題型四 規(guī)律探索題

1、類型1數(shù)與式的規(guī)律探索1.2019安徽中考下面兩個(gè)多位數(shù)1248624、6248624,都是按照如下方法得到的:將第一位數(shù)字乘以2,若積為一位數(shù),將其寫在第2位;若積為兩位數(shù),則將其個(gè)位數(shù)字寫在第2位.對(duì)第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字,后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的.當(dāng)?shù)谝晃粩?shù)字是3時(shí),仍按如上操作得到一個(gè)多位數(shù),則這個(gè)多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是A.495B.497C.501D.5032.2019合肥蜀山區(qū)二模觀察下列等式: 1=12; 2+3+4=32; 3+4+5+6+7=52; 4+5+6+7+8+9+10=72;請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律判斷下列等式正確的是()A

2、.1 008+1 009+3 025=2 0162B.1 009+1 010+3 026=2 0172C.1 009+1 010+3 027=2 0182D.1 010+1 011+3 028=2 01923.2019安徽中考觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式:32-4×12=5;52-4×22=9;72-4×32=13;根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題:(1)完成第四個(gè)等式:92-4×()2=();(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示),并驗(yàn)證其正確性.4.2019合肥包河區(qū)二模觀察下列式子:2×0+1=12;4×2+1=32;8×

3、;6+1=72;16×14+1=152;(1)請(qǐng)按規(guī)律寫出第個(gè)式子: ; (2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第個(gè)式子(n為正整數(shù)),并驗(yàn)證其正確性.5.2019蕪湖二模觀察下列各個(gè)等式的規(guī)律:第1個(gè)等式:=1;第2個(gè)等式:=2;第3個(gè)等式:=3;請(qǐng)用上述等式反映出的規(guī)律解決下列問(wèn)題:(1)直接寫出第4個(gè)等式;(2)猜想第n個(gè)等式(用含n的代數(shù)式表示),并證明你猜想的等式是正確的.6.2019合肥45中三模已知一定數(shù)量的石子可以擺成如圖所示的三角形和四邊形,古希臘科學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,稱為“三角形數(shù)”,把1,4,9,16,25,稱為“正方形數(shù)”.同樣,可以把數(shù)1,5

4、,12,22,稱為“五邊形數(shù)”.將“三角形數(shù)”、“正方形數(shù)”、“五邊形數(shù)”按從小到大的順序依次填在下面表格里:三角形數(shù) 1 3 6 10 15 21a 正方形數(shù) 1 4 9 16 25b 49 五邊形數(shù) 1 5 12 22c 51 70 (1)按照規(guī)律,表格中a=,b=,c=; (2)觀察表中規(guī)律,第n(n為正整數(shù))個(gè)“五邊形數(shù)”是 . 7.2019安慶模擬特殊兩位數(shù)乘法的速算如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字相同,個(gè)位數(shù)字相加為10,那就能立即說(shuō)出這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積.如果這兩個(gè)兩位數(shù)分別寫作AB和AC(即十位數(shù)字為A,個(gè)位數(shù)字分別為B,C,且B+C=10,A>3),那么它們的

5、乘積是一個(gè)四位數(shù),前兩位數(shù)字是A和(A+1)的乘積,后兩位數(shù)字是B和C的乘積.如47×43=2 021,61×69=4 209.(1)請(qǐng)你直接寫出83×87的值;(2)設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x(x>3),個(gè)位數(shù)字分別為y和z(y+z=10),通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為100x(x+1)+yz;(3)99 991×99 999=. 8.2019宣城模擬閱讀下列材料,并解決相關(guān)的問(wèn)題.按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng),記為a1,依此類推,排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng),記為an.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,

6、每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q0),如:數(shù)列1,3,9,27,為等比數(shù)列,其中a1=1,公比q=3.(1)等比數(shù)列3,6,12的公比q為,第4項(xiàng)是; (2)如果一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3,a4,是等比數(shù)列,且公比為q,那么根據(jù)定義可得到=q,=q,=q,=q,所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3,由此可得an=(用含a1,n和q的代數(shù)式表示); (3)若一個(gè)等比數(shù)列的公比q=,第2項(xiàng)a2=,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).9.20

7、19合肥高新區(qū)模擬我們學(xué)習(xí)了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;發(fā)現(xiàn):這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),從3起就沒(méi)有間斷過(guò),而且股和弦是兩個(gè)連續(xù)整數(shù).(1)請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù):; (2)若第一個(gè)數(shù)用字母n(n為奇數(shù),且n3)表示,寫出后兩個(gè)數(shù)(用含n的代數(shù)式表示),并用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明它們是一組勾股數(shù).類型2圖形中的規(guī)律探索10.2019六安地區(qū)二模觀察下列n×n的點(diǎn)陣與等式的關(guān)系,并填空:(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,在(n×n)圖的后面的橫線上填上所對(duì)應(yīng)的等式,并證明等式成立.(2)根據(jù)等式的性

8、質(zhì),將上圖所對(duì)應(yīng)的前4個(gè)已知等式的左側(cè)和右側(cè)式子分別相加,等式依然成立,即(22-12)+(32-22)+(42-32)+(52-42)=(1+2×1)+(1+2×2)+(1+2×3)+(1+2×4).經(jīng)化簡(jiǎn),變形后得到52-12=4+2×(1+2+3+4),即1+2+3+4=,這種方法叫等式疊加法.如果將上圖(2×2)到(n×n)所對(duì)應(yīng)的(n-1)個(gè)等式進(jìn)行疊加,經(jīng)化簡(jiǎn),變形后可以得到1+2+3+(n-1)=. 11.2019合肥瑤海區(qū)二模(1)觀察下面的圖案與等式的關(guān)系,并填空.(2)通過(guò)猜想,寫出第n個(gè)圖案相

9、對(duì)應(yīng)的等式.12.2019安徽中考【閱讀理解】我們知道1+2+3+n=,那么12+22+32+n2的結(jié)果等于多少呢?在圖(1)所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12;第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+n2.圖(1)【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖(2)所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為 n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+n

10、2)=.因此,12+22+32+n2=. 圖(2)【解決問(wèn)題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算的結(jié)果為. 13.2019安徽中考在由m×n(m×n>1)個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中,研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f.(1)當(dāng)m,n互質(zhì)(m,n除1外無(wú)其他公因數(shù))時(shí),觀察下列圖形并完成下表:mnm+nf123213432354257347猜想:當(dāng)m,n互質(zhì)時(shí),在m×n的矩形網(wǎng)格中,一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m,n的關(guān)系式是(不需證明); (2)當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí),請(qǐng)畫圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否仍然成立.參考答案1.A2.D【解析】由

11、的等式規(guī)律可知,第n個(gè)等式的結(jié)果為(2n-1)2,故A,C中的等式錯(cuò)誤.第n個(gè)等式中等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)為2n-1,故B中的等式錯(cuò)誤,D中的等式正確.3.(1)417(2)第n個(gè)等式為(2n+1)2-4×n2=4n+1.左邊=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右邊,第n個(gè)等式成立.4.(1)32×30+1=312(2)第個(gè)等式為:2n(2n-2)+1=(2n-1)2.驗(yàn)證:左邊=2n×2n-2n×2+1=(2n)2-2×2n+1=(2n-1)2=右邊,故2n(2n-2)+1=(2n-1)2是成立的.5.(1)第4個(gè)等式是=4.(2)第n個(gè)等式是=n

12、.證明:=n=右邊,第n個(gè)等式是=n.6.(1)283635解法提示:第n(n為正整數(shù))個(gè)“三角形數(shù)”為,故a=28;第n(n為正整數(shù))個(gè)“正方形數(shù)”為n2,故b=62=36;第n(n為正整數(shù))個(gè)“五邊形數(shù)”為n2-n,故c=×25-=35.(2)n2-n7.(1)7 221.(2)驗(yàn)證:(10x+y)(10x+z)=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x(y+z)+yz=100x2+100x+yz=100x(x+1)+yz.(3)9 999 000 009解法提示:由題中規(guī)律可得,如果兩個(gè)n位數(shù)分別寫作AB和AC(即前n-1位數(shù)字部分均可表示為A(A>3),

13、個(gè)位數(shù)字分別為B,C,且B+C=10),那么它們的乘積是一個(gè)2n位數(shù),前2n-2位數(shù)字是A和(A+1)的乘積,后兩位數(shù)字是B和C的乘積.故99 991×99 999=9 999 000 009.8.(1)224(2)a1qn-1(3)第1項(xiàng)a1=÷=,第4項(xiàng)a4=a1·q3=×()3=.9.(1)11,60,61(2),說(shuō)明:n2+()2=n2+=()2,由勾股定理的逆定理可知,n,是一組勾股數(shù).10.(1)n2-(n-1)2=1+2(n-1).證明:左邊=n2-n2+2n-1=2n-1,右邊=1+2n-2=2n-1=右邊,左邊=右邊,即n2-(n-1)2=1+2(n-1).(2)11.