常微分方程課程教學(xué)模式的研究與實踐

1、常微分方程課程教學(xué)模式的研究與實踐    關(guān)鍵詞:常微分方程 啟發(fā)式教學(xué) 優(yōu)化教材常微分方程是高校本科數(shù)學(xué)類專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程,同時也是工科類專業(yè)需要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。它屬于數(shù)學(xué)分析的一個重要分支,是進一步學(xué)習(xí)泛函分析,偏微分方程,穩(wěn)定性理論和控制論等方向的入門學(xué)科,在自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域中發(fā)揮著極其重要作用。 自牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分以來,人們就開始研究微分方程,三百多年的歷史使這門數(shù)學(xué)分支不僅成為了數(shù)學(xué)學(xué)科中隊伍最大,綜合性最強的領(lǐng)域之一,而且成為數(shù)學(xué)以外學(xué)科最受關(guān)注的領(lǐng)域之一。它的發(fā)展極大地推動了力學(xué)技術(shù)、電子技術(shù)、生物技術(shù)等諸多領(lǐng)域的發(fā)展,尤其

2、是地球橢圓軌道的計算海王星的發(fā)彈道軌道的定位大型機械振動的分析自動控制的設(shè)計氣象數(shù)值預(yù)報等等,微分方程為之提供了關(guān)鍵技術(shù)支撐。反過來這些高新技術(shù)也推。 動了微分方程理論走向縱深,從過去對平周期軌道等的定性研究到今天對非局部分叉,高余維分岔的分析判定,微分方程在理論和方法上正經(jīng)歷著一個新的跨越。 正是這門課程有著很強的理論性與應(yīng)用性的背景,因此學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課的過程中有著很大的困難,教師在課堂教學(xué)中所講課程內(nèi)容多理論,少應(yīng)用,教材知識與實際工程背景聯(lián)系不足。最突出的就是這種課堂教學(xué)使得課堂本身變得枯燥,其中一些繁瑣抽象的理論推導(dǎo)更是讓很多基礎(chǔ)知識一般的學(xué)生無法跟上思路,從而不能很好的完成知識體系

3、的銜接。 真正意義上的教學(xué),不僅要給學(xué)生教懂知識,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),即培養(yǎng)學(xué)生的能力。因此激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也應(yīng)落實到一個目標(biāo)塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。就此談一點感受和體會。 一、教學(xué)手段和方法的設(shè)計 首先以經(jīng)典的微分方程模型為導(dǎo)入點,進而引入相關(guān)的微分方程理論知識,課堂講練問答四位一體,以板書與多媒體相結(jié)合的方式,并通過不同的播放方式,使文字、公式和動畫等多項教學(xué)內(nèi)容更加形象生動,使教師在教學(xué)上更加得心應(yīng)手,使學(xué)生通過良好的教學(xué)互動,提高學(xué)習(xí)興趣,進而掌握知識、培養(yǎng)能力。例如,對于給定一個一階微分方程,要在黑板上描繪出其方向場非常繁瑣,而利用計算機數(shù)學(xué)軟件繪出方向場圖形再通過幻

4、燈片在課上演示,效果非常良好.再如,當(dāng)我們在介紹奇解和包絡(luò)這部分內(nèi)容時,直接敘述包絡(luò)這個抽象的概念,學(xué)生理解起來很是吃力,這時可以借助于多媒體課件中的曲線族圖形,把包絡(luò)對應(yīng)的幾何意義演示出來,從而使學(xué)生對這個概念有著更深刻的認(rèn)識。 其次轉(zhuǎn)被動為主動,以學(xué)生自學(xué)為主、教師為輔:一方面,對于平行內(nèi)容或一些具體的計算機模擬實例,可以提前布置。教師只需隨堂留出十分鐘,隨機點名由學(xué)生講解,最后進行點評。另一方面,每一章節(jié)學(xué)習(xí)完畢,給學(xué)生布置一些具有一定難度的相關(guān)題目,對于認(rèn)真思考,通過查閱資料嚴(yán)格驗證的學(xué)生應(yīng)及時給以鼓勵,并邀請他走上講臺進行講解。這一過程,不僅加強了學(xué)生對于新知識的掌握程度,同時也鍛煉

5、了他們的自學(xué)能力、表達能力和動手能力,特別是對于學(xué)習(xí)自覺性不是很高的學(xué)生有著很好的督促作用,提高了課堂教學(xué)的效率。 最后,深層討論與拓展,對于微分方程興趣濃厚的學(xué)生可以組成討論小組在每個章節(jié)結(jié)束的時候,由他們向全班同學(xué)進行本章節(jié)內(nèi)容在實際應(yīng)用中的有關(guān)報告以及多媒體演示(獨立報告三十分鐘)。在小組的討論中,給學(xué)生帶來一些實例或者學(xué)科前沿的論文,以拓展他們的知識面。小組討論的時間比較靈活,可以安排在課后的時間。這樣的小組討論有助于學(xué)生動手能力、發(fā)散思維和創(chuàng)新意識的培養(yǎng),在討論中不但加深了學(xué)生們對知識的認(rèn)知,還能激發(fā)更多的想法,為將來研究性的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。 二、強化微分方程的數(shù)學(xué)建模作用 自20世紀(jì)

6、以來數(shù)學(xué)教育發(fā)生了巨大變化,人們通過對自然科學(xué)與工程技術(shù)中的實際問題進行“數(shù)學(xué)建?！眮韺W(xué)習(xí)數(shù)學(xué),應(yīng)用數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)。因此,在常微分方程教學(xué)中,加強數(shù)學(xué)建模顯得很有必要。實踐中,增加微分方程建模教學(xué)內(nèi)容,可顯示它的強大作用。例如在教學(xué)過程中,適當(dāng)增加人口模型、生物模型、物理模型等問題來訓(xùn)練學(xué)生的建模能力,同時也能從中認(rèn)識到數(shù)學(xué)實際應(yīng)用的重要性。 三、采用啟發(fā)式和對比式教學(xué) 引導(dǎo)學(xué)生積極思維,自己去發(fā)現(xiàn)前人已然發(fā)現(xiàn)了的東西,以及自己可以有所創(chuàng)新的東西。常微分方程課程一個重要的問題就是對給定的微分方程來求出其通解或特解.當(dāng)然,這些方程需滿足某些特殊的形式。而常微分方程中的常數(shù)變易法和積分因子法都是非

7、常古典有效的方法,這些方法在一階線性方程、全微分方程、高階線性方程和線性方程組中都會用到。因此,如何啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并掌握這些方法,便成了啟發(fā)式教學(xué)的一個很好的切入點,現(xiàn)以一階非齊次線性方程與相應(yīng)的齊次線性方程為例進行說明: 對于一階齊次線性微分方程來說,當(dāng)時,可用最基本的變量分離解法進行求解,可得其通解為 考慮一階非齊次線性微分方程 易見當(dāng)非齊次線性微分方程的非齊次項 時便是齊次線性微分方程,但是當(dāng) 時,齊次方程的解        不可能是非齊次方程的解,而此解的導(dǎo)數(shù)與 相加正好為零。鑒于非齊次方程與齊次方程左端

8、形式相同,那么能否尋求一種變換,將其代入到非齊次方程中,使得的導(dǎo)數(shù)變?yōu)閮身?一項抵消掉另一項等于右端的 呢?正是在這樣的啟發(fā)下,便使學(xué)生想到了乘法的微分法則,提出該變換的正確形式為那么將此變換式代入非齊次微分方程中而求出待定函數(shù)進而求出其通解的方法即是常數(shù)變易法。 此外,在教學(xué)中還可以引入另一種方法積分因子法,注意觀察非齊次線性微分方程 的左端,結(jié)合分析中具有特殊形式的乘積函數(shù)的求導(dǎo)公式 注意到這里方程左端的y對應(yīng)于上式中的 而 對應(yīng)于上式中 的通過以上的分析和啟示,使學(xué)生很自然想到只要在非齊次方程兩端乘以(積分因子)那么左端便可以結(jié)合成兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)形式,方程即為 進而可得非齊次微分方程

9、的通解為 傳統(tǒng)的講法是在后面的全微分方程部分引入積分因子概念的,在這里,我們采用啟發(fā)式教學(xué)提前介紹了這個概念。一方面,使學(xué)生認(rèn)識到積分因子實際上就是對一個微分方程求解起到至關(guān)重要的特殊函數(shù),只要方程兩端乘以這個積分因子,就可以通過某種方法順利求出方程的通解。那么在學(xué)生進一步學(xué)習(xí)有關(guān)積分因子知識點時就顯得游刃有余了。另一方面,積分因子法與常數(shù)變易法是從兩個不同的思路去解決同一問題的,我們分別通過啟發(fā)式教學(xué)介紹了兩種方法,再通過對比式講解進行總結(jié),使學(xué)生從問題本質(zhì)上去體會兩種方法的精妙之處,避開了死記公式的被動局面. 四、優(yōu)化教材,因材施教 為培養(yǎng)出數(shù)學(xué)理論知識扎實,實踐能力強的本科學(xué)生,我們對常

10、微分方程教材的內(nèi)容及進行了優(yōu)化,在教學(xué)中適當(dāng)刪減理論性偏強,過程煩瑣的定理證明,多增加應(yīng)用性的例題和題目,例如利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型方面的例題,利用現(xiàn)代計算機數(shù)學(xué)軟件去解微分方程及方程組等方面的知識,引導(dǎo)是學(xué)生通過學(xué)習(xí)Matlab、Mathematic、Maple等數(shù)學(xué)軟件來驗證一些微分方程的理論上的求解方法。這樣,使學(xué)生在的理論水平和實踐能力都得到了提高。同時我們還將編寫一套與新教材內(nèi)容相匹配的常微分方程習(xí)題集,緊密配合教學(xué)目標(biāo),檢測教學(xué)效果。 總之,對于本科的常微分方程課程,應(yīng)本著從學(xué)生的實際情況出發(fā),因材施教,在達到高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的基礎(chǔ)要求前提下,以學(xué)生現(xiàn)有的思維發(fā)展水平為依據(jù),

11、選擇與學(xué)生思維發(fā)展水平相適應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容,對不同學(xué)生提出不同的要求,使學(xué)生能夠按照自己的途徑和方式,充分發(fā)揮其知識潛力,達到各自所能達到和發(fā)展水平,為他們今后進一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識打下較好的基礎(chǔ)。 參考文獻: 1 王高雄,周之明,朱思銘,王壽松.常微分方程(第三版)M.北京:高等教育出版社,2007. 2 丁同仁,李承治.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2004. 3 魏俊杰,潘家齊,蔣達清.常微分方程M.北京:高等教育出版社,2002. 4 劉三輝.常微分方程的教學(xué)比較研究J.吉林教育,2009.8. 5 劉會民, 那文忠等. 常微分方程課程教學(xué)模式的改革與探索J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2006.

12、2. 6 徐勝林.常微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)J.高等函授學(xué)報,2004.2. The Research and PracticeofTechingMethodinOrdinary DifferentialEquationCourse Li Bing WU Qiu Fu SHA Ben Yuan JIANG Department of Mathematics,School of Science, University of Science and Technology Liaoning,Anshan 114051 Abstract:According to strong characteristic ofordinary differential equation for theoretical and applied, in order to cultivate a solid mathematical theory of knowledge and practical ability of undergraduate students, ordinary differential equations for the content of the curriculum refo