第1章 1.1 第2課時　正弦定理(2)

1、.第2課時正弦定理2學(xué)習(xí)目的：1.利用正弦定理判斷三角形的形狀，計算三角形的面積重點2.正弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用難點3.利用正弦定理解題時，忽略隱含條件而致誤易錯點自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1正弦定理的深化與變形12R.2a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.3，.4abcsin Asin Bsin C.2三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.考慮1：三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個數(shù)？提示假如兩個三角形有兩邊及其夾角分別相等，那么這兩個三角形全等即三角形的兩邊及其夾角確定時，三角形的六個元素即可完全確定，故不必考慮解的個數(shù)的問題考慮

2、2：在ABC中，acos Bbcos A你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎打算怎么用上述條件?提示可借助正弦定理把邊化成角：2Rsin Acos B2Rsin Bcos A，移項后就是一個三角恒等變換公式sin Acos Bcos Asin B0.根底自測考慮辨析1在有些三角形中，asin A，bsin B，csin C2在ABC中，.3在ABC中，a2，b1，C30，那么SABC1.解析由正弦定理可知1，2正確；又SABC21sin 30，故3錯誤答案123合 作 探 究攻 重 難求三角形的面積在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B30，c2，b2，求ABC的面積S.思路探究先

3、求C，再求A，最后利用SABCbcsin A求解解由正弦定理得sin C.又cb，C60或C120.當(dāng)C60時，A90，Sbcsin A2；當(dāng)C120時，A30，Sbcsin A，ABC的面積S為2或.規(guī)律方法求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊或兩邊之積及其夾角正弦的問題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用.另外也要注意三個內(nèi)角的取值范圍，以防止由三角函數(shù)值求角時出現(xiàn)增根錯誤.跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，cos A，cos B.1求sin C的值；2設(shè)BC5，求ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號：57452019】解1在ABC中，0A，0B，ABC，由cos A，得sin A，由cos B，得si

4、n B，sin CsinABsin Acos Bcos Asin B.2在ABC中，由正弦定理得，AC，SABCBCACsin C5.利用正弦定理判斷三角形的形狀在ABC中，a2tan Bb2tan A，試判斷ABC的形狀思路探究根據(jù)正弦定理可以把問題轉(zhuǎn)化為角的問題，借助三角恒等變換知識化簡得到角與角的等量關(guān)系，再進(jìn)一步判斷解由得.由正弦定理得，即sin Acos Asin Bcos B，亦即sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B，AB或AB，ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形規(guī)律方法判斷三角形形狀的兩種途徑1利用正弦定理把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)

5、關(guān)系，從而判斷三角形的形狀2利用正弦定理把條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解提醒：用正弦定理進(jìn)展邊角互化的兩種方法：跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，假設(shè)sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，試判斷ABC的形狀解法一：在ABC中，根據(jù)正弦定理：2R.sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2.A90，BC90.由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos90B，sin2B，B是銳角，sin

6、 B，B45，C45.ABC是等腰直角三角形法二：在ABC中，根據(jù)正弦定理：sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.A180BC，sin A2sin Bcos C，sinBC2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sinBC0，BC0，即BC，ABC是等腰直角三角形.正弦定理在消費實際中的應(yīng)用探究問題1如圖111，如何測量河兩側(cè)A，B兩點間的間隔 ？圖111提示如圖，在B側(cè)選一條基線BC，測得BCa，ABC，ACB，那么由正弦定理可知，即AB.2你能畫出以下各角嗎？1南偏西30；2仰角30，俯角

7、45.提示如圖112，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60和45，AB長為40 m，斜坡與程度面成30角，求鐵塔CD的高圖112思路探究構(gòu)造三角形，通過三角形中的邊角關(guān)系求得ACD中的部分邊角，利用正弦定理在ACD中求CD的長解延長CD交過A，B的程度線于E，F(xiàn)，因為CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40，在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD.母題探究：1.變條件本例中的條件“60改為“75，“45改為60其他條件不變，試求鐵塔的高解

8、析延長CD交過A，B的程度線于點E，F(xiàn)如下圖因為CAE75，CBF60，DBF30，所以BCF30，ACE15，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA30，CAD45，在ABC中，AC20，在ACD中，CDm2變結(jié)論本例條件“A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60和45改為“ABAC，CD m其他條件不變，試求B處測得塔頂C的仰角解析設(shè)ABC，因為ABAC，所以ACBABC，所以CADABCACB2，因為斜坡與程度面成30角，所以ADC1809030120，在ACD中，由正弦定理得，所以，sin 2，又0 290，所以245，所以22.5，所以B處測得塔頂C的仰角為52.5.規(guī)律方法解

9、決實際測量問題的過程一般要充分理解題意，正確作出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解.提醒：實際應(yīng)用中，要注意三角函數(shù)公式的工具性作用.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1在ABC中，AB，BC1，B30，那么ABC的面積SABC_.解析SABCABBCsin B1.答案2在ABC中，假設(shè)，那么ABC是_三角形解析由正弦定理2R可知a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.由可知tan Atan Btan C，即ABC，ABC為等邊三角形答案等邊3如圖113所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的

10、間隔 為50 m，ACB45，CAB105，那么A，B兩點的間隔 為_ m. 【導(dǎo)學(xué)號：57452019】圖113解析由題意可知ABC1801054530，由正弦定理，得AB50m答案504ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)2bcos Bacos Cccos A，那么B_.解析法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos BsinAC又ABC，ACB.2sin Bcos BsinBsin B.又sin B0，cos B.B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，條件等式變?yōu)?bcos Bb，cos B.又0B，B.答案5.如圖114所示，A、B是