高斯定理的理解

1、 高斯定理的理解電子與信息學(xué)院 0 7 電聯(lián) 6號 熊德輝摘要：高斯定理在靜電學(xué)具有重要的應(yīng)用。在大學(xué)物理里，僅表示為積分形式，應(yīng)認(rèn)識其物理意義 ,同時又必須從它的物理含義上認(rèn)識它的數(shù)學(xué)應(yīng)用 ,這對清楚、全面了解靜電場是至關(guān)重要的.關(guān)鍵詞:高斯定理;高斯面;電場線;對稱分布;散度；電通量;電場強(qiáng)度。1、 高斯定理的理解高斯定理是靜電學(xué)中的一個重要定理,它反映了靜電場的一個基本性質(zhì) ,即靜電場是有源場 ,其源即是電荷。可表述為:在靜電場中 ,通過任意閉合曲面的電通量 ,等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 倍 ,與閉合曲面外的電荷無關(guān)。它的表達(dá)式為： 是電磁學(xué)最基本的定理之一。其中 ,E表示在閉

2、合曲面上任一 dS面處的電場強(qiáng)度 ,而 E·dS則為通過面元dS的電場強(qiáng)度通量 ,就表示通過整個閉合曲面 S的電場強(qiáng)度通量 ,表示沿閉合曲面 S的積分 ,習(xí)慣上稱 S為高斯面， 高斯定理表明:靜電場是有源的、發(fā)散的 ,源頭在電荷所在處 ,由此確定的電場線起于正電荷 ,終于負(fù)電荷。對高斯定理的理解和應(yīng)用不正確 ,常常會出現(xiàn)一些問題。 如 ,高斯面上的 E是否完全由高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生;如果 ，是否必有 E = 0 ;當(dāng)E處處為零時 ,是否高斯面內(nèi)一定無電荷;高斯定理是否在任何情況下都成立;哪些問題用高斯定理解決會簡便一些等等. 這就涉及是否對高斯定理理解正確 ,對其數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解是否存

3、在數(shù)學(xué)負(fù)遷移情況.其實(shí) ,只要對高斯定理注意掌握幾個要點(diǎn)， 就能對上面的問題有比較清醒的認(rèn)識了.1 定理中的 E是指空間某處的總電場強(qiáng)度空間中某處的電場強(qiáng)度為空間中所有電荷所激發(fā)的電場在該處場強(qiáng)的矢量和. 若任意作一個假想的閉合曲面(高斯面) 通過該處 ,用 E內(nèi)、 E外 分別表示高斯面內(nèi)、外的電荷在高斯面上產(chǎn)生的場 ,則在該處的總場強(qiáng) E = E內(nèi) + E外.由高斯定理有:而從電場線的角度看 ,電場線始于正電荷 ,終于負(fù)電荷 ,當(dāng)電場中的閉合曲面內(nèi)不含有電荷時 ,電場線僅穿過此閉合曲面 ,這些進(jìn)入閉合曲面的電場線總條數(shù)與穿出閉合曲面的電場線總條數(shù)相等 ,故通過整個閉合曲面的電場強(qiáng)度通量為零.

4、所以 故 即:高斯定理對高斯面內(nèi)的電荷產(chǎn)生的場而言 ,也成立.2 注意中 E和 dS的矢量性在對高斯定理的理解上常常出現(xiàn)不注意物理量的矢量性問題. 有些人認(rèn)為當(dāng)時 ,由于dS 0 ,所以必有 E = 0.實(shí)際上 , ,表明始于閉合曲面內(nèi)正電荷的電場線與終于閉合曲面內(nèi)負(fù)電荷的電場線數(shù)相等 ,則穿出閉合曲面的電場線數(shù)與進(jìn)入閉合曲面的電場線數(shù)相等 ,即通過整個閉合面的電場強(qiáng)度通量為零.但這并不意味著閉合曲面上電場強(qiáng)度處處為零. 因?yàn)?(1) 高斯面上某處的場強(qiáng)是高斯面內(nèi)、外電荷在該處產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和 ,所以 ,即便高斯面內(nèi)的,也無法完全確定 E = 0 ;(2) 由于 E和dS在式中是矢量的標(biāo)積關(guān)

5、系 ,因此存在二者的方向問題 ,如果 E 0 ,而它與dS的方向垂直 ,仍有 E·dS = 0.故不能由 來判斷 E是否為零。3 正確理解定理中的是高斯面內(nèi)正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和. 當(dāng)通過高斯面的電通量為零時 , 這個結(jié)論既可表明高斯面內(nèi)有電量相等的正、負(fù)電荷 ,也可表明高斯面內(nèi)無電荷. 因此 ,不能肯定高斯面內(nèi)一定無電荷.4 不能只從數(shù)學(xué)的角度理解有些人在對高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式的理解上常出現(xiàn)“數(shù)學(xué)負(fù)遷移”問題 ,得出這樣的錯誤結(jié)論:當(dāng)閉合曲面上 E處處為零時 ,不一定有曲面內(nèi)電量的代數(shù)和 =0=0；當(dāng) E = 0 時 ,并不一定分別有 E內(nèi) = 0和 E外 = 0.由于始終有 ,而

6、 E內(nèi) 不一定為零 ,所以 ：不一定為零 ,即當(dāng)閉合曲面上的 E處處為零時 , 不一定為零.這顯然與高斯定理相悖. 因?yàn)楫?dāng) E處處為零時必有=0 ,即通過整個高斯面的電通量為零 ,而高斯面外的電荷激發(fā)的電場通過整個高斯面的電通量為零:,所以必有高斯面內(nèi)電荷的電通量為零: 這里可以有兩種情況:一是 E內(nèi) = 0 ;二是 E內(nèi) 0 ,但 無論是哪種情況 ,都有 =0。從數(shù)學(xué)上講:E = 0時或 E 0但 E· dS = 0 ,必有 = 0 ,而 = 0時 ,E不一定在高斯面上處處為零 ,即數(shù)學(xué)上描述的是 E通量而不是 E,它完全是由高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和 確定的. 從物理上講 ,高斯面上各

7、點(diǎn)的 E是由所有電荷(面內(nèi)面外) 所激發(fā)的.5 對高斯面的理解有些人提出這樣的問題:如果電荷既不在高斯面內(nèi) ,也不在高斯面外 ,而是在高斯面上 ,高斯面上的場強(qiáng)怎樣計算？實(shí)際上 ,高斯面是一個幾何面 ,它沒有厚薄之分 ,卻有內(nèi)外之分 ,電荷要么在高斯面內(nèi)(包括內(nèi)表面) ,要么在高斯面外(包括外表面) .也就是說 ,必須把高斯面作為幾何面 ,而把點(diǎn)電荷的點(diǎn)視為物理上的點(diǎn).6 高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果由于高斯定理是由點(diǎn)電荷間相互作用的平方反比定律(庫侖定律)得出的 ,所以高斯定理是點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律的必然結(jié)果.如果庫侖定律 中 ,r 的指數(shù)不是 2 ,而是 n ,則點(diǎn)電荷的場強(qiáng)的大

8、小應(yīng)表示為:以點(diǎn)電荷為中心 ,作半徑為 r 的球面為高斯面 ,則:=從而得不到高斯定理的結(jié)論. 所以 ,只有在點(diǎn)電荷作用力服從平方反比定律的條件之下 ,高斯定理才成立 ,否則不成立. 但到目前為止 ,理論和實(shí)驗(yàn)表明點(diǎn)電荷作用力的平方反比定律是相當(dāng)精確的.7 用高斯定理求解場強(qiáng) E由于中的 E是 dS處的場強(qiáng) ,而不是整個高斯面上的場強(qiáng). 所以 ,一般來說高斯面上的場強(qiáng)并非一定處處相等 ,即 E并不一定是恒矢量 ,故無法從積分號內(nèi)提出 ,因此難以用高斯定理計算出場強(qiáng)來. 但若選擇合適的高斯面 ,能使電場強(qiáng)度 E從積分號中提出來 ,就能用高斯定理求解場強(qiáng) E了.為此 ,作高斯面時應(yīng)注意:(1) 需

9、求場強(qiáng)的場點(diǎn)要在高斯面上;(2) 高斯面上各部分或者與場強(qiáng) E垂直 ,或者與場強(qiáng) E平行 ,或者與場強(qiáng) E有恒定的夾角;(3) 各部分高斯面上垂直于高斯面的場強(qiáng)的大小應(yīng)各自為一常值;(4) 高斯面的形狀應(yīng)比較簡單.為此 ,當(dāng)電場具有球?qū)ΨQ時 ,高斯面選為同心球面;具有很強(qiáng)的軸對稱時 ,選為同軸柱面;具有面對稱時 ,選為柱面 ,并使兩底與 E垂直 ,側(cè)面與 E平行.由于作高斯面有如上限制 ,因此用高斯定理只能求某些對稱分布電場的場強(qiáng). 用高斯定理求場強(qiáng)的步驟可歸納為：(1) 分析帶電體所產(chǎn)生的電場是否具有對稱分布的特點(diǎn);(2) 選取合適的高斯面;(3) 再由高斯定理求電場的場強(qiáng)分布.高斯定理的微分形式從嚴(yán)格意義上 ,高斯定理表為 僅為場強(qiáng)對閉合曲面 S通量的積累效應(yīng) ,為凈余通數(shù)學(xué)上稱積分形式 ,不能算作方程. 因此 ,在理解它所描述的靜電性質(zhì)上有一定難度. 如果我們將任面縮小 ,并讓它趨于零 ,即:,s是以體積V 為邊界的閉合曲面 ,顯然上式描述的是電場中某點(diǎn)的電場特征 ,定義為某點(diǎn)電場強(qiáng)散度