南大復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)數(shù)的幾種表示（課堂PPT）

1、1第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示復(fù)數(shù)的幾種表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根四、幾個關(guān)系四、幾個關(guān)系2第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示1. 復(fù)平面復(fù)平面此時，此時，x 軸稱為軸稱為實(shí)軸實(shí)軸，y 軸稱為軸稱為虛軸虛軸。在平面上建立一個直角坐標(biāo)系，在平面上建立一個直角坐標(biāo)系，定義定義用坐標(biāo)為用坐標(biāo)為 的點(diǎn)來的點(diǎn)來),(yx,yixz 表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部點(diǎn)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部

2、點(diǎn)一一對應(yīng)起來，一一對應(yīng)起來， 的平面稱為的平面稱為復(fù)平面復(fù)平面或者或者這樣表示復(fù)數(shù)這樣表示復(fù)數(shù) zz 平面平面。P4 3第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 引進(jìn)復(fù)平面后，引進(jìn)復(fù)平面后，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 與與點(diǎn)點(diǎn) z 以及以及向量向量 z 視為同一個概念。視為同一個概念。yixz 在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)所引的向量與該復(fù)數(shù)所引的向量與該復(fù)數(shù) z 也構(gòu)成一一也構(gòu)成一一一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示1. 復(fù)平面復(fù)平面y 實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸i yxz xO對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系( (復(fù)數(shù)零復(fù)數(shù)零對應(yīng)零向量對應(yīng)零向量) )。 比如，比如，復(fù)數(shù)的加減法復(fù)數(shù)的加減法等同于等同于向

3、量的平行四邊形法則向量的平行四邊形法則。4第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 將復(fù)數(shù)和向量對應(yīng)之后，除了利用將復(fù)數(shù)和向量對應(yīng)之后，除了利用實(shí)部與虛部來給定一個復(fù)數(shù)以外，實(shí)部與虛部來給定一個復(fù)數(shù)以外，一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角y i yxz xOxyr 定義定義 設(shè)設(shè) z 的是一個不為的是一個不為 0 的復(fù)數(shù)，的復(fù)數(shù)，. |z(1) 向量向量 z 的長度的長度 r 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù) z 的的模模，記為，記為還可以借助向量的長度與方向來給還可以借助向量的長度與方向來給定一個復(fù)數(shù)。定一個復(fù)數(shù)。(2) 向量向量 z 的的“方向角方向角” 稱為復(fù)數(shù)

4、稱為復(fù)數(shù) z 的的輻角輻角，記為，記為.Argz (?)P5 5第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角zxy - - 兩點(diǎn)說明兩點(diǎn)說明(1) 輻角是多值的，輻角是多值的，(2) 輻角的符號約定為：輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負(fù)號。逆時針取正號，順時針取負(fù)號。 相互之間可相差相互之間可相差,2 k其中其中 k 為整數(shù)。為整數(shù)。例如例如 對于復(fù)數(shù)對于復(fù)數(shù),1iz - - 則有則有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 0 的模為的模為 0，輻角無意義。，輻角無意義。注注6第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變

5、函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 由此就有如下關(guān)系：由此就有如下關(guān)系：一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角主輻角主輻角對于給定的復(fù)數(shù)對于給定的復(fù)數(shù) 設(shè)有設(shè)有 滿足：滿足：,0 z zArg 且且, - - 則稱則稱 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù) z 的的主輻角主輻角，記作，記作 .arg z,2argArgkzz .,2,1,0 k7第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 )(31arctanarg- - - ziiiiz)1(212- - - - 解解.3i- - - - - ,10)1()3(|22 - - - - z31arctan - -.- -xy3- -1-

6、-8第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 (1) 已知實(shí)部與虛部，求模與輻角已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示3. 相互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | P7 9第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 (1) 已知實(shí)部與虛部，求模與輻角已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示3. 相互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系(2) 已知模與輻角，求實(shí)部與虛部已知模與輻角，求實(shí)部與虛部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出

7、復(fù)數(shù)的三角表示式由此引出復(fù)數(shù)的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg10第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示1. 復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示稱稱 為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如圖，如圖，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定義定義 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由P9 11第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 二、復(fù)數(shù)的三

8、角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示2. 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示復(fù)數(shù)的指數(shù)表示)sin(cos irz .e ir 利用歐拉公式利用歐拉公式 得得 sincoseii 稱稱 為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的指數(shù)表示式指數(shù)表示式。 irze 定義定義 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z但習(xí)慣上一般取為但習(xí)慣上一般取為主輻角主輻角。在復(fù)數(shù)的三角表示式與在復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注注補(bǔ)補(bǔ) ( (歐拉公式歐拉公式) )12第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 ,4412| z解解)(122a

9、rctanarg- - zxy212- - 31arctan- - 6- - .65 . )65sin65cos(4iz 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的三角表示式為的三角表示式為z.465eiz 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式為的指數(shù)表示式為z13第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3. 利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 設(shè)設(shè)乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg2121zzzz

10、( (在集合意義下在集合意義下?)?) 兩個復(fù)數(shù)乘積的兩個復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；模等于它們的模的乘積；P10 補(bǔ)補(bǔ) 、( (集合意義集合意義) )14第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3. 利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr- - 設(shè)設(shè)除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz- - ( (在在集合意義下集合意

11、義下) ) 兩個復(fù)數(shù)的商的兩個復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；模等于它們的模的商；,|2121zzzz 即即15第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 i)42(e21 i43e21 .2121i - - .1ii- -例例 計(jì)算計(jì)算,2eii i- -1i4e2- - 解解 由由有有ii42ee2- - ii- -1附附一些一些“簡單簡單”復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,1e- - i,12e i,12e ik,2eii ,2eii- - - -.1- -i- -i1i 1i- -1i- - -1i - -116第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2

12、復(fù)數(shù)的幾種表示 i)653(e4- - i2e4- - .4i- - i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i- - - i31 ,23ei i- - -3i65e2- - 解解 由由有有ii653ee22- - )3( )31(ii- - - ii653ee22- - ii- - - 331P11 例例1.5 修改修改 17第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的乘冪乘冪，設(shè)設(shè) z 是給定的復(fù)數(shù)，是給定的復(fù)數(shù)， n 為正整數(shù)，為正整數(shù)，n 個個 z 相乘的積稱為相乘的積稱為定義定義三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘

13、冪,e irz .)(ee ninninrrz 設(shè)設(shè)則則法則法則 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。,nz.個個nnzzzz 即即記為記為P12 18第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，則得到，則得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫

14、弗(De Moivre)公式公式 進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)的的 n 倍倍角公式角公式。19第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1- - 33)(ei- - 32321 - -ii- - e.1- - .1)1(3- - - -此外，顯然有此外，顯然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。20第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) w ，三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根稱為把復(fù)數(shù)稱為把復(fù)數(shù) 開開 n 次方次方，或者稱為求復(fù)數(shù)

15、，或者稱為求復(fù)數(shù) 的的zz 復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)設(shè) 是給定的復(fù)數(shù)，是給定的復(fù)數(shù)，n 是正整數(shù)，求所有滿足是正整數(shù)，求所有滿足 的的zzwn 定義定義n 次方根次方根，記作記作 或或nzw ./1 nzw 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的的 n 次方根一般是多值的。次方根一般是多值的。zP13 21第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 ,2nkn . )1, 1, 0(- - nk三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開方法則。設(shè)設(shè)推導(dǎo)推導(dǎo),e irz ,e i

16、w 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2 kn 得得,rn kk 正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由由zwn ,ee ininr 有有22第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根描述描述,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0(- - nkk n在復(fù)平面上，在復(fù)平面上， 這這 n 個根均勻地個根均勻地nr為半徑的圓周上。為半徑的圓周上。. )/(n 根的輻角是根的輻角是分布在一個以原點(diǎn)為中心、以分布在一個以原點(diǎn)為中心、以其中一個其中一個方法方法 直接利用公式求根；直接利用公式求根

17、； 先找到一個特定的根，再確定出其余的根。先找到一個特定的根，再確定出其余的根。23第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 例例 求求.83- -,28)(3233e ki - -解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,2- -,23ei.23ei- -例例 求解方程求解方程.013 - -z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,1,32ei.232ei- -32- -23124第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 四、幾個關(guān)系四、幾個關(guān)系, |Re|zz . |Im|zz (1). |212121|zzzzzz - -(2)

18、zIm|zzRez21zz 21zz - -1z2z; |zz .|2zzz ,argargzz- - ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|zP6 P8 P6 25第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz 證證)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何利用復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何問題。問題。21zz 1z2zABC比如，上例證明的結(jié)

19、論可描述為：比如，上例證明的結(jié)論可描述為：三角形的兩邊之和大于等于第三邊。三角形的兩邊之和大于等于第三邊。P8 26第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 輕松一下吧27第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 .sincose ii 1748 年，歐拉給出了著名的公式年，歐拉給出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五個最重要的數(shù)它把五個最重要的數(shù) 聯(lián)系起來。聯(lián)系起來。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知識廣角知識廣角 奇妙的歐拉公式奇妙的歐拉公式克萊茵認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最卓越的克萊茵認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最卓越的)sin(cos)sin(cosee iiii , )sinc

20、oscos(sin)sinsincos(cos - - i, )(sin)(cos)(e ii 28第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家 (17071783)歐 拉Leonhard Euler十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。 數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。 不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理領(lǐng)域。而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理領(lǐng)域。29第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 (牛頓全集牛頓全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷)

21、彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多達(dá)整理出他的研究成果多達(dá) 74 卷。卷。 歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家。歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家。一生共寫下了一生共寫下了 886 本書籍和論文。本書籍和論文。以每年平均以每年平均 800 頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。分析、代數(shù)、數(shù)論占分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學(xué)占物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，其中其中附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐

22、拉30第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 課本上常見的如課本上常見的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他創(chuàng)立并推廣的。也都是他創(chuàng)立并推廣的。 有的學(xué)者認(rèn)為，自從有的學(xué)者認(rèn)為，自從 1784 年以后，微積分的教科書年以后，微積分的教科書基本上都抄襲歐拉的書?；旧隙汲u歐拉的書。 歐拉編寫歐拉編寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)的教科書。了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)的教科書。無窮小分析引論無窮小分析引論、微分學(xué)原理微分學(xué)原理以及以及積分學(xué)原理積分學(xué)原理都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。附：附：人物介紹人物介紹 歐

23、拉歐拉31第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉 如今幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：如今幾乎每一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的初等幾何的歐拉線歐拉線多面體的多面體的歐拉定理歐拉定理解析幾何的解析幾何的歐拉變換歐拉變換四次方程的四次方程的歐拉解法歐拉解法數(shù)論中的數(shù)論中的歐拉函數(shù)歐拉函數(shù)微分方程的微分方程的歐拉方程歐拉方程級數(shù)論的級數(shù)論的歐拉常數(shù)歐拉常數(shù)變分學(xué)的變分學(xué)的歐拉方程歐拉方程復(fù)變函數(shù)的復(fù)變函數(shù)的歐拉公式歐拉公式32第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示 歐拉的記憶力驚人！歐拉的記憶力驚人！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉能背誦羅馬詩人維吉爾能背誦羅馬詩人維吉爾(Virgil)的史詩的史詩Aeneil，能背誦能背誦“全部全部”的數(shù)學(xué)公式，的數(shù)學(xué)公式，直至晚年，還能復(fù)述年輕時的筆記的直至晚年，還能復(fù)述年輕時的筆記的“全部全部” 內(nèi)容。內(nèi)容。能背誦前一百個質(zhì)數(shù)的前十次冪，能背誦前一百個質(zhì)數(shù)的前十次冪，33第