高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 11 數(shù)的概念的擴(kuò)展12 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念練習(xí) 北師大版選修12

1、1.1數(shù)的概念的擴(kuò)展1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解引入虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.4.理解復(fù)數(shù)的幾何表示1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)定義：形如abi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，bR，i叫作虛數(shù)單位a叫作復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫作復(fù)數(shù)的虛部表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi (a，bR)(2)復(fù)數(shù)集定義：復(fù)數(shù)的全體組叫作復(fù)數(shù)集表示：通常用大寫字母C表示2復(fù)數(shù)的分類及包含關(guān)系(1)復(fù)數(shù)(abi，a，bR)(2)集合表示：3兩個(gè)復(fù)數(shù)相等abicdi當(dāng)且僅當(dāng)ac且bd.

2、4復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)一一,對(duì)應(yīng),復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)一一,平面向量(a，b)5復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對(duì)應(yīng)的向量為，則的模叫作復(fù)數(shù)z的模或絕對(duì)值，記作|z|，且|z|. 情境導(dǎo)學(xué)為解決方程x22，數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；數(shù)的概念擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)很多問(wèn)題還不能解決，如從解方程的角度看，例如x21這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就無(wú)解，那么怎樣解決方程x21在實(shí)數(shù)系中無(wú)根的問(wèn)題呢？我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問(wèn)題能得到圓滿解決呢？本節(jié)我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念思考1為解決方程x22，數(shù)系從有

3、理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；那么怎樣解決方程x210在實(shí)數(shù)系中無(wú)根的問(wèn)題呢？答設(shè)想引入新數(shù)i，使i是方程x210的根，即i·i1，方程x210有解，同時(shí)得到一些新數(shù)思考2如何理解虛數(shù)單位i?答(1)i21.(2)i與實(shí)數(shù)之間可以運(yùn)算，亦適合加、減、乘的運(yùn)算律(3)由于i20與實(shí)數(shù)集中a20(aR)矛盾，所以實(shí)數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立(4)若i21，那么i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.思考3什么叫復(fù)數(shù)？怎樣表示一個(gè)復(fù)數(shù)？答形如abi(a，bR)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi，這一表示形式叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a、b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部思考4什么叫虛數(shù)？

4、什么叫純虛數(shù)？答對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，當(dāng)b0時(shí)叫作虛數(shù)；當(dāng)a0且b0時(shí)，叫作純虛數(shù)思考5復(fù)數(shù)mni的實(shí)部、虛部一定是m、n嗎？答不一定，只有當(dāng)mR，nR，則m、n才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部例1請(qǐng)說(shuō)出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并判斷它們是實(shí)數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù)23i；3i；i；i；0.解的實(shí)部為2，虛部為3，是虛數(shù)；的實(shí)部為3，虛部為，是虛數(shù)；的實(shí)部為，虛部為1，是虛數(shù)；的實(shí)部為，虛部為0，是實(shí)數(shù)；的實(shí)部為0，虛部為，是純虛數(shù)；的實(shí)部為0，虛部為0，是實(shí)數(shù)反思與感悟復(fù)數(shù)abi中，實(shí)數(shù)a和b分別叫作復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫作復(fù)數(shù)的虛部跟蹤訓(xùn)練1符合下

5、列條件的復(fù)數(shù)一定存在嗎？若存在，請(qǐng)舉出例子；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)實(shí)部為的虛數(shù)；(2)虛部為的虛數(shù)；(3)虛部為的純虛數(shù)；(4)實(shí)部為的純虛數(shù)解(1)存在且有無(wú)數(shù)個(gè)，如i等；(2)存在且不唯一，如1i等；(3)存在且唯一，即i；(4)不存在，因?yàn)榧兲摂?shù)的實(shí)部為0.例2 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m)i為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)當(dāng)，即m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)即m0且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當(dāng)，即m3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)反思與感悟利用復(fù)數(shù)的概念對(duì)復(fù)數(shù)分類時(shí)，主要依據(jù)實(shí)部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù)跟蹤訓(xùn)練2實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m3)i是(

6、1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)要使z是實(shí)數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m3.(2)要使z是虛數(shù)，m需滿足m22m30，且有意義即m10，解得m1且m3.(3)要使z是純虛數(shù)，m需滿足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.探究點(diǎn)二兩個(gè)復(fù)數(shù)相等思考1兩個(gè)復(fù)數(shù)能否比較大??？答如果兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，那么它們不能比較大小思考2兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？答復(fù)數(shù)abi與cdi相等的充要條件是ac且bd(a，b，c，dR)例3已知x，y均是實(shí)數(shù)，且滿足(2x1)iy(3y)i，求x與y.解由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得反思與感悟兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，首先要分清兩復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，

7、然后利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得到兩個(gè)方程，從而可以確定兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)跟蹤訓(xùn)練 3已知(x22x3)i(xR)，求x的值解由復(fù)數(shù)相等的定義得解得：x3，所以x3為所求探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義思考1實(shí)數(shù)可用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，類比一下，復(fù)數(shù)怎樣來(lái)表示呢？答任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi，都和一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)一一對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系小結(jié)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面，x軸叫作實(shí)軸，y軸叫作虛軸顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)思考2下列命題是否正確？在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸

8、上；在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)；答根據(jù)實(shí)軸的定義，x軸叫實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，反過(guò)來(lái)，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，如實(shí)軸上的點(diǎn)(2,0)表示實(shí)數(shù)2，因此是真命題；根據(jù)虛軸的定義，y軸叫虛軸，顯然所有純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上，如純虛數(shù)5i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0,5)，但虛軸上的點(diǎn)卻不都是純虛數(shù)，這是因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0表示的是實(shí)數(shù)，故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，所以是真命題，是假命題思考3復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量怎樣建立對(duì)應(yīng)關(guān)系？答當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，該向量可由終點(diǎn)唯一確定，從而可與該終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

9、復(fù)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系思考4怎樣定義復(fù)數(shù)z的模？它有什么意義？答復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，記作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)的距離例4在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍解復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實(shí)部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20.解得m2或m1.(2)由題意得，1<m<1.(3)由已知得m2m2m23m2，故m2.反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一

10、個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值跟蹤訓(xùn)練4已知復(fù)數(shù)z的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2，求復(fù)數(shù)z.解由已知，設(shè)zai(aR)則a2()24.解得a±1.所以z±1i.1已知復(fù)數(shù)za2(2b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是()A.，1 B.，5C±，5 D±，1答案C解析令，a±，b5.2如果zm(m1)(m21)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A1 B0 C1 D1或1答案B解析由題意知，m0.3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi2i2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B

11、第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析zi2i22i，實(shí)部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限4已知復(fù)數(shù)zai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|2，則復(fù)數(shù)z等于()A1i B1iC1i或1i D2i答案A解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，由|z|2知，2，解得a±1，故a1，所以z1i.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況；2兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)虛部，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件；3復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)；4研究復(fù)數(shù)

12、的問(wèn)題可利用復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)虛部的問(wèn)題，也可以結(jié)合圖形利用幾何關(guān)系考慮一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1設(shè)a，bR.“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析因?yàn)閍，bR.“a0”時(shí)“復(fù)數(shù)abi不一定是純虛數(shù)”“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”則“a0”一定成立所以a，bR.“a0”是“復(fù)數(shù)abi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件2下列命題正確的是()A若aR，則(a1)i是純虛數(shù)B若a，bR且a>b，則ai>biC若(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x±1D兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小答案D解析對(duì)于復(fù)數(shù)abi(

13、a，bR)，當(dāng)a0且b0時(shí)為純虛數(shù)在A中，若a1，則(a1)i不是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；在B中，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故B錯(cuò)誤；在C中，若x1，不成立，故C錯(cuò)誤；D正確3以2i的虛部為實(shí)部，以i2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是()A22i BiC2i D.i答案A解析設(shè)所求新復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，由題意知：復(fù)數(shù)2i的虛部為2；復(fù)數(shù)i2i2i2×(1)2i的實(shí)部為2，則所求的z22i.故選A.4若(xy)ix1(x，yR)，則2xy的值為()A. B2 C0 D1答案D解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知，解得xy0.2xy201.5設(shè)mR，m2m2(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m_.答

14、案2解析m2.6已知(2xy1)(y2)i0，求實(shí)數(shù)x，y的值解(2xy1)(y2)i0，解得所以實(shí)數(shù)x，y的值分別為，2.二、能力提升7若(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值是()A1 B1C±1 D1或2答案A解析由題意，得解得x1.8z134i，z2(n23m1)(n2m6)i，且z1z2，則實(shí)數(shù)m_，n_.答案2±2解析由z1z2得，解得.9.已知集合M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3，若MN3，則實(shí)數(shù)a_.答案1解析由MN3知，3M，即有(a23a1)(a25a6)i3，所以解得a1.10實(shí)數(shù)m分別為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m23m18)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)解(1)要使所給復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部為0.故若使z為實(shí)數(shù)，則，解得m6.所以當(dāng)m6時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)要使所給復(fù)數(shù)為虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部不為0.故若使z為虛數(shù)，則m23m180，且m30，所以當(dāng)m6且m3時(shí)，z為虛數(shù)(3)要使所給復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0.故若使z為純虛數(shù)，則，解得m或m1.所以當(dāng)m或m1時(shí)，z為純虛數(shù)11.設(shè)z1m21(m2m2)i，z24m2(m25m4)i，若z1<z2，求實(shí)數(shù)m的取值