課題21平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1、課 題：2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)目的：1了解平面向量的實(shí)際背景；2掌握向量的幾何表示；3理解向量的有關(guān)概念；4逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合和類比能力和“知識重組”意識和“數(shù)形結(jié)合”能力。教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念和共線向量的概念。授課類型：新授課授課方式：講授式、探究式教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：  向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過

2、向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時，重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法向量法和坐標(biāo)法。本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。本節(jié)從物理學(xué)中的位移、力這些既有大小又有方向的量

3、出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。教學(xué)過程：一、引入同學(xué)們都知道，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，是解決其它一些學(xué)科問題的有力工具。其實(shí)數(shù)學(xué)的很多理論是由其它學(xué)科的一些知識抽象而來的。成為理論后又反過來對其它學(xué)科起作用。比如同學(xué)們學(xué)習(xí)的物理，它與數(shù)

4、學(xué)就有非常密切的關(guān)系。二、新授課（一）向量的物理背景與概念（提問）請同學(xué)們回憶在物理中所學(xué)習(xí)過哪些既有大小又有方向的量？在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實(shí)數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等。還有一些量，如我們在物理中所學(xué)習(xí)的位移、力是一個既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈

5、力越大。我們可以對位移、力這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量。這種量就是我們本章所要研究的向量。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題，在這一章，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡單應(yīng)用。這一節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念。向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質(zhì)量等，稱為數(shù)量。物理學(xué)中常稱為標(biāo)量）注意：1°數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性

6、，不能比較大小。（二）向量的幾何表示引入：（由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示，而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量。）對于向量，我們常用帶箭頭的線段有向線段來表示，線段按一定比例（標(biāo)度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。A起點(diǎn)B終點(diǎn)有向線段：帶有方向的線段叫有向線段。（如圖）我們在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，起點(diǎn)寫在終點(diǎn)的前面。已知，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度。（知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度，它的終點(diǎn)就唯一確定。）向量的表示方法：幾何表示：用有向線段表示

7、；字母表示：用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示如：；用字母、等表示。問題1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量?！钡恼f法對嗎？（提問）（向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段）向量的長度（或稱模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模）：記作。零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作。注意與0的區(qū)別（及書寫方法）。長度等于1個單位的向量，叫單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。例1 如圖2.1-6，試根據(jù)

8、圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示A地至B、C兩地的位移，并求出A地至B、C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）解：表示A地至B地的位移，且 240km . 表示A地至C地的位移，且 300km .（三）平行向量、共線向量與相等向量平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行。說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量平行，記作。共線向量定義：平行向量也叫做共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.相等向量定

9、義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量。說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定。問題2：兩個向量是否可以比較大?。浚ㄏ蛄坎荒鼙容^大小，我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量、，或”這種說法是錯誤的。）例2 判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；單位向量都相等；若，則四邊形ABCD是平

10、行四邊形；若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上。不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定。ABC不正確.正確.不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好。三、練習(xí)：1下列各量中不是向量的是（ ）A.浮力 B.風(fēng)速 C.位移 D.密度2.下列說法中錯誤的是（ ）A.零向量是沒有方向的 B.零向量的長度為0C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的3把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（ ）A.一條線段 B.一段圓弧 C.圓上一群孤立點(diǎn) D.一個單位圓4已知非零向量,若非零向量，則與必定 .5已知、是兩非零向量,且與不共線,若非零向量與