雞兔同籠應(yīng)用題

1、雞兔同籠應(yīng)用題典型應(yīng)用題之雞兔同籠一, 基本問題" 雞兔同籠 "是一類有名的中國(guó)古算題 .最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng) 中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題 都可以轉(zhuǎn)化成這類問題 ,或者用解它的典型解法 -" 假設(shè)法 "來求解 .因此很有必要學(xué)會(huì)它的 解法和思路 .例1 有若干只雞和兔子 ,它們共有 88個(gè)頭,244 只腳,雞和兔各有多少只解:我們?cè)O(shè)想 ,每只雞都是 "金雞獨(dú)立 ", 一只腳站著 ;而每只兔子都用兩條后腿 , 像人一樣用兩 只腳站著現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是244十2=122（只）.在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次 , 兔子的頭

2、數(shù)相當(dāng)于算了兩次 . 因此從 122減去總頭數(shù) 88, 剩下的就是兔子頭 數(shù)122-88=34， 有34只兔子.當(dāng)然雞就有 54只.答:有兔子 34只，雞54只.上面的計(jì)算 ， 可以歸結(jié)為下面算式 :總腳數(shù)十2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的 . 做一次除法和一次減法 ， 馬上能求出兔子數(shù) ，多簡(jiǎn) 單!能夠這樣算 ，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是 4和2，4 又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn) 化成這類問題時(shí) ，" 腳數(shù)"就不一定是 4和2，上面的計(jì)算方法就行不通 .因此，我們對(duì)這類問題 給出一種一般解法 .還說例 1.如果設(shè)想88只都是兔子,那么就有4X 88只

3、腳,比244只腳多了 88 X 4-244=108（只）.每只雞 比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（88 X 4-244） - （4-2）= 54（只）.說明我們?cè)O(shè)想的88只"兔子” 中， 有 54 只不是兔子 . 而是雞 . 因此可以列出公式雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）十（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是”雞",那么共有腳2 X 88=176（只），比244只腳少了244-176=68（ 只）.每只雞比每只兔子少 （4-2） 只腳，68- 2=34（只）.說明設(shè)想中的 "雞"，有34只是兔子 ，也可以列出公式 兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳

4、數(shù)X總頭數(shù)）十（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）. 上面兩個(gè)公式不必都用 ， 用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù) ， 再用總頭數(shù)去減 ， 就知道另一個(gè)數(shù) . 假設(shè)全是雞 ， 或者全是兔 ， 通常用這樣的思路求解 ， 有人稱為 "假設(shè)法 ".現(xiàn)在 ， 拿一個(gè)具體問題來試試上面的公式 .例2 紅鉛筆每支元 ，藍(lán)鉛筆每支元 ，兩種鉛筆共買了 1 6支，花了元.問紅，藍(lán)鉛筆各買幾支 解:以"分"作為錢的單位 .我們?cè)O(shè)想 ，一種"雞"有11只腳，一種"兔子"有19只腳，它們共有 16 個(gè)頭 ，280 只腳 .現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題 ，轉(zhuǎn)化成"

5、雞兔同籠 "問題了.利用上面算兔數(shù)公式 ，就有藍(lán)筆數(shù)=（19 X 16-280） - （19-11）=24-8=3（支）.紅筆數(shù) =16-3=13（ 支）.答:買了 13支紅鉛筆和 3支藍(lán)鉛筆 .對(duì)于這類問題的計(jì)算 ，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性 .例2中的"腳數(shù)"19 與11之和是 30. 我們也可以設(shè)想 16只中，8 只是"兔子"，8 只是"雞"， 根據(jù)這一設(shè)想 ，腳數(shù)是8X (11 + 19)=240.比 280 少 40.40-(19 -11)=5.就知道設(shè)想中的 8只"雞"應(yīng)少 5只,也就是&q

6、uot;雞"(藍(lán)鉛筆)數(shù)是 3.30x 8比19X 16或11X 16要容易計(jì)算些利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計(jì)算實(shí)際上,可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù) .例如,設(shè)想 16只中," 兔數(shù)"為10,"雞數(shù)"為6, 就有腳數(shù)19x 10+11x 6=256.比 280 少 24.24- (19 -11)=3,就知道設(shè)想 6只"雞"， 要少 3只. 要使設(shè)想的數(shù) , 能給計(jì)算帶來方便 , 常常取決于你的心算本領(lǐng) . 下面再舉四個(gè)稍有難度的例子 .例3 一份稿件,甲單獨(dú)打字需 6小時(shí)完成 .乙單獨(dú)打字需 10小時(shí)完成 ,現(xiàn)在甲

7、單獨(dú)打若干小 時(shí)后,因有事由乙接著打完 ,共用了 7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)解：我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30- 6=5(份),乙每小時(shí)打 30- 10=3(份).現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成 "兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成 "雞"頭數(shù),總頭數(shù)是 7."兔"的腳數(shù)是 5,"雞"的腳數(shù)是 3,總腳數(shù)是 30,就把問題轉(zhuǎn)化成 "雞兔同籠 "問題了.根據(jù)前面的公式"兔”數(shù)=(30-3 X 7) - (5-3)J"雞"數(shù)=J也就是甲打字用

8、了小時(shí) , 乙打字用了小時(shí) .答： 甲打字用了 4 小時(shí) 30 分.例4 今年是 1998年,父母年齡(整數(shù))和是 78歲,兄弟的年齡和是 17歲.四年后(2002年)父 的年齡是弟的年齡的 4倍,母的年齡是兄的年齡的 3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的 3倍時(shí), 是公元哪一年解：4 年后 , 兩人年齡和都要加 8. 此時(shí)兄弟年齡之和是 17+8=25, 父母年齡之和是 78+8=86. 我 們可以把兄的年齡看作 "雞"頭數(shù), 弟的年齡看作 "兔"頭數(shù).25 是"總頭數(shù) ".86 是"總腳數(shù)". 根 據(jù)公式 , 兄的

9、年齡是(25 X 4-86) - (4-3)=14(歲).1998 年 , 兄年齡是14-4=10( 歲).父年齡是(25-14) X 4-4=40( 歲).因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的 3倍時(shí),兄的年齡是(40-10) - (3-1)=15(歲).這是 2003 年 .答： 公元 2003 年時(shí) , 父年齡是兄年齡的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8條腿 , 蜻蜓有 6 條腿和 2 對(duì)翅膀 , 蟬有 6 條腿和 1 對(duì)翅膀 . 現(xiàn)在這三種小蟲共 18 只,有118條腿和 20對(duì)翅膀.每種小蟲各幾只解： 因?yàn)轵唑押拖s都有 6 條腿, 所以從腿的數(shù)目來考慮 , 可以把小蟲分成 "8 條腿&q

10、uot;與"6 條腿" 兩種.利用公式就可以算出 8 條腿的蜘蛛數(shù)=（118-6 X 18） - （8-6）=5（只）.因此就知道 6 條腿的小蟲共18-5=13（ 只）.也就是蜻蜓和蟬共有 1 3只,它們共有 20對(duì)翅膀 .再利用一次公式蟬數(shù)=（13 X 2-20） - （2-1）=6（只）.因此蜻蜓數(shù)是 13-6=7（ 只）.答: 有 5 只蜘蛛 ,7 只蜻蜓 ,6 只蟬.例 6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題 , 全班 52 人參加 ,共做對(duì) 181 道題,已知每人至少做對(duì) 1 道題, 做 對(duì)1道的有 7人,5 道全對(duì)的有 6人,做對(duì)2道和 3道的人數(shù)一樣多 ,那么做對(duì) 4道的

11、人數(shù)有 多少人解:對(duì) 2道,3 道,4 道題的人共有52-7-6=39（ 人 ）.他們共做對(duì)181-1 X 7-5 X 6=144（道）.由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對(duì)道題的人（2+3）十2=.這樣兔腳數(shù) =4, 雞腳數(shù) =,總腳數(shù) =144, 總頭數(shù) =39.對(duì) 4 道題的有X 39） - =31（人）.答: 做對(duì) 4道題的有 31 人.習(xí)題一1 .龜鶴共有 100個(gè)頭,350 只腳.龜,鶴各多少只2. 學(xué)校有象棋 ,跳棋共 26副,恰好可供 1 20個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng) .象棋2人下一副棋 ,跳棋 6 人下一副 . 象棋和跳棋各有幾副3. 一些 2分和 5分的硬幣,

12、共值元,其中 2分硬幣個(gè)數(shù)是 5分硬幣個(gè)數(shù)的 4倍,問5分硬幣有 多少個(gè)4. 某人領(lǐng)得工資 240元,有 2元,5 元,10 元三種人民幣 , 共50張, 其中 2元與 5元的張數(shù)一樣 多. 那么 2元,5 元,10 元各有多少張5. 一件工程,甲單獨(dú)做 12天完成,乙單獨(dú)做 1 8天完成,現(xiàn)在甲做了若干天后 ,再由乙接著單獨(dú) 做完余下的部分 ,這樣前后共用了 1 6天.甲先做了多少天6. 摩托車賽全程長(zhǎng) 281 千米, 全程被劃分成若干個(gè)階段 , 每一階段中 , 有的是由一段上坡路 （3 千米）, 一段平路（4 千米）,一段下坡路 （2 千米）和一段平路 （4 千米）組成的;有的是由一段上

13、坡路（3千米）, 一段下坡路 （2千米）和一段平路 （4千米）組成的.已知摩托車跑完全程后 ,共跑 了 25 段上坡路 . 全程中包含這兩種階段各幾段7. 用1元錢買 4分,8分,1 角的郵票共 15張,問最多可以買 1角的郵票多少張二," 兩數(shù)之差 " 的問題 雞兔同籠中的總頭數(shù)是 "兩數(shù)之和 ", 如果把條件換成 " 兩數(shù)之差 ", 又應(yīng)該怎樣去解呢 例7 買一些 4分和 8分的郵票,共花 6元8角.已知8分的郵票比 4分的郵票多 40張,那么 兩種郵票各買了多少張解一:如果拿出 40 張 8 分的郵票 , 余下的郵票中 8分與

14、4分的張數(shù)就一樣多 .（680-8 X 40） - （8+4）=30（張）,這就知道 , 余下的郵票中 ,8 分和 4 分的各有 30 張.因此 8 分郵票有 40+30=70（張 ）.答:買了 8分的郵票 70 張,4 分的郵票 30 張. 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法 .解二:譬如,假設(shè)有 20張4分,根據(jù)條件 "8分比 4分多40張", 那么應(yīng)有 60張8分.以"分"作 為計(jì)算單位 , 此時(shí)郵票總值是4X 20+8X 60=560.比 680少,因此還要增加郵票 .為了保持 "差"是 40,每增加 1張4分,就要增加 1張 8分

15、,每種 要增加的張數(shù)是（680-4 X 20-8 X 60） - （4+8）=10（張）.因此 4 分有 20+10=30（張）,8 分有 60+10=70（張）.例 8 一項(xiàng)工程 , 如果全是晴天 ,15 天可以完成 . 倘若下雨 , 雨天一天 工程要多少天才能完成解:類似于例 3,我們?cè)O(shè)工程的全部工作量是 1 50份,晴天每天完成 1 0份,雨天每天完成 8份. 用上一例題解一的方法 , 晴天有（150-8 X 3） - （10+8）= 7（天）.雨天是 7+3=10天,總共7+10=17（ 天）.答: 這項(xiàng)工程 17 天完成 .請(qǐng)注意 ,如果把 "雨天比晴天多 3天"

16、去掉,而換成已知工程是 17天完成 ,由此又回到上一節(jié)的 問題.差是 3,與和是 1 7,知道其一 ,就能推算出另一個(gè) .這說明了例 7,例8與上一節(jié)基本問題 之間的關(guān)系 .總腳數(shù)是 "兩數(shù)之和 ", 如果把條件換成 " 兩數(shù)之差 ", 又應(yīng)該怎樣去解呢 例 9 雞與兔共 100 只, 雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少 28. 問雞與兔各幾只 解一：假如再補(bǔ)上28只雞腳，也就是再有雞28十2=14（只）,雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的 腳4十2=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是（100+28 - 2） - （2+1）=38（只）.雞是100-38=

17、62（ 只 ）.答： 雞 62 只， 兔 38 只.當(dāng)然也可以去掉兔 28十4=7（只）.兔的只數(shù)是（100-28 - 4） - （2+1）+7=38（只）. 也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法 .解二： 假設(shè)有 50 只雞 ， 就有兔 100-50=50（ 只）. 此時(shí)腳數(shù)之差是4X50-2X50=100，比28多了 72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了 （雞數(shù)少了 ）. 為了保持總數(shù)是 100，一只兔換成一只雞 ， 少了 4只兔腳，多了 2只雞腳，相差為 6只（千萬注意，不是 2）. 因此要減少的兔數(shù)是（100-28） - （4+2）=12（只）.兔只數(shù)是50-12=38（ 只 ）.另外 ， 還存在下面這

18、樣的問題 ： 總頭數(shù)換成 "兩數(shù)之差 "， 總腳數(shù)也換成 " 兩數(shù)之差 ".例 10 古詩中 ， 五言絕句是四句詩 ， 每句都是五個(gè)字 ; 七言絕句是四句詩 ， 每句都是七個(gè)字 . 有 一詩選集 ， 其中五言絕句比七言絕句多 13首， 總字?jǐn)?shù)卻反而少了 20個(gè)字 . 問兩種詩各多少首 . 解一 ： 如果去掉 13 首五言絕句 ， 兩種詩首數(shù)就相等 ， 此時(shí)字?jǐn)?shù)相差13X 5X 4+20=280（字）.每首字?jǐn)?shù)相差7X 4-5 X 4=8（字）.因此 , 七言絕句有28- （28-20）=35（首）.五言絕句有35+13=48（首）.答:五言絕句 48首,

19、七言絕句 35首.解二 :假設(shè)五言絕句是 23 首, 那么根據(jù)相差 13 首, 七言絕句是 10 首. 字?jǐn)?shù)分別是 20X 23=460（字）,28 X 10=280（字）, 五言絕句的字?jǐn)?shù) ,反而多了460-280=180（ 字）.與題目中 "少 20 字"相差180+20=200（ 字）.說明假設(shè)詩的首數(shù)少了 .為了保持相差 1 3首,增加一首五言絕句 ,也要增一首七言絕句 ,而字 數(shù)相差增加 8. 因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加200- 8=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出"雞兔同籠 "公式的時(shí)

20、候 ,我們假設(shè)都是兔 ,或者都是雞 ,對(duì)于例 7,例9和例 10三個(gè)問 題, 當(dāng)然也可以這樣假設(shè) . 現(xiàn)在來具體做一下 , 把列出的計(jì)算式子與 "雞兔同籠 " 公式對(duì)照一下 就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事 .例 7, 假設(shè)都是 8 分郵票 ,4 分郵票張數(shù)是（680-8 X 40） - （8+4）=30（張）.例 9, 假設(shè)都是兔 , 雞的只數(shù)是（100 X 4-28） - （4+2）=62（只）.10, 假設(shè)都是五言絕句 , 七言絕句的首數(shù)是（20 X 13+20） - （28-20）=35（首）.首先,請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來,然后與"雞兔同籠 "公式

21、比較 ,這三個(gè)算式只是有一處 "-" 成了 "+". 其奧妙何在呢當(dāng)你進(jìn)入初中 , 有了負(fù)數(shù)的概念 ,并會(huì)列二元一次方程組 ,就會(huì)明白 , 從數(shù)學(xué)上說 , 這一講前兩 節(jié)列舉的所有例子都是同一件事 .例 11 有一輛貨車運(yùn)輸 2000只玻璃瓶 ,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算 ,每只 2角,如有破 損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi) ,還要每只賠償 1 元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)元 ,問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾 只解: 如果沒有破損 , 運(yùn)費(fèi)應(yīng)是 400 元. 但破損一只要減少 1+=（元）. 因此破損只數(shù)是十（1+=17（只）.答:這次搬運(yùn)中破損了 17只玻璃瓶 . 請(qǐng)你想一

22、想 , 這是 " 雞兔同籠 "同一類型的問題嗎 例12 有兩次自然測(cè)驗(yàn) ,第一次 24道題,答對(duì)1題得 5分,答錯(cuò)（包含不答 ）1 題倒扣 1分;第二 次15道題,答對(duì)1題8分,答錯(cuò)或不答 1 題倒扣 2分,小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題,但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分, 問小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分解一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn) 24題全對(duì)，得5X 24=120（分）.那么第二次只做對(duì) 30-24=6（題）得分是8X 6-2 X （15-6）=30（分）.兩次相差120-30=90（ 分）.比題目中條件相差 1 0分,多了80分.說明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了 ,要減少.第一次

23、答對(duì)減 少一題 ,少得 5+1=6（分）, 而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2 分, 還可得 8 分, 因此增加8+2=10 分. 兩者兩差數(shù)就可減少6+10=16（ 分）.（90-10） - （6+10）=5（題）.因此 , 第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè) （ 全對(duì) ） 減少 5 題, 也就是第一次答對(duì) 19 題, 第二次答對(duì)30-19=11（ 題）.第一次得分5X19-1X(24- 9)=90. 第二次得分8X 11- 2X (15 -11)=80.答:第一次得 90分,第二次得 80分.解二:答對(duì) 30題,也就是兩次共答錯(cuò)24+15-30=9（ 題）.第一次答錯(cuò)一題 ,要從滿分中扣去 5+1=6（

24、分）, 第二次答錯(cuò)一題 ,要從滿分中扣去 8+2=10（分）. 答錯(cuò)題互換一下 ,兩次得分要相差 6+10=16（分）.如果答錯(cuò)9題都是第一次，要從滿分中扣去6 X 9但兩次滿分都是120分.比題目中條件”第 一次得分多10分"，要少了 6X 9+10.因此,第二次答錯(cuò)題數(shù)是（6 X 9+10） - （6+10）=4（題）第一次答錯(cuò) 9-4=5（ 題）.第一次得分 5 X （24-5）-1 X 5=90（ 分）.第二次得分 8 X （15-4）-2 X 4=80（ 分）.習(xí)題二1 .買語文書 30本，數(shù)學(xué)書 24本共花元 .每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴元 .每本語文書和數(shù)學(xué)書 的價(jià)格各是

25、多少2. 甲茶葉每千克 1 32元，乙茶葉每千克 96元，共買這兩種茶葉 12千克.甲茶葉所花的錢比乙 茶葉所花錢少 354 元. 問每種茶葉各買多少千克3. 一輛卡車運(yùn)礦石 ，晴天每天可運(yùn) 16次，雨天每天只能運(yùn) 11 次.一連運(yùn)了若干天 ，有晴天，也 有雨天.其中雨天比晴天多 3天，但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少 27次.問一連運(yùn)了多少天4. 某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共 20道題，做對(duì)一題得 5分，做錯(cuò)一題倒扣 1 分，不做得 0分.小華得了 76 分. 問小華做對(duì)了幾道題5. 甲，乙二人射擊 ，若命中，甲得 4分，乙得 5分;若不中 ，甲失 2分，乙失 3分.每人各射 10發(fā)， 共命中 14發(fā).結(jié)算分

26、數(shù)時(shí) ，甲比乙多 1 0分.問甲，乙各中幾發(fā)6. 甲，乙兩地相距 12 千米.小張從甲地到乙地 ，在停留半小時(shí)后 ，又從乙地返回甲地 ，小王從 乙地到甲地 ， 在甲地停留 40 分鐘后 ， 又從甲地返回乙地 . 已知兩人同時(shí)分別從甲 ， 乙兩地出發(fā) 經(jīng)過 4小時(shí)后，他們?cè)诜祷氐耐局邢嘤?.如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走千米 ，求兩人的速度.三， 從"三"到"二""雞"和"兔"是兩種東西 ，實(shí)際上還有三種或者更多種東西的類似問題 .在第一節(jié)例 5 和例 6就都有三種東西 .從這兩個(gè)例子的解法 ，也可以看出 ，要把&

27、quot;三種"轉(zhuǎn)化成 "二種"來考慮 .這一節(jié)要通過一些例題 , 告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法.例 13 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì) , 用于獎(jiǎng)品的鉛筆 , 圓珠筆和鋼筆共 232 支 , 共花了 300 元 . 其中 鉛筆數(shù)量是圓珠筆的 4 倍 . 已知鉛筆每支元 , 圓珠筆每支元 , 鋼筆每支元 . 問三種筆各有多少 支 解:從條件"鉛筆數(shù)量是圓珠筆的 4倍", 這兩種筆可并成一種筆 ,四支鉛筆和一支圓珠筆成一 組, 這一組的筆 ,每支價(jià)格算作X 4+ 十 5=（元）.現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為和兩種筆 . 用"雞兔同籠 "公式可算出 ,

28、鋼筆支數(shù)是X 232）十支）.鉛筆和圓珠筆共232-12=220（ 支）.其中圓珠筆220- （4+1）=44（支）.鉛筆220-44=176（ 支）.答: 其中鋼筆 12 支,圓珠筆 44支, 鉛筆 176支.例14 商店出售大 ,中,小氣球,大球每個(gè) 3元,中球每個(gè)元 ,小球每個(gè) 1元.張老師用 120元共 買了 55個(gè)球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多 .問每種球各買幾個(gè) 解:因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù) ,大,小球的價(jià)錢也都是整數(shù) ,所以買中球的錢數(shù)是整數(shù) ,而且還是 3的 整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買中球 ,小球錢中各出 3元.就可買2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種 球看作一種 , 每個(gè)價(jià)錢是

29、X 2+1 X 3） - （2+3）=（元）.從公式可算出 , 大球個(gè)數(shù)是X 55） - =30（個(gè)）.買中 , 小球錢數(shù)各是（120-30 X 3） - 2=15（元）.可買 10 個(gè)中球 ,15 個(gè)小球 .答:買大球 30個(gè),中球10個(gè),小球 15個(gè).例 1 3是從兩種東西的個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系 , 例1 4是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系 （倍數(shù)關(guān) 系也可用類似方法 ）, 把兩種東西合井成一種考慮 , 實(shí)質(zhì)上都是求兩種東西的平均價(jià) , 就把" 三 "轉(zhuǎn)化成 "二" 了.例 15 是為例 16 作準(zhǔn)備 .例 15 某人去時(shí)上坡速度為每小時(shí)走 3 千米 ,

30、 回來時(shí)下坡速度為每小時(shí)走 6 千米 , 求他的平均 速度是多少解 : 去和回來走的距離一樣多. 這是我們考慮問題的前提 .平均速度= 所行距離十所用時(shí)間去時(shí)走 1千米,要用20分鐘;回來時(shí)走 1千米,要用 1 0分鐘.來回共走 2千米,用了30分鐘, 即半小時(shí) ,平均速度是每小時(shí)走 4千米.千萬注意，平均速度不是兩個(gè)速度的平均值：每小時(shí)走（6+3）十2=千米.例16 從甲地至乙地全長(zhǎng) 45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí) 3千米,平 路上速度是每小時(shí) 5千米，下坡速度是每小時(shí) 6千米.從甲地到乙地 ，李強(qiáng)行走了 10小時(shí);從 乙地到甲地 ，李強(qiáng)行走了 1 1小時(shí).問從甲地到

31、乙地 ，各種路段分別是多少千米解:把來回路程 45 X 2=90（千米）算作全程.去時(shí)上坡，回來是下坡；去時(shí)下坡回來時(shí)上坡把 上坡和下坡合并成 "一種"路程，根據(jù)例 15，平均速度是每小時(shí) 4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單 的"雞兔同籠"問題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù) 90,雞,兔腳數(shù)分別是 4和5.因此平路所用時(shí)間是 （90-4 X 21） - （5-4）=6（小時(shí)）.單程平路行走時(shí)間是6十2=3（小時(shí)）.從甲地至乙地 ,上坡和下坡用了 10-3=7（ 小時(shí)）行走路程是45-5 X 3=30（千米 ）.又是一個(gè) "雞兔同籠 "問題.

32、 從甲地至乙地 , 上坡行走的時(shí)間是（6 X 7-30） - （6-3）=4（小時(shí)）. 行走路程是 3X 4=12（千米）.下坡行走的時(shí)間是 7-4=3（小時(shí)）行走路程是6X 3=18（千米）. 答:從甲地至乙地 ,上坡 12 千米,平路 15千米,下坡 18千米.做兩次"雞兔同籠 "的解法,也可以叫 "兩重雞兔同籠問題 " 例16是非常典型的例題 例17某種考試已舉行了24次,共出了 426題.每次出的題數(shù),有25題,或者16題,或者20題.那么，其中考25題的有多少次解：如果每次都考16題,16 X 24=384,比426少42道題 每次考25道題，

33、就要多25-16=9（道）.每次考20道題，就要多20-16=4（道）.就有9X考25題的次數(shù)+4X考20題的次數(shù)=42.請(qǐng)注意,4和42都是偶數(shù),9 X考25題次數(shù)也必須是偶數(shù)，因此,考25題的次數(shù)是偶數(shù)，由9 X 6=54比42大，考25題的次數(shù)，只能是0,2,4這三個(gè)數(shù)由于42不能被4整除,0和4都不 合適.只能是考25題有2次（考20題有6次）.答：其中考25題有2次例18 有50位同學(xué)前往參觀 ,乘電車前往每人元 ,乘小巴前往每人 4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車費(fèi)110元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位解：由于總錢數(shù) 110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù) ,因此乘電車前

34、往的人數(shù)一定是 5的 整數(shù)倍 如果有 30 人乘電車 ,X 30=74（元）.還余下 50-30=20（ 人） 都乘小巴錢也不夠 說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了 如果有 40 人乘電車X 40=62（元）.還余下50-40=10（人）都乘地下鐵路前往，錢還有多（62>6 X 10）.說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多 了 .30至40之間，只有35是5的整數(shù)倍.現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成 "雞兔同籠 "了：總頭數(shù) 50-35=15， 總腳數(shù) X 35=68.因此，乘小巴前往的人數(shù)是（6 X 15-68） -（6 -4）=11.答： 乘小巴前往的同學(xué)有11 位.在"三"轉(zhuǎn)化為

35、"二"時(shí)，例13，例14，例16是一種類型 .利用題目中數(shù)量比例關(guān)系 ，把兩種東西 合并組成一種 .例 17，例 18是另一種類型 .充分利用所求個(gè)數(shù)是整數(shù) ，以及總量的限制 ，其中 某一個(gè)數(shù)只能是幾個(gè)數(shù)值 . 對(duì)幾個(gè)數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件 . 確定了一個(gè)個(gè)數(shù) ，也就 變成"二"的問題了 .在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi) ，學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了 .更復(fù)雜的問題 ，只能借 助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解 .習(xí)題三1. 有100枚硬幣,把其中 2分硬幣全換成等值的 5分硬幣,硬幣總數(shù)變成 79個(gè),然后又把其中 的 1 分硬幣換成等值的 5分硬幣 , 硬

36、幣總數(shù)變成 63個(gè).求原有 2 分及 5分硬幣共值多少錢2. " 京劇公演 "共出售 750張票得 22200元.甲票每張 60 元,乙票每張 30 元,丙票每張 18元. 其中丙票張數(shù)是乙票張數(shù)的2 倍. 問其中甲票有多少張3. 小明參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ,共做 20題得 67 分.已知做一題得 5分,不答得 2分,做錯(cuò)一題倒扣 3 分. 又知道他做錯(cuò)的題和沒答的題一樣多. 問小明共做對(duì)幾題分,2 分和 5 分硬幣共 100 枚, 價(jià)值 2 元, 如果其中 2 分硬幣的價(jià)值比 1分硬幣的價(jià)值多 13 分. 問三種硬幣各多少枚注: 此題沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)運(yùn)算的同學(xué)可以不做.5.甲地與乙地

37、相距 24千米. 某人從甲地到乙地往返行走.上坡速度每小時(shí) 4千米, 走平路速度每小時(shí) 5千米,下坡速度每小時(shí) 6千米.去時(shí)行走了 4小時(shí) 50 分,回來時(shí)用了 5小時(shí).問從甲 地到乙地 ,上坡 ,平路,下坡各多少千米6.某學(xué)校有 12間宿舍,住著 80個(gè)學(xué)生.宿舍的大小有三種 :大的住 8個(gè)學(xué)生,不大不小的住 7 個(gè)學(xué)生 ,小的住 5人.其中不大不小的宿舍最多 , 問這樣的宿舍有幾間測(cè)驗(yàn)題1. 松鼠媽媽采松籽 ,晴天每天可以采 20個(gè), 雨天每天只能采 12個(gè). 它一連幾天采了 112個(gè)松 籽, 平均每天采 14 個(gè). 問這幾天當(dāng)中有幾天有雨2. 有一水池 ,只打開甲水龍頭要 24分鐘注滿水池 ,只打開乙水龍頭要 36 分鐘才注滿水池 .現(xiàn) 在先打開甲水龍頭幾分鐘 , 然后關(guān)掉甲 , 打開乙水龍頭把水池注滿 . 已知乙水龍頭比甲水龍頭 多開 26 分鐘 . 問注滿水池總共用了多少分鐘3. 某工程甲隊(duì)獨(dú)做 50天可以完成 ,乙隊(duì)獨(dú)做 75天可以完成 .現(xiàn)在兩隊(duì)合做 , 但是中途乙隊(duì)因 另有任務(wù)調(diào)離了若干天 .從開工后 40 天才