剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

1、21-3 21-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程 F2F1rivimi FizezizMJdtd)(ezizMJ（1）已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，求作用在剛 體上的主動力矩； （2）已知作用在剛體上的主動力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。 解決兩類問題： zzJL ezizMdtdL 或 zizMtJ22dd剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程 例例4 4: : 汽車傳動裝置如圖示汽車傳動裝置如圖示, , 傳動力偶為傳動力偶為M, ,摩擦力偶為常數(shù)摩擦力偶為常數(shù)Mf, , ,已知電機的角速度為已知電機的角速度為 0 0, ,傳動裝置對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為傳動裝置對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J J，求求: :傳動系統(tǒng)的角速度。傳動

2、系統(tǒng)的角速度。查汽車設(shè)計手冊：查汽車設(shè)計手冊：)1 (00 MM解解:fM)(MdtdJ001令令:000,MbMMaf)1 (tJbeba,t 000MMMbafc最大轉(zhuǎn)最大轉(zhuǎn)速速: :badtdJJdtbad1tJbeM tJdtbad00例例5：均質(zhì)圓柱半徑為均質(zhì)圓柱半徑為r，質(zhì)量為質(zhì)量為m，置該置該圓柱于墻角，初時角速度圓柱于墻角，初時角速度 0，由于摩擦阻，由于摩擦阻力，使轉(zhuǎn)動減速，摩擦因數(shù)力，使轉(zhuǎn)動減速，摩擦因數(shù) fs求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需的時間。求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需的時間。解：BFNBFAFNAF應用剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程CiCMJ) 1 (212rFrFt ddmrBA考慮質(zhì)

3、心運動定理考慮質(zhì)心運動定理 ycxccFymFxmFam )3(0)2(0mgFFFFANBBNA)5()4(sNBBsNAAfFFfFFC解得22221,1ssBssAffmgFfmgfF代入（1）式)1 ()1 (2dd2sssfrfgft得dtfrfgfdtsss020)1 ()1 (20積分未知量NBNABAFFFF,)1 (2)1 (02sssfgfrft例例6 6：齒輪傳動裝置，開始時角速度分別為齒輪傳動裝置，開始時角速度分別為 0101， 0202，重分，重分別為別為P P1 1，P P2 2，求耦合后的求耦合后的 1 1值。值。解解:dRgPdRgP22112021012222

4、2222FRdtdRgPdtdJ2211RR)(2)(20222201111gPRgPR121022201111)RPPPRPR（左左輪輪: :右右輪輪: :運動學關(guān)系運動學關(guān)系:方程右端化簡相等方程右端化簡相等: : 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN121112FRdtdRgPdtdJ實驗法測試轉(zhuǎn)動慣量實驗法測試轉(zhuǎn)動慣量1.扭轉(zhuǎn)振動法扭轉(zhuǎn)振動法kMzktJdd0kJ JkkJT2標標JTk2)2(22標標TTJJ k已知：標準盤的已知：標準盤的J標標，求測試盤的，求測試盤的 J。kJT標標2JTk2)2(z2.落體觀測法落體觀測法 為測試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動慣量，可以在一側(cè)懸桂

5、一為測試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動慣量，可以在一側(cè)懸桂一個重物，當個重物，當t=0時系統(tǒng)靜止不動，然后測試重物下落時系統(tǒng)靜止不動，然后測試重物下落h高度的高度的t值，求值，求:鼓輪的轉(zhuǎn)動慣量。鼓輪的轉(zhuǎn)動慣量。Pr)(0vrgPJdtdrarPargPJ 0 202 rPgJgrPa221ath ) 12( 220 hgtgrPJ動量矩定理動量矩定理:運動學關(guān)系：運動學關(guān)系：自由落體時有：自由落體時有：則：則：avPh 21-421-4 剛體平面運動的微分方程剛體平面運動的微分方程SyzxyzxSaC iCFamciCMdtLdxiCxFmayiCyFmaCCMdtdL CCJL xiCCcxFxmm

6、a yiCCyFymma CiCCMJJ 剛體平面運動的微分方程剛體平面運動的微分方程C例例7：均勻圓盤沿斜坡滾下，已知盤重均勻圓盤沿斜坡滾下，已知盤重P，半徑半徑 r, 求：下滾時盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。求：下滾時盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。FamgmamaccxsinFrJCmarmmgmacc21sinrg3sin23sin2gacsin3PF 解解:NcyFmgmacos0mrJarcc221,有有:得得: CPCayx FNF例例8：桿OA長l，重P?？衫@過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，A端鉸接一半徑為R、重為Q的均質(zhì)圓盤，初瞬時OA桿處于水平位置，系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求OA桿轉(zhuǎn)到任意位置（用角

7、表示）時的角速度及角加速度。解：由圓輪受力圖， JA0因此00，圓盤在運動過程中作平移xFyFQPQOxFOyF整體對O點應用動量矩定理oioMdLdt2220333lgQPlgQlgPL233lgQPcos22lQPcosQlcoslPMoi2cos2332lgQPQP由上式解出cos2332lgQPQPt dd求OA桿的角速度PQOxFOyF分離變量 dcos2332dlgQPQPcos2332ddddddlgQPQPtdcos2332d00lgQPQP積分sin332lgQPQP得 例例9：均勻圓盤重量均為均勻圓盤重量均為P，半徑均為半徑均為r。求：。求：B物體滾下物體滾下時質(zhì)心的加速度

8、與繩子張力。時質(zhì)心的加速度與繩子張力。FrJAAFrJBBFPagPBBABBAarrBBrgPPgPr212rgB52解解:gaB54PF51加速度加速度:繩子張力繩子張力:ABPP B BFFaB B A A當瞬心離質(zhì)心矩離是常數(shù)，或瞬心的加速度恒指向質(zhì)心時也可以選瞬心為動量矩的矩心。IIMdtdLvBvCvA AB B0vDDCCvI例例1010：均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為r 的軸柱上繞著的軸柱上繞著繩索，索的拉力為繩索，索的拉力為F1 1，F(xiàn)2 2。求：輪的角加速度，摩擦力。求：輪的角加速度，摩擦力。解解:maFFF12FRrFrFJ210Ra

9、 )()(21rRFRrFJI)1()()202211sggJPRrRFRrF（RJrFFF0210:x:或或:運動學關(guān)系運動學關(guān)系:得得:RF2F10IFNF a例例1111：一根筷子在光滑地面上，開始時手拿著如圖示位置，一根筷子在光滑地面上，開始時手拿著如圖示位置，然后松手然后松手, ,求：筷子此時的角加速度和地面的正壓力。求：筷子此時的角加速度和地面的正壓力。解解:)31(sin2sin2lgPF)31(sin312sin2laaCyCPF ，0PF5245，條件條件:1. aCx=0y:xyP Fac AaACAACaaa2. t=0, 00。aACAa122lmJCsin2lFJcF

10、mgmaCc:y:2laCA例例1212：均質(zhì)桿重為均質(zhì)桿重為P，被繩索如圖約束，突然被繩索如圖約束，突然剪斷右側(cè)繩索剪斷右側(cè)繩索, ,求：此時左側(cè)繩索張力。求：此時左側(cè)繩索張力。解解:CAAaaaC0nCAa30cos30cos:CAAagPPFn260sin122lFgPlA 233PgFaACAPPFA266. 01332條件條件: vA=0運動學關(guān)系運動學關(guān)系:0060cos)60cos(:PaagpCAA2laCA n600ABCPCAaPAFCABCAanCAaAaFAa A例例1313：4kg的均質(zhì)板靜止懸掛。求：B點的繩或彈簧被剪斷的瞬時，質(zhì)心加速度各為多少。解：解：1.考慮第一種情況，作受力分析和運動分析，如圖所示。mgTC)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx應用剛體平面運動微分方程AaCAanCAaAa又由(1)知acx0 初瞬時00ncAa則有25. 0co