第3講線面垂直與面面垂直(學生版)

1、第3講線面垂直與面面垂直考試要求1.空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，B級要求；2.運用線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題，B級要求知 識 梳 理1直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行ab2平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(

2、2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面l診 斷 自 測1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()2給出下列命題：如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面；如果平面平面

3、，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面.其中錯誤的命題是_(填序號)3(2016·浙江卷改編)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，給出下列結論：ml；mn；nl；mn.其中正確的是_(填序號)4(2017·鹽城模擬)設，為互不重合的三個平面，l為直線，給出下列命題：若，則；若，且l，則l；若直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面垂直；若內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等，則平面平行于平面.其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)5(必修2P42習題16)在三棱錐PABC中，點P在平面ABC中的射影為點O，(1)若

4、PAPBPC，則點O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點O是ABC的_心考點一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll)(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想【訓練1】 (2017

5、83;泰州期末)如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且ADDB，點C為圓O上一點，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求證：PACD.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2015·山東卷)如圖，三棱臺DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直【訓練2】 如圖，在三棱錐PABC中，

6、平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點(1)求證：PB平面MNC；(2)若ACBC，求證：PA平面MNC.考點三平行與垂直的綜合問題(多維探究)命題角度一平行與垂直關系的證明【例31】 (2016·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化(2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用命題角度二平行垂直

7、中探索性問題【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點F為CE的中點(1)證明：AE平面BDF；(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PMBE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點【訓練3】(2017·南通調(diào)研)在如圖所示的幾何體中，面

8、CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求證：AC平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點M，使EA平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由思想方法1證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala；2證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3轉化思想：垂直關系的轉化易錯防范1證明線面垂直時，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件2面面垂直

9、的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視3面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤4在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉化.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2017·南京調(diào)研)對于直線l，m，平面，m，則“l(fā)m”是“l(fā)”成立的_條件(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選填一個)2(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面，滿足，l，P，Pl，給出下列命題：過點P垂直于平面的直線平行于平面；過點P垂直于直線l的直線在平面內(nèi)

10、；過點P垂直于平面的直線在平面內(nèi)；過點P且在平面內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面.其中假命題為_(填序號)3如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個數(shù)為_4在正三棱錐(底面為正三角形且側棱相等)PABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正確論斷的序號為_5(2017·蘇北四市聯(lián)考)已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l，m.給出下列命題：lm；lm；ml；lm.其中正確的命題是_(填序號)6如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_時，平面M

11、BD平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)7(2017·徐州檢測)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是_(填序號)8(2016·全國卷改編)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填序號)二、解答題9(2017·蘇州調(diào)研)如圖，ABC和BCD所在平面

12、互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(1)求證：EF平面BCG；(2)求三棱錐DBCG的體積10(2017·鹽城模擬)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2AD，PD底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC的中點(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PDE平面PEC.能力提升題組(建議用時：20分鐘)11(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面：若mn，n，則m；若m，則m；若m，n，n，則m；若mn，n，則m.上述命題中為真命題的是_(填序號)12(2017·南京師大模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在AEF內(nèi)的射影為O，給出下列結論：O是AEF的垂心；O是AEF的內(nèi)心；O是AEF的外心；O是AEF的重心其中結論正確的是_(填序號)13如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊