橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精講精練【例】以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_(kāi).解： 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為【例】雙曲線=1(bN)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_。解：設(shè)F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|250+2c2，又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依雙曲線定義，有|PF1|PF2|=4，依已知條件有|

2、PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 16+8c250+2c2，c2,又c2=4+b2，b2，b2=1。【例】當(dāng)取何值時(shí)，直線：與橢圓相切，相交，相離？解： 代入得化簡(jiǎn)得當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓相離?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程。解：|MF|max=a+c，|MF|min=ac，則(a+c)(ac)=a2c2=b2，b2=4，設(shè)橢圓方程為設(shè)過(guò)M1和M2的直線

3、方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設(shè)M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0= (x1+x2)=，y0=x0+m=。代入y=x，得，由于a24，m=0，由知x1+x2=0，x1x2=，又|M1M2|=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求橢圓方程為： =1?！纠恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程。解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0，n0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0，=4n24(m+

4、n)(n1)0，即m+nmn0，由OPOQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，+1=0，m+n=2又22，將m+n=2，代入得m·n=由、式得m=，n=或m=，n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1?！纠恳阎獔AC1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例】過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過(guò)線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上

5、存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程。解法一：由e=，得，從而a2=2b2，c=b。設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在橢圓上。則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0，設(shè)AB中點(diǎn)為(x0，y0)，則kAB=，又(x0，y0)在直線y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，設(shè)l的方程為y=x+1。右焦點(diǎn)(b，0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x，y)，由點(diǎn)(1，1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2，b2=。所求橢圓C的方程為 =1，l的方程為y=x+1。解法二：由e=，從而a2

6、=2b2，c=b。設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2，l的方程為y=k(x1)，將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0，則x1+x2=，y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=。直線l：y=x過(guò)AB的中點(diǎn)()，則，解得k=0，或k=1。若k=0，則l的方程為y=0，焦點(diǎn)F(c，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1)，即y=x+1，以下同解法一。解法三：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線， ，則， 所以所求的橢圓方程為：【例】如圖，

7、已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程。解：以O(shè)為原點(diǎn)，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線方程為=1(a0，b0)，由e2=，得。兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)P1(x1， x1)，P2(x2，x2)(x10，x20)，則由點(diǎn)P分所成的比=2，得P點(diǎn)坐標(biāo)為()，又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4，b2=9。 故雙曲線方程為=1?！纠窟^(guò)橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2

8、=b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2) 切線PA：，PB：P點(diǎn)在切線PA、PB上，直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25， b2 =16橢圓C方程： (3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足P

9、APB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| 又P點(diǎn)在橢圓C上 由知x a>b>0 a2 b2>0(1)當(dāng)a22b2>0，即a>b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a22b2<0，即b<a<b時(shí)，橢圓C上不存在滿足條件的P點(diǎn)【例】已知點(diǎn)B（1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且ADAE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論。（3）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)

10、A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1·k2=2。求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)。解：（1）設(shè)【例】已知曲線，直線l過(guò)A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到l的距離是（）求雙曲線的方程；（）過(guò)點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若，求直線m的方程。解：（）依題意， 由原點(diǎn)O到l的距離為，得 又 。 故所求雙曲線方程為（）顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx1，則點(diǎn)M、N坐標(biāo)（）、（）是方程組 的解消去y，得 依設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系，知= = =23，k=±。 當(dāng)k=±時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根 故直線l方程為 【例】已知?jiǎng)狱c(diǎn)與

11、雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由已知可得： ， 所求的橢圓方程為 。 (2)方法一：由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線m，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線m的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 由判別式 ，得。 再設(shè)M (x 1 ， y 1 )， N ( x 2 ， y 2)，則一方面有，得 另一方面有 ， 將代入式并消去 x 2可得，由前面知， ，解得 。 又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證：，所以 為所求。方法二：同

12、上得 設(shè)點(diǎn)M (3cos，2sin)，N (3cos，2sin) 則有由上式消去并整理得， 由于 ， 解得為所求。 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為5，最小值為1。進(jìn)而推得的取值范圍為?！纠?如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積。解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m，5m0。由方程組，消去y，得x2+(2m4)x+m2=0直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0，解得m1，又5m0，

13、m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2，|MN|=4。點(diǎn)A到直線l的距離為d=。S=2(5+m)，從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128。S8，當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m，即m=1時(shí)取等號(hào)。故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8?！纠恳阎p曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過(guò)P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=

14、1，與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當(dāng)2k2=0，即k=±時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20，即k±時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0，即32k=0，k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)0，即k，又k±，故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn)。綜上知：當(dāng)k=±，或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)

15、k，或k，或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒(méi)有交點(diǎn)。(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，則2x12y12=2，2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2，y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為±，結(jié)合圖形知直線AB與C無(wú)交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在?！纠恳阎p曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心

16、在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來(lái)求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于， 所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)

17、評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問(wèn)題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用工具）【例】已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1。（）求橢圓C的方程；（）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。 需要更多的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料，請(qǐng)?jiān)谔?寶.上.搜.索.寶.貝. “高考復(fù)習(xí)資料 高中數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 例題精講(詳細(xì)解答)” 或者搜.店.鋪.“龍奇

18、跡【學(xué)習(xí)資料網(wǎng)】”解：()設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得，w。w。w。k。s。5。u。c。o。m 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得。整理得，其中。（i）時(shí)?；?jiǎn)得 所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。（ii）時(shí)，方程變形為，其中當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓；【例】已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)L的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為。() 求a，b的值；() C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到

19、某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程；若不存在，說(shuō)明理由考點(diǎn)：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問(wèn)直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問(wèn)利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問(wèn)題，注意特殊情況的處理。解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為 。 故 ， 由 ，得 ，=（）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。由 （）知C的方程為+=6。 設(shè) () C成立的充要條件是且整理得 。 故 將 于是 , =,代入解得，此時(shí)。 于是=， 即因此， 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。（）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為【例】已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值解：（I）由題意得所求的橢圓方程為 （II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交