5高三第一輪復(fù)習(xí)——比較法分析法綜合法換元法證明不等式

1、高三第一輪復(fù)習(xí)比較法、分析法、綜合法與換元法證明不等式1.比較法、分析法、綜合法證明不等式“比較法”、“分析法”、“綜合法”是不等式的證明最基本的三種方法，是高考考查的重要思維方法，雖然證明不等式的方法靈活多樣，但都是圍繞這三種基本方法展開。 一.比較法（作差比較或作商比較）1）作差比較法：要證不等式，只需證即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號(hào)（正或負(fù)）、得出結(jié)論。2）作商比較法：若，要證不等式，只需證，欲證，需證。其步驟為：作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。例1.設(shè)，求證：證：，故，即【評(píng)注】用比較法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形的目的為了第三步判斷服務(wù)，作差變形的方向主要是因式分解和配方

2、。作商比較法在證明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到，同時(shí)應(yīng)注意作商法時(shí)除式的正負(fù)。二.分析法 從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件已具備，那么就可以斷定所證不等式成立。例2已知，求證：證：要證只需證，只需證，即欲證，只需證，即顯然成立。欲證，只需證，即顯然成立。成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。【評(píng)注】分析法是“執(zhí)果索因”，重在對(duì)命題成立條件的探索，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件。敘述雖繁鎖，但也要注意書寫的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞

3、不可缺少。三.綜合法它是一種“由因執(zhí)果”的證明方法，即從一個(gè)已知或已證明的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件替代前面的不等式，直到推出欲證的不等式。例3. 若是不全相等的正數(shù)，求證：證：要證成立即證成立。只需證成立。，成立（*）又是不全相等的正數(shù)，（*）式等號(hào)不成立，原不等式成立?！驹u(píng)注】綜合法實(shí)質(zhì)上是分析法的逆過(guò)程，在實(shí)際證題時(shí)，可將分析法、綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即用分析法分析，用綜合法書寫。也可證明過(guò)程中即使用分析法，又結(jié)合綜合法來(lái)證明不等式成立。2.換元法證明不等式換元法是指對(duì)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、量與量之間關(guān)系不太直觀的命題，通過(guò)恰當(dāng)引入新的變量，來(lái)代換原命題中的部分式子，通過(guò)代換達(dá)到減元的目的，以達(dá)

4、到簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、便于研究的形式。換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，常采用的方法有：（1）三角換元法、（2）均值換元法、（3）幾何換元法及（4）增量換元法。一. 三角換元法：把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。例1. 已知，且，求證：證明：設(shè)，其中 則 ， 原不等式得證。2. 均值換元法：使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡(jiǎn)捷直觀有效。例2. 已知且，求證：證明：因?yàn)榍?，所以設(shè) 則： 即，原不等式得證。3. 幾何換元法：在ABC中，內(nèi)切圓交AB、BC、CA分別于D、E、F，如圖，則可設(shè)，其中，。幾何換元法能達(dá)到利用等式反映出三角形任意兩邊之和大于第三邊的不等關(guān)系的功效。例3. 設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證：證明：設(shè)，其中 則 原不等式得證