剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

1、21-3 21-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 F2F1rivimi FizezizMJdtd)(ezizMJ（1）已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用在剛 體上的主動(dòng)力矩； （2）已知作用在剛體上的主動(dòng)力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。 解決兩類問(wèn)題： zzJL ezizMdtdL 或 zizMtJ22dd剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例例4 4: : 汽車傳動(dòng)裝置如圖示汽車傳動(dòng)裝置如圖示, , 傳動(dòng)力偶為傳動(dòng)力偶為M, ,摩擦力偶為常數(shù)摩擦力偶為常數(shù)Mf, , ,已知電機(jī)的角速度為已知電機(jī)的角速度為 0 0, ,傳動(dòng)裝置對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為傳動(dòng)裝置對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J J，求求: :傳動(dòng)系統(tǒng)的角速度。傳動(dòng)

2、系統(tǒng)的角速度。查汽車設(shè)計(jì)手冊(cè)：查汽車設(shè)計(jì)手冊(cè)：)1 (00 MM解解:fM)(MdtdJ001令令:000,MbMMaf)1 (tJbeba,t 000MMMbafc最大轉(zhuǎn)最大轉(zhuǎn)速速: :badtdJJdtbad1tJbeM tJdtbad00例例5：均質(zhì)圓柱半徑為均質(zhì)圓柱半徑為r，質(zhì)量為質(zhì)量為m，置該置該圓柱于墻角，初時(shí)角速度圓柱于墻角，初時(shí)角速度 0，由于摩擦阻，由于摩擦阻力，使轉(zhuǎn)動(dòng)減速，摩擦因數(shù)力，使轉(zhuǎn)動(dòng)減速，摩擦因數(shù) fs求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間。求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間。解：BFNBFAFNAF應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程CiCMJ) 1 (212rFrFt ddmrBA考慮質(zhì)

3、心運(yùn)動(dòng)定理考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 ycxccFymFxmFam )3(0)2(0mgFFFFANBBNA)5()4(sNBBsNAAfFFfFFC解得22221,1ssBssAffmgFfmgfF代入（1）式)1 ()1 (2dd2sssfrfgft得dtfrfgfdtsss020)1 ()1 (20積分未知量NBNABAFFFF,)1 (2)1 (02sssfgfrft例例6 6：齒輪傳動(dòng)裝置，開(kāi)始時(shí)角速度分別為齒輪傳動(dòng)裝置，開(kāi)始時(shí)角速度分別為 0101， 0202，重分，重分別為別為P P1 1，P P2 2，求耦合后的求耦合后的 1 1值。值。解解:dRgPdRgP22112021012222

4、2222FRdtdRgPdtdJ2211RR)(2)(20222201111gPRgPR121022201111)RPPPRPR（左左輪輪: :右右輪輪: :運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:方程右端化簡(jiǎn)相等方程右端化簡(jiǎn)相等: : 1R1 2R2 02 01R1R2FNFFFN121112FRdtdRgPdtdJ實(shí)驗(yàn)法測(cè)試轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)法測(cè)試轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法kMzktJdd0kJ JkkJT2標(biāo)標(biāo)JTk2)2(22標(biāo)標(biāo)TTJJ k已知：標(biāo)準(zhǔn)盤的已知：標(biāo)準(zhǔn)盤的J標(biāo)標(biāo)，求測(cè)試盤的，求測(cè)試盤的 J。kJT標(biāo)標(biāo)2JTk2)2(z2.落體觀測(cè)法落體觀測(cè)法 為測(cè)試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以在一側(cè)懸桂

5、一為測(cè)試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以在一側(cè)懸桂一個(gè)重物，當(dāng)個(gè)重物，當(dāng)t=0時(shí)系統(tǒng)靜止不動(dòng)，然后測(cè)試重物下落時(shí)系統(tǒng)靜止不動(dòng)，然后測(cè)試重物下落h高度的高度的t值，求值，求:鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Pr)(0vrgPJdtdrarPargPJ 0 202 rPgJgrPa221ath ) 12( 220 hgtgrPJ動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：自由落體時(shí)有：自由落體時(shí)有：則：則：avPh 21-421-4 剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程SyzxyzxSaC iCFamciCMdtLdxiCxFmayiCyFmaCCMdtdL CCJL xiCCcxFxmm

6、a yiCCyFymma CiCCMJJ 剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程C例例7：均勻圓盤沿斜坡滾下，已知盤重均勻圓盤沿斜坡滾下，已知盤重P，半徑半徑 r, 求：下滾時(shí)盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。求：下滾時(shí)盤質(zhì)心的加速度與摩擦力。FamgmamaccxsinFrJCmarmmgmacc21sinrg3sin23sin2gacsin3PF 解解:NcyFmgmacos0mrJarcc221,有有:得得: CPCayx FNF例例8：桿OA長(zhǎng)l，重P。可繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A端鉸接一半徑為R、重為Q的均質(zhì)圓盤，初瞬時(shí)OA桿處于水平位置，系統(tǒng)靜止。略去各處摩擦，求OA桿轉(zhuǎn)到任意位置（用角

7、表示）時(shí)的角速度及角加速度。解：由圓輪受力圖， JA0因此00，圓盤在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作平移xFyFQPQOxFOyF整體對(duì)O點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理oioMdLdt2220333lgQPlgQlgPL233lgQPcos22lQPcosQlcoslPMoi2cos2332lgQPQP由上式解出cos2332lgQPQPt dd求OA桿的角速度PQOxFOyF分離變量 dcos2332dlgQPQPcos2332ddddddlgQPQPtdcos2332d00lgQPQP積分sin332lgQPQP得 例例9：均勻圓盤重量均為均勻圓盤重量均為P，半徑均為半徑均為r。求：。求：B物體滾下物體滾下時(shí)質(zhì)心的加速度

8、與繩子張力。時(shí)質(zhì)心的加速度與繩子張力。FrJAAFrJBBFPagPBBABBAarrBBrgPPgPr212rgB52解解:gaB54PF51加速度加速度:繩子張力繩子張力:ABPP B BFFaB B A A當(dāng)瞬心離質(zhì)心矩離是常數(shù)，或瞬心的加速度恒指向質(zhì)心時(shí)也可以選瞬心為動(dòng)量矩的矩心。IIMdtdLvBvCvA AB B0vDDCCvI例例1010：均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為均質(zhì)鼓輪放置粗糙的地面上，在半徑為r 的軸柱上繞著的軸柱上繞著繩索，索的拉力為繩索，索的拉力為F1 1，F(xiàn)2 2。求：輪的角加速度，摩擦力。求：輪的角加速度，摩擦力。解解:maFFF12FRrFrFJ210Ra

9、 )()(21rRFRrFJI)1()()202211sggJPRrRFRrF（RJrFFF0210:x:或或:運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:得得:RF2F10IFNF a例例1111：一根筷子在光滑地面上，開(kāi)始時(shí)手拿著如圖示位置，一根筷子在光滑地面上，開(kāi)始時(shí)手拿著如圖示位置，然后松手然后松手, ,求：筷子此時(shí)的角加速度和地面的正壓力。求：筷子此時(shí)的角加速度和地面的正壓力。解解:)31(sin2sin2lgPF)31(sin312sin2laaCyCPF ，0PF5245，條件條件:1. aCx=0y:xyP Fac AaACAACaaa2. t=0, 00。aACAa122lmJCsin2lFJcF

10、mgmaCc:y:2laCA例例1212：均質(zhì)桿重為均質(zhì)桿重為P，被繩索如圖約束，突然被繩索如圖約束，突然剪斷右側(cè)繩索剪斷右側(cè)繩索, ,求：此時(shí)左側(cè)繩索張力。求：此時(shí)左側(cè)繩索張力。解解:CAAaaaC0nCAa30cos30cos:CAAagPPFn260sin122lFgPlA 233PgFaACAPPFA266. 01332條件條件: vA=0運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系:0060cos)60cos(:PaagpCAA2laCA n600ABCPCAaPAFCABCAanCAaAaFAa A例例1313：4kg的均質(zhì)板靜止懸掛。求：B點(diǎn)的繩或彈簧被剪斷的瞬時(shí)，質(zhì)心加速度各為多少。解：解：1.考慮第一種情況，作受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，如圖所示。mgTC)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程AaCAanCAaAa又由(1)知acx0 初瞬時(shí)00ncAa則有25. 0co