降落傘選購(gòu)問(wèn)題

1、2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： D題 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)

2、置報(bào)名號(hào)的話）： Y3701 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）： 西安歐亞學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 任悅 2. 趙婉婷 3. 王嘉琛 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 程紅萍 日期： 2013 年 08 月 14 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專(zhuān) 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：“降落傘選購(gòu)問(wèn)題”模型分析摘 要 本文研究物質(zhì)救援的空投中，如何選擇降落傘，以達(dá)

3、到既滿足空投要求，費(fèi)用又最低的目的，運(yùn)用LINGO軟件和MATLAB軟件，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及高等數(shù)學(xué)知識(shí)建立微分方程模型，線性規(guī)劃模型，得出最佳的購(gòu)傘標(biāo)準(zhǔn)。我們先對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析，由假設(shè)4可得到降落傘只受到豎直方向上空氣阻力和重力的作用，我們首先確定空氣阻力系數(shù)，再計(jì)算降落傘的最大載重量。了解這兩方面根據(jù)題中已知各個(gè)半徑降落傘的費(fèi)用，確定滿足空投條件下，購(gòu)置降落傘費(fèi)用最低。求空氣阻力：通過(guò)對(duì)降落傘在空中的受力情況的分析，利用牛頓第二定律，運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得出加速度。然后運(yùn)用MATLAB軟件求得降落傘下落時(shí)離地面高度與時(shí)間的表達(dá)式，進(jìn)而求得阻力系數(shù)k的值。關(guān)于最大載重量：我們建立了速度對(duì)時(shí)間的微分

4、方0程聯(lián)立傘的面積及下落位移可得出。通過(guò)分析了解到降落傘是一直做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，不存在平衡狀態(tài)。因此，求最大載重量取傘在下降到地面的瞬間達(dá)到最大速度,此時(shí)，解得半徑為r的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量。建立高度與時(shí)間，速度與時(shí)間的方程組，代入最大速度20m/s，高度500m,傘的半徑（題中已給出可能選購(gòu)的每種傘的半徑），分別計(jì)算出每種傘的最大承載量。最后運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行線性規(guī)劃求解得：x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即購(gòu)買(mǎi)半徑為3m的降落傘6個(gè)時(shí)總費(fèi)用最少為4849元。關(guān)鍵詞：空氣阻力系數(shù)，二次微分，線性規(guī)劃 一、問(wèn)題重述為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共2000kg，需

5、選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度為500m，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過(guò)20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根長(zhǎng)共16根繩索連接的載重m位于球心正下方球面處，如下圖：每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面費(fèi)用C1由傘的半徑r決定，見(jiàn)表1；繩索費(fèi)用C2由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元/米決定；固定費(fèi)用C3為200元。 表1:不同半徑傘的費(fèi)用r（m）22.533.54費(fèi)用（元）651703506601000降落傘在降落過(guò)程中受到重力作用外還受到的空氣阻力，可以認(rèn)為與降落速度和傘的受力面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m、載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各時(shí)刻的高度 ，見(jiàn)

6、表2。表2：時(shí)間與高度的關(guān)系時(shí)刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551試根據(jù)以上條件確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大（在表1中選擇），在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。二、模型假設(shè)假設(shè)1：空投的救災(zāi)物資可以任意分割;假設(shè)2：空投的物資初速度為0m/s；假設(shè)3：空頭剛開(kāi)始時(shí)降落傘已經(jīng)打開(kāi)；假設(shè)4：降落傘下降過(guò)程中忽略風(fēng)力的影響，只受空氣阻力和重力，且傘整體受力均勻；假設(shè)5：降落傘傘面和繩索質(zhì)量可忽略不計(jì)；假設(shè)6：不考慮物體掛于降落傘時(shí)，因脫落造成的損失。三、符號(hào)說(shuō)明四、問(wèn)題分析在物資救援之中，空投

7、已然成為最便捷，效率最高的方式。由于降落傘難以重復(fù)使用，所以如何減少降落傘成本，節(jié)約此方面救災(zāi)支出到其他救援方面，顯得尤為重要。由題意可知降落傘的價(jià)格由三部分組成：傘面費(fèi)用C1、繩索費(fèi)用C2、固定費(fèi)用C3。傘面費(fèi)用由傘的半徑r決定；繩索費(fèi)用C2由繩索的長(zhǎng)度決定，由圖一可得繩索的長(zhǎng)度與降落傘半徑的關(guān)系，即；固定費(fèi)用為定值200（題中已知）。我們需要確定每種傘的最大承載量，在滿足空投物資的要求下選購(gòu)傘的費(fèi)用最小。因此進(jìn)行線性規(guī)劃，確定總費(fèi)用和每種傘的個(gè)數(shù)。要確定最大載重量，需對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析（如圖二所示）。由假設(shè)4可知降落傘在降落過(guò)程中受到豎直向下的重力作用和豎直向上的空氣阻力的作用，而空氣阻

8、力又、與阻力系數(shù)、運(yùn)動(dòng)速度、傘的受力面積有關(guān)。運(yùn)動(dòng)速度和受力面積是已知的，所以要想確定每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力系數(shù)。圖一 圖二 由假設(shè)2可得物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為初速度為0的加速運(yùn)動(dòng)。我們可以建立一個(gè)位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)擬合出阻力系數(shù)k的值。然后再建立一個(gè)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立求解出最大載重量（其中高度和速度由題目已經(jīng)給出）。最后用LINGO軟件進(jìn)行線性規(guī)劃算出問(wèn)題要的結(jié)果。五、建模與求解5.1確定空氣阻力系數(shù)為了便于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解，我們把降落傘和救災(zāi)物資看成一個(gè)整體如圖二所示。由假設(shè)四可知，降落傘在下降的過(guò)程中只受到向上的空氣阻力和向下

9、的重力作用。又由已知可知空氣阻力與降落速度和傘的受力面積的乘積成正比，可得，則物體在豎直方向上所受的和外力為: 由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程: 可得 微分方程模型由物體位移x和時(shí)間的二次微分等于加速度建立方程得: 利用二次微分的解法可得出 由可得出： 題目已經(jīng)給t-h數(shù)據(jù)為：時(shí)刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551對(duì)給定的數(shù)據(jù)以為擬合函數(shù)進(jìn)行擬合，由 ,得出。5.2 求解最大承載量由速度對(duì)時(shí)間的微分等于加速度,以及聯(lián)立方程組： 由二次微分解法可求出： 聯(lián)立得到方程組：解得：由于降落傘在下落過(guò)程中質(zhì)量不變，所以可以將中的看為一個(gè)定值

10、，有假設(shè)5可得出有關(guān)的方程為：從上式我們可以知道是關(guān)于m的單調(diào)遞增函數(shù)，如果存在平衡狀態(tài)則必須滿足，則 而又通過(guò)對(duì) 分析，只有在，這與實(shí)際矛盾，故降落傘是一直做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，不存在平衡狀態(tài)。因此，求最大載重量取傘在下降到地面的瞬間達(dá)到最大速度,此時(shí)，由得到的方程組解得半徑為r的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量如下表：r（m）22.533.54最大承載（kg）151.0173235.9645339.7890462.4906604.0694取整(kg)1512353394626045.3線性規(guī)劃求解數(shù)量和費(fèi)用由分析可知每種傘的單價(jià)：由題可知為:r（m）22.533.54費(fèi)用（元）6517

11、03506601000為： 為固定值即：由以上數(shù)據(jù)求得每種傘的單價(jià)見(jiàn)下表：r（m）22.533.54單價(jià)C446596.3821.51176.81562取整44659682211771562我們?cè)O(shè)每種傘分別取x1,x2,x3,x4,x5個(gè),則其目標(biāo)函數(shù)為：z=446x1+596x2+822x3+1177x4+1562x5對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解z的最小值，就是所需的最小費(fèi)用。由分析可知其限制條件如下：s.t. 151x1+235x2+339x3+462x4+604x5=2000;(x1，x2，x3，x4，x5);用LINGO求解得（程序見(jiàn)附件【1】）x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0。最

12、少總費(fèi)用為4849.558元。六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：本模型的求解過(guò)程運(yùn)用了電腦軟件，使得計(jì)算更加精確。缺點(diǎn)：1、 本模型未考慮降落傘打開(kāi)的時(shí)間，將其假設(shè)成在下降時(shí)傘就已經(jīng)打開(kāi)。2、 由于在實(shí)際生活中降落傘還受到風(fēng)向的影響，本模型假設(shè)的是理想的狀態(tài)下（無(wú)風(fēng)）改進(jìn)：由于本模型假設(shè)的是在物資拋落的瞬時(shí)傘已打開(kāi)，而在實(shí)際情況中物資拋落后應(yīng)有一段自由落體運(yùn)動(dòng)。在模型的改進(jìn)時(shí)應(yīng)考慮到這一點(diǎn)，以便讓模型更切合實(shí)際。七、參考文獻(xiàn)1趙 靜 但 琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M，北京：高等教育出版社，20002袁新生 邵大宏 郁時(shí)煉，LINGO 和Excel 在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用M，北京: 科學(xué)出版社，20073姜啟源

13、 謝金星，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育出版社，20064姜啟源 謝金星，數(shù)學(xué)建模（第三版），北京：高等教育出版社，20085程紅萍、鐘忠鑾，高等數(shù)學(xué)（第二版）M，同濟(jì)大學(xué)出版社，上海，20096百度文庫(kù)，數(shù)學(xué)建模降落傘的選購(gòu)問(wèn)題， ，八、附錄附件一min=446*x1+596*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5;151*x1+235*x2+339*x3+462*x4+604*x5=2000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;求解得Global optimal solution found. Objective valu

14、e: 4849.558 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0 Model Class: LP Total variables: 5 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 7 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 15 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 79.85841 X2 0.000000 26.17699 X3 5.899705 0.0