分布律為為Y X01234500 00.010.010.030.030.050.050.070.070.090.0910.010.010.020.020.040.040.050.050.060.060.080.0820.010.010.030.030.050.050.050.050.050.050.060.0630.010.010.020.020.040.040.060.060.06

18、0.060.050.05試求試求 max ( X，Y ) )與與min ( X，Y ) )的的分布律分布律. .N 取其中任一取其中任一N = min ( X，Y ) 的取值范圍為的取值范圍為03 , 同理同理, 值值 i 的概率的概率 ( 即分布律即分布律 ) 為為N0123p0.300.250.170.28退出退出返回返回M = max ( X，Y ) )與與 N = = min( X，Y ) ) 如果隨機變量如果隨機變量 X 和和Y 相互獨立，分布函數(shù)依次相互獨立，分布函數(shù)依次為為FX ( x ) 和和FY ( y ) ，則最大值，則最大值 M = max ( X，Y ) 與最小值與最小

19、值 N = min( X，Y ) 的分布函數(shù)必依次為的分布函數(shù)必依次為MXYFm Fm Fm()()() NXYFn Fn Fn ( )1 1( ) 1( ) 即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布即最大值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)之積，最小值的分布函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于函數(shù)是邊緣分布函數(shù)（關(guān)于1 ）的補數(shù)之積的補數(shù)）的補數(shù)之積的補數(shù)3. 連續(xù)變量的最值概率直接由分布函數(shù)計算連續(xù)變量的最值概率直接由分布函數(shù)計算退出退出返回返回 例例2-22-2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Xi (i =1, 2,5)是相互獨立的服從同一是相互獨立的服從同一分布的連續(xù)隨機變量，分布的連續(xù)隨機變量，概率密度概

20、率密度為為求求 M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的的分布函數(shù)以及概率分布函數(shù)以及概率 P M 4 . .xxe xf x x28,0( )40,0 各各 Xi 的分布函數(shù)都為的分布函數(shù)都為281,0( )( )0,0 xxXe xFxf t dt x 從而，從而， M = max ( X1，X2， X3，X4 ，X5 ) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解15 ()max MiiFmMmmPPX 12345,P XXXmm XXmmm 51iimP X 51()XimF 2585(1) ,0( )0,0 xXe xFx x 1441(4)MMMF P P 251(1)0.5

21、167e 退出退出返回返回 例例2-32-3 某型電子管壽命某型電子管壽命( (小時小時) )服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 求任取求任取4 4只只, , 無一只的壽命小于無一只的壽命小于180180小時的小時的概率概率. .2(160,20 )1,2,3,4,iXN , i =且各且各Xi (i =1, 2, 3 3, 4) 相互獨立相互獨立. .解解2(160,20 )N .以以Xi (i =1, 2, 3 3, 4) 分別記分別記4 4只電子管的壽命只電子管的壽命，則顯然則顯然令令N = min X1, X2, X3 3, X4 ，則應(yīng)求的概率則應(yīng)求的概率801P N 411 11()180

22、iXi F 4181()0 16020 11180()018NPFN 41( )14(10.84131) 0.000634 相互獨立時相互獨立時, k 個隨機變量最大值的分布函數(shù)個隨機變量最大值的分布函數(shù)等于各變量分布函數(shù)的乘積，多維隨機變量最小等于各變量分布函數(shù)的乘積，多維隨機變量最小值的分布函數(shù)等于各變量分布函數(shù)值的分布函數(shù)等于各變量分布函數(shù)( 關(guān)于關(guān)于1 ) 的補的補數(shù)之積的補數(shù)數(shù)之積的補數(shù), 即即iXMkiFm Fm 1()(, iXNki FFn n1( )1 1( ) 退出退出返回返回4. 多維獨立隨機變量最值分布的一般性結(jié)論多維獨立隨機變量最值分布的一般性結(jié)論ii kNX1min

23、 ii kMX1max 若若 k 個隨機變量同分布個隨機變量同分布(包括同參數(shù)包括同參數(shù)), 則有則有XMkFm Fm()(), XNk Fn F n 1 1)() 其中其中, FX ( x ) 表各隨機變量共同的分布函數(shù)表各隨機變量共同的分布函數(shù).求求 的概率密度的概率密度.退出退出*例例3-1 設(shè)設(shè) X 與與Y 相互獨立相互獨立, 概率密度分別為概率密度分別為ZXY解解 依卷積公式依卷積公式( )ZFz1()01, 0100,zxedx x zx 且且其其它它( )()XYfx fzx dx zz xzedxdx z 1()00,01 返回返回z xedx z 1()0,1 z0,0 ,(

24、 ).,yYe yfy 00其其它它,( ),X xfx 1010其其它它1, 01ze z (1),1zee z 0,0 z 1ZXO1z = xx =1退出退出返回返回 例例3-23-2 隨機變量隨機變量（X，Y ) )的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律如右表所示如右表所示 :1 12 23 31 11/61/61/91/91/61/62 21/181/181/91/91/181/183 31/61/61/91/91/181/18XYjp ip 試求概率試求概率 P X=2 | Y=2 以以及及 max ( X，Y ) )的的分布律分布律. .解解兩邊緣分布列如聯(lián)合兩邊緣分布列如聯(lián)合分布列加邊后算出

25、的數(shù)字所示分布列加邊后算出的數(shù)字所示.8 / 188 / 184 / 184 / 186 / 186 / 187 / 187 / 18 6 / 186 / 185 / 185 / 1822.21/914/182pp 條件概率條件概率 M = max( X, Y ) 的分布律的分布律1232,22|22P XYPP XYY 1 / 6MP Mk 518 1018 16退出退出125,XXX21,0( )20 ,xexf x 其它* *例例3-33-3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量試求隨機變量試求隨機變量解解各各Xi 的分布函數(shù)的分布函數(shù)21,0( )( )0 ,xxXXexFxft dt 其它521,0

26、0 ,nex 其它5()()MXmFmF ()()MMdFmdmfm 4225(1) ,020 ,mmeem 其它5 1 ( )1( )NXFnFn 返回返回125max, ,MXXX 相相概率密度皆為概率密度皆為互獨立互獨立, , 服從同一分布服從同一分布, ,的概率密度的概率密度. .125min,NXXX 525,0( )2(,)0nNNdexFndnfn 其它課外書面練習(xí)退出退出返回返回概率統(tǒng)計練習(xí)冊概率統(tǒng)計練習(xí)冊 P19：1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (二維離散與連續(xù)隨機變量基礎(chǔ)知識二維離散與連續(xù)隨機變量基礎(chǔ)知識) P20: 2.(求二維離散變量的聯(lián)合分布律求

27、二維離散變量的聯(lián)合分布律) 3.(求聯(lián)合概率密度的未知參數(shù)與計算概率求聯(lián)合概率密度的未知參數(shù)與計算概率) 參考答案參考答案退出退出返回返回(6) , ,(3) , ,(4) , ,(2) , 以及1 (1) ,(, )0Fy ,Xx YyXxYy ( , ),F x yP Xx Yy ( , )( , )xyF x yduf u v dv ( , )( , )GPx yGf x y dxdy ( ,)0F x (,)1F 13( , )dxf x y dy 2( , )( , )F x yf x yx y 3 c 7012P Y 5112P X ( , )1f x y dxdy (,),iji

28、jxx yyFx yp XxYy (5)4( , )xdxf x y dy ( , )( , )xyF x yduf u v dv 1.5( , )dxf x y dy參考答案參考答案退出退出返回返回*23 (1) (2)116k5412P XY(3) (4)451.564P X0X013. jp1Y3/8231/831,316P XY3/83/83/80001/86/81/8. ip2/81/8課外書面練習(xí)概率統(tǒng)計練習(xí)冊概率統(tǒng)計練習(xí)冊P21, P22 P21: 4. (二維均勻與正態(tài)量與邊緣概率密度基礎(chǔ)知識二維均勻與正態(tài)量與邊緣概率密度基礎(chǔ)知識) 5. (求聯(lián)合概率密度的未知參數(shù)與邊緣概率密

29、度求聯(lián)合概率密度的未知參數(shù)與邊緣概率密度) P22： 6. (求二維隨機變量的取值概率與邊緣概率密度求二維隨機變量的取值概率與邊緣概率密度) 7. (求二維均勻量的聯(lián)合概率密度及其函數(shù)值求二維均勻量的聯(lián)合概率密度及其函數(shù)值) (3) , .(3) , .參考答案參考答案退出退出返回返回(2)(2)(2) (2) 均勻分布均勻分布 , 面積面積 , 1 , 4 (1) 4 (1) 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布 , ,f xdxy( , ) N221122(,;,;) 212(34), 015 0 , ( ) Yfyyyyy 其它C24=4.8 5 2312(2), 015 0 , ) (Xfxxxx

30、 其它AA15 (1)5 (1)fy dyx( , ) 參考答案參考答案退出退出返回返回(2)(2)6 6 yYyeyfy, 0( ) 0 , 其它P XYee131,3)1 Xf (2)14 yf xDyx1 , ( , )20 , ( , ) 其它Xxfxxe21, 1 ,2 0 , ( ) 其它 7 (1)7 (1)xXexxf ( ) 0 , , 0 其它課外書面練習(xí)概率統(tǒng)計練習(xí)冊概率統(tǒng)計練習(xí)冊*P23, P24 P23：8. (條件分布、一般隨機變量與正態(tài)量相互獨立的常識條件分布、一般隨機變量與正態(tài)量相互獨立的常識) P24：9. (求聯(lián)合分布律，判斷離散量的相互獨立性求聯(lián)合分布律，

31、判斷離散量的相互獨立性) 10.(求未知分布參數(shù)與兩個邊緣概率密度，求未知分布參數(shù)與兩個邊緣概率密度， 判斷連續(xù)量的相互獨立性判斷連續(xù)量的相互獨立性) (3) , , , .(3) , , , .參考答案參考答案退出退出返回返回(4)(4)(2)(2)8 (1) ,8 (1) ,221122N(,;,;) ijjpip. ,1,2,3, N(0,5)ijipjp.,1,2,3, , 0 211N(,) , (6) (6) 相互獨立相互獨立Yf x yfy( , ) ,( )Xf x yfx( , )( )222N(,) , P Yy P Xx Xfx( )Yfy( )XFx( )YFy( )ijp p. (7) (7) (5) (5) 相互獨立相互獨立 X 與與 Y 相互獨立相互獨立 .參考答案參考答案退出退出返回返回Xfxxx2( ) , 0 , 2, 0( 1) 其它1010ppp000.0 , jp 01001230XYC3610C363C361C363C366C366ip C361C361C369C3610C361C3699 9 聯(lián)合分布列與邊緣分布列為聯(lián)合分布列與邊緣分布列為因為至少有因為至少有A4 , yYeyfy22, 0( ) 0 , 其它XYf x yfx fy( , )( )( ) , 所以所以 X 與與 Y 不相互獨立不相互獨立 .課外書面練習(xí)概率